지수함수

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위 사진은 $$y=2^x$$ 의 그래프이다.

1 개요

지수함수(指数函数), Exponential function

지수에 미지수 $$x$$ 가 있는 함수, 즉 $$f\left(x\right) = a^x \left(a\gt0\right)$$ 꼴로 나타낼 수 있는 함수를 말한다. 대략적으로 일반적인 다항식으로 표현할 수 없기 때문에 초월함수에 속한다. 대한민국의 수학 교육과정에서는 고등학교 미적분Ⅱ(2009개정교육과정)에서 이과생만 배운다.

지수함수는 지수 법칙을 실수 범위로 확장한 뒤에 배우게 되는데 실수에서의 지수 법칙을 만족하기 위해 밑 $$a\gt0$$ 을 전제로 깔고 간다. 따라서 아래 문단에서 특별한 설명이 없으면, $$a\gt0$$ 을 전제로 한다.

2 그래프의 특징

• $$a^0 = 1$$ 이기 때문에 $$\left(0, 1\right)$$ 을 반드시 지난다.
• $$a^1 = a$$ 이기 때문에 $$\left(1, a\right)$$ 를 반드시 지난다.
• $$\displaystyle a^{-1} = {1 \over a}$$ 이기 때문에 $$\displaystyle \left(-1, {1 \over a}\right)$$ 를 반드시 지난다.
• $$a\gt1$$ 인 경우, $$x$$ 값이 증가하면 $$y$$ 값도 증가하는 증가함수이다.
• $$0\lta\lt1$$ 인 경우, $$x$$ 값이 증가하면 $$y$$ 값은 감소하는 감소함수이다.
• 상수항이 없는 경우 절대로 3, 4사분면을 지나가지 않는다.
• 로그함수 $$f\left(x\right) = \log_{a}{x}$$ 의 그래프와 서로 역함수 관계이다. 즉, $$y=x$$ 에 대칭이다. (단. 이 때의 정의역은 당연히 x는 0보다 큰 실수로 바뀐다.)

정의역의 역수를 취한 지수함수 $$\displaystyle y = a^{1 \over x}$$ 의 특징은 다음과 같다.

• $$a^1 = a$$ 이기 때문에 $$\left(1, a\right)$$ 를 반드시 지난다.
• $$\displaystyle a^{-1} = {1 \over a}$$ 이기 때문에 $$\displaystyle \left(-1, {1 \over a}\right)$$ 를 반드시 지난다.
• $$x=0, y=1$$ 을 점근선으로 갖는 쌍곡선이다.

한편, 밑과 정의역이 같은 특수한 지수함수인 $$y = x^{x}$$ 의 특징은 다음과 같다.

• $$1^1 = 1$$ 이기 때문에 $$\left(1, 1\right)$$ 을 반드시 지난다.
• $$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0+}{x^x} = 1$$ 이므로 $$\left(0, 1\right)$$ 에서 출발하도록 그린다.( 단, $$0^0$$ 은 정의하지 않으므로 $$\left(0, 1\right)$$ 은 뻥 뚫어놓는다.)
• $$x\gt1$$ 인 경우, $$x$$ 값이 증가하면 $$y$$ 값도 증가하는 증가함수이다.
• $$0\ltx\lt1$$ 인 경우, 비뚤어진 U자형을 그린다. 이 구간에서 임계점(=최솟값)은 $$\displaystyle x = {1 \over e}$$ 이다.
• $$x\lt0$$ 은 그래프가 불연속이다. 이거 하나 때문에 아래에 서술하듯 $$x^{x}$$ 의 부정적분이 없다.

위 함수의 변형인 $$y = x^{1 \over x}$$ 의 특징은 다음과 같다.

• $$1^1 = 1$$ 이기 때문에 $$\left(1, 1\right)$$ 을 반드시 지난다.
• $$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0+}{x^{1 \over x}} = 0$$ 이므로 $$\left(0, 0\right)$$ 에서 출발하도록 그린다.( 단, $$0$$ 으로 나누기는 정의하지 않으므로 $$\left(0, 0\right)$$ 은 뻥 뚫어놓는다.)
• $$x\gt0$$ 인 경우, 완만한 곡선을 그린다. 임계점(=최댓값)은 $$\displaystyle x = e$$ 이다. $$x\lte$$ 인 경우 $$x$$ 값이 증가하면 $$y$$ 값도 증가하는 증가함수이며, $$x\gte$$ 인 경우 $$x$$ 값이 증가하면 $$y$$ 값은 감소하는 감소함수이다.
• $$x\lt0$$ 은 그래프가 불연속이다. 이거 하나 때문에 아래에 서술하듯 $$x^{1 \over x}$$ 의 부정적분이 없다.

