진자

1 단진자

simple pendulum
단진자 항목 참고

2 물리진자

physical pendulum
파일:OvUykem.gif
수평한 회전축을 가지고 있는 강체. 괘종시계의 시계추가 물리진자에 해당한다. 물리진자의 회전축에서 무게중심 까지의 거리를 $$h$$ 라고 하자. $$\theta$$ 만큼 회전한 물리진자는 운동궤도의 접선방향으로 $$mg\sin\theta$$ 만큼의 힘을 받는다. 따라서 토크는 $$\tau=-mgh\sin\theta$$ 이다. 관성 모멘트가 $$I$$ 일때 운동방정식 $$\tau = I \frac{d^2\theta}{d\theta^2}$$ 을 이용하면 $$\displaystyle \frac{d^2\theta}{d\theta^2}+\frac{mgh}{I}\sin\theta=0$$ 이다. .진자가 흔들리는 각도가 충분히 작을 때 각속도는 $$\omega=\sqrt{\frac{mgh}{I}}$$ 이고 주기는 $$T=2\pi\sqrt{\frac{I}{mgh}}$$ 이다.

3 결합 진자

coupled pendulum
파일:Pe3hZUS.gif
두 진자의 고유 진동수가 비슷하면 하나의 진자가 흔들릴때 다른 진자도 흔들리는 공명을 일으킨다. 하지만 두 진자의 고유 진동수가 다르면 공명을 잘 일으키지 않는다. 공명의 대표적인 예시 중 하나이다.

4 이중진자

double pendulum
파일:GIwZEcs.gif
움직임은 비선형 미분방정식을 따르는 혼돈의 카오스를 보여준다. 푸앵카레 단면(Poincaré section)은 그림과 같다.파일:F027xlr.png #

4.1 운동방정식

$$m_1$$ 물체의 운동에너지는
$$T_1=\frac{1}{2}m_1l_1^2\dot{\theta}_1$$
위치에너지는
$$U_1=-m_1gl_1cos\theta_1$$
이며, $$m_2$$ 물체의 운동에너지는
$$T_2=\frac{1}{2}m_2\left ( \dot{x}_2^2+\dot{y}_2^2\right )=\frac{1}{2}m_2\left [ l_1^2\,\dot{\theta}_1^2+l_2^2\, \dot{\theta}_2^2+2l_1l_2\cos(\theta_1-\theta_2)\dot{\theta}_1\dot{\theta}_2\right ]$$
위치에너지는
$$U_2=-m_2g(l_1cos\theta_1+l_2cos\theta_2)$$
이다.

따라서 두 물체로 이루어진 계의 라그랑지언은
$$L=T-V=\frac{1}{2}(m_1+m_2)l_1^2\,\dot{\theta}_1^2+\frac{1}{2}m_2l_2^2\,\dot{\theta}_2^2+m_2l_1l_2\,\dot{\theta}_1\dot{\theta}_2\cos(\theta_1-\theta_2)+(m_1+m_2)gl_1\cos\theta_1+m_2gl_2\cos\theta_2$$
이다. $$\theta_1$$ 에 대하여 오일러 방정식을 풀면
$$\displaystyle \frac{\partial L}{\partial\dot{\theta}_1}=(m_1+m_2)l_1^2\dot{\theta}_1+m_2l_1l_2\dot{\theta}_2\cos(\theta_1-\theta_2)$$
$$\displaystyle \frac{d}{dt}\left ( \frac{\partial L}{\partial\dot{\theta}_1} \right )=(m_1+m_2)l_1^2\,\ddot{\theta}_1+m_2l_1l_2\,\ddot{\theta}_2\cos(\theta_1-\theta_2)-m_2l_1l_2\,\dot{\theta}_2\sin(\theta_1-\theta_2)(\dot{\theta}_1-\dot{\theta}_2)$$
$$\displaystyle \frac{\partial L}{\partial \theta_1}=-m_2l_1l_2\dot{\theta}_1\dot{\theta}_2 \sin(\theta_1-\theta_2)-(m_1+m_2)gl_1\sin\theta_1$$
정리하여 다음의 운동방정식을 얻는다.
$$\displaystyle (m_1+m_2)l_1\ddot{\theta}_1+m_2l_2\ddot{\theta}_2\cos(\theta_1-\theta_2)+m_2l_2\dot{\theta}_2^2\sin(\theta_1-\theta_2)+(m_1+m_2)g\sin\theta_1=0$$

같은 방법으로 $$\theta_2$$ 에 대하여 오일러 방정식을 풀면
$$\displaystyle \frac{\partial L}{\partial\dot{\theta}_2}=m_2l_2^2\dot{\theta}_2+m_2l_1l_2\dot{\theta}_1\cos(\theta_1-\theta_2)$$
$$\displaystyle \frac{d}{dt}\left ( \frac{\partial L}{\partial\dot{\theta}_2} \right )=m_2l_2^2\ddot{\theta}_2+m_2l_1l_2\ddot{\theta}_1\cos(\theta_1-\theta_2)-m_2l_1l_2\dot{\theta}_1\sin(\theta_1-\theta_2)(\dot{\theta}_1-\dot{\theta}_2)$$
$$\displaystyle \frac{\partial L}{\partial \theta_2}=m_2l_1l_2\dot{\theta}_1\dot{\theta}_2 \sin(\theta_1-\theta_2)-m_2gl_2\sin\theta_2$$
정리하여 다음의 운동방정식을 얻는다.
$$\displaystyle m_2l_2\ddot{\theta}_2+m_2l_1\ddot{\theta}_1\cos(\theta_1-\theta_2)-m_2l_1\dot{\theta}_1^2\sin(\theta_1-\theta_2)+m_2g\sin\theta_2=0$$

해석역학없이 뉴턴역학만으로는 운동방정식을 구할 엄두가 안 날 것이다. 이중진자는 해석역학이 필요한 대표적인 예 중의 하나이다.

5 고문 도구

줄에 매달아 늘어뜨린 커다란 칼날 같은 고문도구는 펜듈럼 항목 참조.

6 관련 항목

• 푸코의 진자
• 앙리 푸앵카레
• 카오스
• 역학

7 신사의 일본어 じんじゃ의 표준 표기법

신사(신토) 항목 참고.