로거리듬

로그로 천문학자들의 수명이 두배로 늘었다.

-피에르시몽 라플라스

1 개요

줄여서 로그(log)10그램[1]라 읽는다. 한자어로는 지수에 대비된다는 의미에서 대수(對數)라고 하는데, 음이 같은 '대수(代數, algebra)'가 더 널리 쓰이는 말이기에 혼동될 수 있어 거의 사어가 되었다. 가끔 옛날의 책들 중 [math]e[/math]를 정의할 때 자연대수(ln)의 밑이라고 쓰인 것이 있는데 이 대수가 로그를 가리키는 말이다. 물론 중국어 수학용어로는 이대로 쓰며, 일본어 수학용어에서도 그대로 사용한다. 존 네이피어가 만들었다.

2 정의

밑수와 진수로 구성되며 [math]\log[/math] 오른쪽에 진수를 쓰고 그 사이 아랫쪽에 자그마하게 밑수를 쓰는데, [math]a^{x} = b[/math]이면 [math]\log_{a}b = x[/math] 이다. 읽을때는 "[math]a[/math]를 밑으로 하는 로그 [math]b[/math]"라고 하는데 귀찮으니 대부분 "로그 [math]a[/math]의 [math]b[/math]"라고 읽는다. 실수에서 [math]\log_{a}b[/math] 는 [math]a \neq 1[/math], [math]a\gt0[/math], [math]b\gt0[/math] 이라는 제한 조건 하에서만 정의된다. 이렇게 정의되어야 실수 범위에서 값이 나오기 때문이다.

로그의 정의에 대해 쉽게 설명해보자. 예를 들어서 [math]\log_{10}1000[/math] 의 경우 "[math]10[/math]에다 몇제곱을 하면 [math]1000[/math]이 될까요?" "[math]3[/math]이요" 를 수학적 기호로 [math]\log_{10}1000 = 3[/math] 이라 표현했다고 이해하면 된다.

이를 함수의 꼴로 만든 것이 로그함수이다.

3 역사

17세기 초에 존 네이피어가 만들었다. 물론 그 당시에 로그의 정의는 지금과 상당히 달랐다. 그 당시에만 해도 sin값이 반지름이 1인 원을 기준으로 정해지는 것이 아니라, 반지름이 [math]10^{7}[/math] 정도의 큰 값을 가지는 원을 기준으로 정해지는 등 큰 값의 계산을 할 일이 많았기 때문이다. 하지만 로그라는 이름으로 지금까지 내려온 만큼, 당시에 발명된 로그는 지금의 로그의 정의와 상수와 상수 배 정도 밖에 차이나지 않는다.

이전엔 수십자리 수의 곱셈을 할 수 있는 거의 유일한 방법이었기 때문에 정확한 로그표를 만들기 위해 평생을 바친 수학자도 있었다. "로그의 발명으로 천문학자들의 수명이 두 배가 되었다"는 말이 있었을 정도. 계산기 하나와 컴퓨터면 거의 다 해결되는 시대가 되었지만, 지수방식으로 표현하는 계산기와 컴퓨터는 저장공간상의 한계로 어쩔 수 없이 오차가 생긴다. 정말 정확하게 계산하려면 로그를 써야 한다.

파일:Attachment/로그/log.jpg
선분 [math]\overline{AB}[/math]와 반직선 [math]\overline{CD}[/math]에 대하여 [math]\overline{AB}[/math]위의 점 [math]P[/math]와 [math]\overline{CD}[/math]위의 점 [math]Q[/math]가 각각 [math]A[/math]와 [math]C[/math]를 동시에 같은 속도로 출발하여 각각의 선을 따라 움직인다고 할 때, [math]P[/math]의 속력은 [math]\overline{PB}[/math]의 길이에 비례하고 점 [math]Q[/math]의 속력이 일정하다고 한다. 이때 거리 [math]\overline{CQ}[/math]를 거리 [math]\overline{PB}[/math]의 로그라 정의했다.

