코펜하겐 해석

1 개요

양자역학의 해석 중 하나로, 1925년에서 1929년 코펜하겐 대학에서 닐스 보어와 베르너 하이젠베르크를 중심으로 제안한, 양자역학에서 지켜야할 수학적인 공리들이다. 실제 이 용어는 1930 ~ 1950년 사이에 쓰이지 않고 있다가, 1955년대 베르너 하이젠베르크가 논리적 기반이 부족한 다른 양자역학 해석들을 비판할 때 처음으로 사용한 이후로 하나의 관용어로 쓰이고 있다.

슈뢰딩거 방정식 등을 풀면 나오는 파동함수는 복소수꼴인데, 이게 대체 뭐냐에 대한 의문에 대한 가설들 중 하나로, 학부 교과서들은 이것을 표준으로 사용한다. 표준적 해석으로 자리잡았지만 알베르트 아인슈타인 등은 이 해석에 계속해서 의문을 제기했고 최근에는 코펜하겐 해석이 더 설득력 있기 때문에 받아들여졌기 보다는 보어의 영향력이 막강했기 때문에 널리 퍼졌다는 의견도 제기되었다.코펜하겐 해석에 따라 수소원자 궤도문제나 터널링 문제를 풀어보면, 수소 스펙트럼이나 실제로 일어나는 터널링 현상의 크기와 정확하게 일치한다.

이 해석은 확률로 중첩된 상태로 존재한다는 비상식적인 주장 때문에 많은 논란을 일으켰는데 대표적인 사례가 슈뢰딩거의 고양이이다. 코펜하겐 해석에 따르면 고양이는 죽은 상태와 산 상태가 중첩되어 있다는 기이한 결론이 나오는데 슈뢰딩거는 이를 통해 코펜하겐 해석에 의문을 제기했다. 알베르트 아인슈타인도 코펜하겐 해석에 부정적이었다. 아인슈타인은 측정해야 의미가 있어진다는 점에 의문을 가졌고 양자역학이 불완전하기 때문에 이런 불완전한 결과를 낳는다고 생각하여 숨은 변수 이론을 펼쳤다.

아인슈타인은 다양한 역설을 발표하며 코펜하겐 해석에 의문을 제기했지만[1] 전부 보어 등에게 논파되었다. 그리고 숨은변수가 정말로 존재한다고 가정하여 풀어낸 벨의 부등식과 그것을 실제로 관측한 실험을 통해 벨의 부등식 처럼 입자가 움직이지 않고, 공간의 크기와 시간의 차이를 넘어 정보가 전달될 수 있다는 것이 증명되었다.
그렇게 코펜하겐 해석은 그 이후로 오랫동안 양자역학을 설명하는데 있어 반드시 만족해야할 표준적인 기준으로 자리잡게 된다.

현재 엄밀한 검증을 위해 거리를 늘려가며 양자얽힘(Entanglement state) 실험을 하고 있다.
TED-ed 영상으로 양자얽힘에 대해 설명하고 있다.

2 코펜하겐 해석의 내용

코펜하겐 해석의 내용에서 가장 유명한 상보성의 원리와 불확정성 원리는 처음으로 만들어진 1930년대 이후로 꾸준히 받아들여져 왔지만, 최근 코펜하겐 해석에 따른다라 쓰고 세부적으로 다르게 쓴 논문들이 등장하기 시작하면서 다시 다듬어졌다. 세부내용으로 끊임없이 들어가면 끝도 없이 할 이야기가 많으나, 가장 주된 내용부터 나열하면 다음과 같다.

2.1 파동함수

항목 참조.

2.2 확률밀도(보른 규칙)

파동함수는 확률적이어야한다.

학부과정에서 배우게 되는 양자역학의 파동함수 크기의 제곱은 확률밀도로 다룬다. 따라서 파동함수 그 자체는 확률 진폭이라고 부른다. 이 항목은 어디까지나 1st Quantization에서 대체적으로 올바르게 성립하는 공리[2]
이다. 하지만, 2nd Quantization에서는 파동함수 자체가 연산자인 관계로, 둘을 곱한다고 해서 확률이 나오는 것이 아니다[3]. 그래서 표준적인 공리라고 하기에는 일반적이지 못해서 보통 제외하고 다른 것으로 표현하기도 한다.

하지만 역으로 2nd Quantization을 사용하는 양자장론의 시각에서, 해당 공리가 올바르게 설정되었다는 것을 확인해 볼 수 있다. 물론, 새로운 가정이 또 딸려나온다는 것이 큰 문제지만.