3 극한값

• $$a\gt1$$ 의 경우
  • $$\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}{a^x} = \infty$$
  • $$\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}{a^x} = 0$$
• $$0\lta\lt1$$ 의 경우
  • $$\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}{a^x} = 0$$
  • $$\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}{a^x} = \infty$$

극한을 모르는 이를 위해 설명하자면, $$a\gt1$$ 이면 x값이 증가할 수록 그래프가 하늘을 뚫을 그래프 위로 올라가고, x값이 감소할 수록 x축에 점점 가까워진다는 뜻.
$$0\lta\lt1$$ 이면 반대로 x값이 증가할 수록 그래프가 x축에 점점 가까워지고, x값이 감소할 수록 그래프가 위로 올라간다 뜻.
이때 어느 경우든 함수의 그래프가 x축에 점점 가까워지므로 x축을 점근선으로 갖는다고 볼 수 있다.

4 미적분

• 미분 : $$\displaystyle \frac{d}{dx} a^{x} = a^{x} {\ln a}$$
  • $$\displaystyle \frac{d}{dx} a^{1 \over x} = -a^{1 \over x} {\ln a \over x^2}$$
  • $$a \lt 0$$ 인 경우 : $$\displaystyle \frac{d}{dx} a^{x} = a^{x} ({\ln |a| + i \pi})$$
  • $$\displaystyle \frac{d}{dx} e^{x} =e^{x}$$
    • $$\displaystyle \frac{d}{dx} e^{ix} = i \cos x - \sin x$$
  • $$\displaystyle \frac{d}{dx} i^{x} = {i \pi \over 2} \cos ({\pi x \over 2}) - {\pi \over 2} \sin ({\pi x \over 2})$$
  • $$\displaystyle \frac{d}{dx} a^{\ln x} = {a^{\ln x} \ln a \over x}$$
  • $$\displaystyle \frac{d}{dx} x^{x} = x^{x}({1 + \ln x})$$
    • $$\displaystyle \frac{d}{dx} x^{x^{x}} = x^{x^{x} + x - 1} (x \ln^{2} x + x \ln x + 1)$$
    • $$\displaystyle \frac{d}{dx} x^{1 \over x} = x^{-2x +1 \over x}({-1 + \ln x})$$
• 적분 : $$\displaystyle \int a^{x}dx=\frac{a^{x}}{\ln a}+C$$
  • $$\displaystyle \int a^{1 \over x} dx$$ 는 초등함수로 적분이 불가능하다.
  • $$a \lt 0$$ 인 경우 : $$\displaystyle \int a^{x}dx = {a^{x} \over \ln |a| + i \pi} + C$$
  • $$\displaystyle \int e^{x}dx = e^{x} + C$$
    • $$\displaystyle \int e^{ix} dx = \sin x - i \cos x + C$$
  • $$\displaystyle \int i^{x} dx = {2 \over \pi} \sin ({\pi x \over 2}) - {2i \over \pi} \cos ({\pi x \over 2}) + C$$
  • $$\displaystyle \int a^{\ln x}dx = {x a^{\ln x} \over \ln a + 1} + C$$
    • $$\displaystyle \int e^{\ln x}dx = {x^2 \over 2} + C$$
  • $$\displaystyle \int x^{x} dx$$ , $$\displaystyle \int x^{x^{x}} dx$$ , $$\displaystyle \int x^{1 \over x} dx$$ 는 초등함수로 적분이 불가능하다.

5 여담

• 어떤 현상이나 수치가 갑자기 늘어나는 양상을 영어로는 Exponential growth라고 한다. 이걸 직역하면 '지수(함수)적 성장'이다. 한국어로는 보통 '기하급수적'이라고 표현하는데 같은 의미.

복소함수론에서 지수 함수를 정의할 때에는, 밑이 $$a$$ 인 지수함수를 먼저 정의하는 게 아니라 먼저 자연상수 $$e$$ 를 밑으로 가지는 지수함수 $$e^z = \exp{z} \left(z \in \mathbb{C}\right)$$ 를 정의하고 그 다음에 밑이 $$e$$ 가 아니라 $$a$$ 인 경우를 정의하기도 한다.

$$e^z = \exp{z}$$ 을 $$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{z^n}{n!}} = 1 + z + \frac{z^2}{2!} + \frac{z^3}{3!} + \frac{z^4}{4!} + \cdots$$ 이라고 정의한 다음, $$a^z$$ 을 $$a^z = \exp\left(z \cdot \log{a}\right) = e ^ {z \cdot \log{a}}$$ 로 정의하는 식.