지수의 역함수 정도로 알고 넘어간 입장에서, 이러한 로그의 초창기 형태는 멘붕이 올 수도 있다. 지금의 로그처럼 밑을 따로 두는 것이 아니고 일정 거리를 이동하는 속도가 남은 거리에 비례하게 움직일 경우와 초기 속도 그대로 등속운동한 경우의 이동거리 비로 정의되었다. 미분방정식을 배운 이후에야 어째서 이것이 로그(그것도 자연로그) 형태로 표현되는지 납득이 갈 것이다. 로그의 성질에서 지수와의 연관성을 찾아내 지수함수의 역함수 형태로 정리한 오일러는 진짜로 대단한 것이다. 그러나 어려운 로그의 정의에도 불구하고, 그 당시 쓰던 삼각함수보다는 엄청나게 나았기 때문에 계산기가 등장하기 전까지 사용되었다.[2]

4 사용

교과서와 시험
밑은 언제나 밑에 써 주자. 밑이 생략되는 경우는 오직 [math]2[/math]와 [math]10[/math], [math]e[/math]일 때 뿐이다. 이는 앞 세 수가 다른 수들에 비해 굉장히 중요하기 때문. [math]10[/math]의 경우 우리가 쓰는 수체계가 십진법이기 때문이며 [math]e[/math]는 미적분에서의 중요성 때문이다. 일반적으로 밑수가 생략된 [math]\log[/math]는 상용로그라고 해서 [math]10[/math]을 밑으로 하며, 밑이 [math]e[/math]일 때는 자연로그라 하며 [math]\ln[/math]으로 축약해서 쓴다.[3] 책에 따라서는 자연로그도 [math]\log[/math]로 쓰기도 한다. 특히 이학 계열에서는 굉장히 크거나 작은 수를 다룰 때를 제외하고 상용로그는 아예 쓰지 않는 수준이다.[4] 일본 고등학교 교육과정에서는 자연로그도 [math]\log[/math]로 쓰는데, 대충 대학과정에서 배우는 수학에서 상용로그를 쓰는 일은 별로 없다. 그러나 수학이 아닌 이공계 전공서적에선 상용로그가 많이 보인다. 당장 현 교육과정 지구과학2의 천체와우주 부분에서 거리지수를 구할 때 상용로그를 쓴다. 경우에 따라선 자연로그를 써야 할 곳에서도 상용로그를 쓴다. [math]\ln10\approx2.303[/math]이므로 [math]\ln x[/math]로 써야 할 곳을 [math]2.303 \log x[/math]로 쓰는 경우도 볼 수 있다.[5] 수학에서는 밑이 [math]2[/math]일 경우 생략하지 않지만, 공학(특히 컴퓨터공학) 부분에서는 밑이 [math]2[/math]일때 역시 생략해 주는 경우가 있다. 그 이유는 컴퓨터가 2진법을 사용하기 때문이다.

곱셈을 로그로 바꾸면 덧셈이 되는 특성상 천문학적인 큰 수의 곱셈에 유용하게 쓰인다. 계산기가 개발된 지금은 원래 목적으론 잘 안쓰이긴 한다. 하지만 금융, 공학 등의 응용수학 분야에선 나타내고자 하는 값들이 넘사벽 급으로 증가하여 변화를 알 수 없거나 거시적인 관점에서 전체를 보고 싶을 때[6] 축의 값에 [math]\log[/math]를 취하여 사용하는 일 이 다반사. 이렇게 그래프를 나타낼 때는 'log scale(로그 스케일)'이라는 말을 사용한다.

적절한 예로 음향 이퀄라이저, 조정하는 주파수(Hz)는 대체로 로그 스케일인데, 50Hz~20kHz까지 일일이 선형 스케일로 가려다간 다 표시하지 못한다. 음압의 크기를 나타내는 데시벨은 정의 자체에 상용로그를 포함하고 있다. 또 다른 예로는 의외로 생물Ⅱ에서 등장하는데, 단순히 사망률과 인구를 비교할 때 '사람형', '히드라형', '굴형'이라고 구분할 때 쓰인다. 생물 2 왼쪽에 '대수지표'라고 써있지만 이게 로그인지는 대부분 모른다. 심지어 선생님들도 모르는 경우가 대다수.

