Schur's Inequality.
1 개요
슈어의 부등식이라고도 한다. 이름은 독일의 수학자 이사이 슈어의 이름을 땄다. 참고로 이 수학자는 잘 알려지지는 않았지만 그의 이름을 딴 여러가지 개념이 많다. 슈어 대수학, 슈어 곱, 슈어 테스트 등등... 이 중 슈르 부등식은 KMO와 같은 수학 경시대회를 준비한다면 보게 될 것이다. 대학 수학과에서도 슈르 부등식을 자세하게 가르치는 경우는 드물다. 그냥 수많은 부등식 중 하나이기 때문. 안습 자세한 부등식의 내용은 아래와 같다.
음이 아닌 실수 [math]a,b,c[/math][1]와 [math]r\gt0[/math]에 대하여, [math]a^r\left(a-b\right)\left(a-c\right)+b^r\left(b-c\right)\left(b-a\right)+c^r\left(c-a\right)\left(c-b\right)\geq0[/math]이다. 등호는 [math]a=b=c[/math] 또는 [math]a,b,c[/math] 중 두 개는 같고 나머지 하나는 0일 때 성립한다.
2 증명
[math]a^r\left(a-b\right)\left(a-c\right)+b^r\left(b-c\right)\left(b-a\right)+c^r\left(c-a\right)\left(c-b\right)[/math]가 대칭식이기 때문에 [math]c\leq b\leq a[/math]라고 두어도 된다.[2] 이 때, [math]f\left(a\right)=a^r\left(a-c\right)[/math]라고 정의하면, 음이 아닌 실수 [math]a,b,c[/math]에 대하여
[math]\frac{\text{d}}{\text{da}}f\left(a\right)={\left(a^{r+1}-ca^r\right)}'=\left(r+1\right)a^r-cra^{r-1}=\left(r+1\right)a^{r-1}\left(a-\frac{r}{r+1}c\right)\geq 0[/math]가 성립한다. 따라서 [math]f\left(a\right)[/math]는 [math]a[/math]에 대하여 증가함수이고, [math]f\left(a\right)\geq f\left(b\right)[/math]이다. 따라서
[math]a^r\left(a-b\right)\left(a-c\right)-b^r\left(a-b\right)\left(b-c\right)=\left(a-b\right)\left(f\left(a\right)-f\left(b\right)\right)\gt0[/math]이고, 여기에 항상 음이 아닌 실수 [math]c^r\left(c-a\right)\left(c-b\right)\geq 0[/math]를 더하면 증명하고자 하는 바가 증명된다.
3 일반화
이 슈르 부등식은 일반화가 존재한다. 내용은 아래와 같다.
[math]a,b,c[/math]가 양의 실수라 하자. 또한 [math]a,b,c[/math]와 [math]x,y,z[/math]가 비슷하게 정렬되어 있다고 가정하자.[3] 그러면, [math]a\left(x-y\right)\left(x-z\right)+b\left(y-z\right)\left(y-x\right)+c\left(z-x\right)\left(z-y\right)\geq0[/math]이 성립한다.
그런데 여기서 또 일반화가 존재한다. 아래 일반화는 2007년 루마니아의 한 수학자에 의해 증명되었다.
실수 [math]a,b,c,x,y,z[/math]에 대하여, [math]a\geq b\geq c[/math]이고 [math]x\geq y\geq z[/math]라고 가정하자.[4] 양의 실수 [math]k[/math]에 대하여 함수 [math]f:[/math]ℝ[math]\to[/math]ℝ[math]^+_0[/math]가 볼록함수이거나 단조함수라 가정하자. 그러면, [math]f\left(x\right)\left(a-b\right)^k\left(a-c\right)^k+f\left(y\right)\left(b-a\right)^k\left(b-c\right)^k+f\left(z\right)\left(c-a\right)^k\left(c-b\right)^k\geq0[/math]이 성립한다.
제일 위에 있는 슈르의 부등식은 여기서 [math]x=a,y=b,z=c,k=1,f\left(x\right)=x^r[/math]인 경우임을 알 수 있다.