오일러 라그랑주 방정식을 슈뢰딩거 방정식으로 설정하여, 라그랑지안 밀도를 찾아보면, 뇌터의 정리에서 시간에 대해 불변한 양이 바로 파동함수의 크기제곱이다. 라그랑지안의 물리량이 에너지인 것이 타당하다는 가정하에 파동함수가 놓인 공간에 따라 길이의 역수차원(길이가 1차원만 다루면 파동함수의 크기 제곱은 길이의 역수, 3차원이면 파동함수의 크기의 제곱은 길이의 삼승의 역수 차원을 가진다.) 을 가지게 된다. 이와 같이 관측하고자 하는 길이차원에 따라 달라지는 물리량은 확률밀도밖에 없다라는 것을 알았다. 다만, 이것도 어디까지나 라그랑지안의 물리량이 에너지, 더욱 나아가 Action이라는 물리량이 각운동량의 차원을 가져야 한다는 결론에 도달해야 하는데, 왜 라그랑지안의 물리량을 항상 에너지단위로 설정할 수 있는지에 대해서 파악된 바가 없다.

2.3 하이젠베르크의 불확정성 원리

파동함수로 표현 된 물리계의 특징은, 양립 불가의 원리(Principle of incompatibility)를 가진다. 같은 시간과 같은 장소에서 동시에 관측 불가능한 물리량이 존재한다. 이를 불확정성 원리라 한다.

양자역학에서 대표적인 예가 바로, 운동량과 위치간의 관계다. 계 안을 휘저어 다니는 입자나 파동 덩어리의 위치를 정확하게 측정할 수록 계의 정확한 운동량을 측정할 수 없고, 반대로 입자나 파동 덩어리의 운동량을 정확하게 측정할 수록 어느 지점에 있었는지 정확한 위치를 표현할 수 없다.

2.4 관측

관측을 할 때, 계는 반드시 관측장치와 상호작용을 한다. 어떤 특정 물리량을 측정할 때, 파동함수는 해당 물리량을 기준으로 고유 상태로 정렬되며, 불확정적 관계를 지니는 물리량의 정보는 파괴되는 비가역적 변화가 일어난다.

첫번째 관측자가 운동량을 정확하게 측정한 직후, 두번째 관측자가 위치를 정확하게 측정하면 첫번째 관측자가 얻은 운동량에 대한 정보가 파괴된다. 두번째 관측 직후에 세번째 관측자가 다시 운동량을 측정하면 이미 파동함수가 가지고 있던 고유한 운동량의 정보가 파괴되어 첫번째 관측자와 다른 운동량을 얻는다. 그리고 운동량의 정보를 얻었으니, 이번에는 두번째 관측자가 측정한 위치에 대한 정보가 파괴된다.

다만 두번째 관측자가 위치가 아니라 운동량을 측정하면 첫번째 측정과 똑같은 운동량을 얻을 수 있고, 세번째 관측자도 운동량을 측정하면 첫번째와 두번째 관측자가 측정한 운동량을 관측할 수 있다. 이 경우, 위치정보는 계속 파괴된 상태이나, 첫번째 관측자가 운동량 정보를 취득하는 순간 해당 운동량에 대한 정보를 제공하는 파동함수로 재정렬되었기 때문이다.

관측자(이 경우 관측장치가 해당된다)의 개입으로 파동함수가 가지고 있던 정보가 파괴될 수 있다는 것을 뜻한다. 수식상에서 연산자는 해당 물리량을 관측하려는 관측자에 대응된다

2.5 물리량

물리학에서 다뤄왔던 물리량(에너지, 운동량, 위치, 각운동량....)을 관측한다면, 해당 물리량은 기존에 다뤄왔던 물리량과 똑같은 성질을 갖는다. 보어가 특별히 강조하였으며, 이 의견은 하이젠베르크가 수용했다.

고전역학에서 운동량의 제곱을 해당 입자의 질량의 두배로 나누면 운동에너지를 구할 수 있듯이, 양자역학에서 얻은 운동량을 통해 운동에너지를 계산할 수 있다. 즉 이미 널리 알려진 법칙들[4]이 양자역학에서 유용하게 사용될 수 있다라는 뜻이다.