일반적인 중등교육과정에서는 지수를 먼저 배우고 그의 역함수로서 로그를 배우지만, 미분과 적분의 관계처럼 실제로는 로그가 먼저 탄생했다. 거꾸로 배우고 있는 셈이다. 물론 고등수학 이상에서는 적분과 로그를 먼저 정의한 후, 이를 이용해 지수를 정의하기도 한다.

5 복소수 확장

복소해석학에서는 로그의 복소수 확장이 나오는데, [math]a=0, 1[/math], [math]b=0[/math] 인 경우를 제외한 모든 복소수 [math]a[/math], [math]b[/math] 에 대해서 [math]\log_{a}b[/math]를 정의할 수 있다.

일단은 [math]a = e[/math]이고 [math]b[/math]가 복소수인 경우, 즉, 복소수의 자연로그에 대해서만 다룬다. [7]

먼저 알아야 할 것은 오일러의 공식과 노름 , 그리고 편각이다.

오일러의 공식의 일반형은 [math]e^{ix}= \cos x+i \sin x[/math] 로 쓰인다. 임의의 복소수 [math]z = a + ib[/math] 에 대해서 [math]a + ib = r\left(\cos \theta + i \sin \theta\right)[/math] , [math]r = \sqrt{a^{2}+b^{2}}[/math]

또한 [math]z=a+ib[/math]일때, [math]\left|z\right|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}[/math][8] 이고, [math]\theta[/math] 는 [math]2\pi[/math] 마다 반복되는 값이기 때문에 편각(argument)의 표현을 이용해서 [math]\theta=\arg z[/math] 라고 쓴다.

다만, 복소수에서 정의된 로그는 실수에서 사용되는 로그와 약간 다르다. 복소수에 로그를 취하면 [math]i\arg z[/math]라는 식이 붙는데, 이 때 [math]\arg z[/math]가 여러가지 값을 가지는 다가함수 이다(예를 들어 [math]z=i[/math]일 때, 편각은 90도, 450도, ....와 같이 [math]2\pi[/math]를 주기로 여러 값을 가진다). 이를 막기 위하여 로그의 가지(branch of logarithm)을 도입하는데, 무슨짓을 해도 로그는 원점에서 정의되지 않기 때문에 가만히 두면 정의역이 구멍 뚫린 집합이 되어 버려서 원시함수가 잘 정의되지 않는다.[9] 따라서 정의역을 단순연결집합으로 만들어 주기 위해[10] 좌표평면에서 원점을 출발한 반직선하나를 정해 정의역에서 제외한다.

예를 들어 정의역을 [math]C/{(-\infty,0]}[/math]로 잡으면 편각 [math]\theta[/math]이 [math]-\pi\lt\theta\lt\pi[/math]로 제한되어 값이 하나가 되는데 이 제외한 부분을 주 가지 (principal branch)라고 하며 정의역 전체에서 로그값은
[math]\log z=\log\left|z\right|+i\arg z[/math]로 잘 정의된다. [11]

굳이 이렇게 까지 정의하는 이유는 단순 대입만으로는 연속성에서 이미 문제가 생겨버리기 때문이다. 실제로 [math]\log AB = \log A + \log B[/math] 를 이용해,

[math]z=a+b i=r e^{i \theta}[/math]의 양변에 로그를 취하면

[math][/math] [math]\log\left(a+ib\right) = \log r+i\theta[/math] 인데 [math]z=e[/math]근방에서 [math]\theta[/math]가 [math]0 +[/math]또는 [math]2\pi-[/math]에서 접근함에 따라 각각 1 또는 [math]1+2\pi i[/math]로 접근하여 연속이 아니다.

이제 음수 [math]-1[/math] 에 대한 자연로그 [math]\log\left(-1\right)[/math]를 구해보자. 이 경우 로그의 가지를 허수축의 음의 부분을 제외하고 잡으면 된다. 이때 정의역은 [math]C/{(-\infty i,0]}[/math]이 되며 비로소 그 비범한 오일러의 등식 [math]e^{\pi i}= -1[/math] 를 이용하여 구할 수 있다. 즉, [math]\log\left(-1\right)=\pi i[/math] 가 된다. 이를 이용해서 임의의 음수에 대한 로그값을 구할 수 있다.

밑이 허수단위인 로그도 정의할 수 있는데, [math]\log_{a}b = \log b /\log a[/math] 라는 식으로 간단히 변형이 가능하므로, 밑 [math]a[/math] 가 복소수인 경우는 크게 고민할 필요가 없다. 예를 들어 밑이 [math]i[/math] 인 로그는 아래와 같이 변형이 가능하다.

[math]\displaystyle \log_{i}x=\frac{\ln x}{\ln i} =\frac{2\ln x}{i\pi}[/math]

6 기타

EZ2AC EC 이전까지의 점수체계는 로그를 사용한다. 자세한 건 EZ2AC항목의 세부항목 참조.
  1. ↑ 이런 식으로 오독하는 것을 막기 위해 보통 필기체를 사용한다.철자로 읽으면 에로지라고 읽는다
  2. ↑ 삼각함수로 계산할 때는 주로 수 2에서 배우는 '합을 곱으로, 곱을 합으로' 라는 공식을 사용한다. 그런데 이 공식은 단순한 곱셈, 제곱은 의외로 잘 되지만 n제곱근 계산에 매우 취약하다. 로그계산을 하면 제곱 및 제곱근 계산이 매우 쉬운 것을 확인할 수 있는데, 말 그대로 천문학적인 수를 다뤄야 했던 천문학자들은 모두 환영했을 듯.태양 질량 1.989x10^30kg 을 생각해보자
  3. ↑ 컴퓨터 과학에서 밑이 [math]2[/math]일 때는 [math]\text{lg}[/math]LG로 축약해서 쓴다.
  4. ↑ 아예 쓰이지 않는 것은 아니다. 가장 간단한 예시로 용액의 pH는 -log(H+)로 계산되는데 이는 상용로그를 쓴다. 또한 굉장히 큰 범위의 결과를 그래프로 그릴 때에는 축의 값을 로그로 나타내어 주는 경우도 많다. 아래의 이퀼라이저와 동일한 원리.
  5. ↑ [math]\displaystyle \log_{10}x=\frac{\ln x}{\ln 10}[/math]이므로 양변에 [math]\displaystyle \ln 10[/math]를 곱해 주면 [math]\displaystyle \log_{10}x\times \ln 10=\ln x[/math]이 된다.
  6. ↑ 다이내믹 레인지(Dynamic Range)라는 표현을 쓰기도 한다. 다이내믹 레인지가 클 수록 값을 한눈에 보기가 힘들다.
  7. ↑ 아래식에서 밑이 없는 [math]\log[/math] 는 자연로그 [math]\ln[/math]을 의미한다.
  8. ↑ 즉, 극좌표계에서 [math]r[/math] 로 표시되는 원점과의 거리는, 복소수 [math]z[/math] 의 노름(Norm) [math]\left|z\right|[/math]와 같은 값이다.
  9. ↑ 원시함수가 잘 정의된다는 말은 정의역에 있는 임의의 두점을 이은 경로를 따라 적분했을 때 적분값이 경로에 무관하게 같다는 의미이다.
  10. ↑ 정의역이 단순연결집합이며 미분 가능할 경우 원시함수를 잘 정의할 수 있다.
  11. ↑ 단 이 경우 곱을 합으로 바꾸는 공식[math]\log z_1z_2 = \log z_1 + \log z_2[/math]은 성립하지 않는다