2.6 상보성의 원리

파동함수는 파동-입자 이중성을 가지고 있음을 주의한다. 실험은 입자와 같은 결과 만을 관측할 수 있고, 파동과 같은 결과 만을 관측 할 수 있으나, 이는 어느 성질을 중점적으로 보냐는 관점의 문제일뿐 파동함수로 표현되는 물리계는 입자성과 파동성을 동시에 갖는다. 이는 닐스 보어가 주장했다.

전자의 이중슬릿 실험을 예로 들면 전자가 발사된 직후 운동량을 측정하여 일정한 크기로 날아가는 것을 확인한 경우, 이중슬릿의 두개의 구멍중 어느쪽으로 갈지는 확률적으로 결정되며 그 뒷부분에 종이와 같은 스크린을 가져다 두고, 종이의 어느 부분에 전자가 많이 쌓이는지를 관측하면 간섭무늬가 나타난다(전자의 파동성).
그러나 전자가 발사 되었을 때, 어느 구멍으로 통과할지를 정확하게 측정하면, 간섭무늬는 사라지고, 대신 전자의 발사지점과 구멍을 일직선으로 통과하여 스크린에 도달한다(전자의 입자성).

2.7 호환

단 하나의 고유한 진동수를 가지는 파동함수는, 다른 고유한 진동수를 가지는 파동함수들의 결맞음 중첩 상태의 표현(호환)으로 다뤄질 수 있다. 만약 중첩상태로 다룰 수 없다면, 호환이 불가능한 파동함수이다.푸리에 변환을 통해 파동함수는 이를 적절하게 구별할 수 있는 물리량을 기준으로 중첩상태로 표현이 가능하다는 특징 때문에 중첩상태로 표현이 가능하다. 단, 어떤 물리량을 기준으로 중첩상태로 표현하려고 써 봤더니 두개 혹은 그 이상 갯수가 같은 물리량을 가져서 (해당 물리량을 기준으로 하여) 구분하는 것이 불가능한 겹칩상태(Degenerate)는 해당 물리량의 중첩으로 나타낼 수 없다.

위의 내용은, 양자역학에서는 완벽한 단진동 운동[5]을 하는 입자는 존재하지 않는다라는 것을 의미한다.

2.8 대응원리

양자수가 매우 커질 경우(계 안쪽의 입자 갯수가 매우매우 커질 경우, 위치와 속도의 표준편차가 눈으로 관측가능한 크기에 달했을 경우) 고전적인 물리량 관계에 접근한다. 보어와 하이젠베르크가 주장했다.

양자역학에서 두드러지는 특징을 예로 들어보면, (여러가지가 있으나 그 중에) 입자가 가질 수 있는 에너지가 불연속적이거나 불확정성 원리는, 크기가 매우 작고 입자의 수가 적은 계에서는 눈에 띄게 두드러진다.

허나, 관측대상의 허용오차가 커지거나 수가 매우 많아질 경우, 고전역학에서 다뤄온 것 처럼 연속적인 에너지 변화[6]와 불확정성으로 발생하는 오차의 크기가 관측하는 크기에 비해 상대적으로 매우 작아, 위치와 운동량은 동시에 측정가능해진다.

2.9 관측대상

눈으로 덩어리를 확인할 수 있는 크기(cm), 원자덩어리 (nm)보다 더 작은 아원자(쿼크나 경입자), 낮은 에너지 상태에서의 입자, 그리고 아주 높은 에너지 상태의 입자를 표현하는 양자계는 차이가 존재한다.

대상의 크기나 상태에 따라 그에 걸맞는 양자역학을 대응해야 한다는 것이다. 예를 들면, 낮은 에너지상태이며[7] 덩어리가 큰 물질의 경우 고전역학에서의 역학적 에너지 보존을 사용하고, 원자들의 격자배열 구조에서 발생하는 에너지 띠 구조이용해 양자계 해석을 한다. 입자하나의 운동에너지가 매우 높은 경우 특수 상대성 이론의 효과가 발생하므로, 상대론적 현상이 반영된 양자역학으로 해석을 한다.

2.10 선형결합

서로 다른 파동함수들은 텐서곱[8]으로 결합할 수 있다.

텐서곱으로 새롭게 표현된 전체 파동함수는 새로운 물리계를 나타내며, 이에 맞춰 새로운 결맞음 파동함수를 필요로 한다.
  1. ↑ 대표적인 것이 EPR 역설.
  2. ↑ 이것은 1차 양자화에서 대체로 올바르게 성립하는 공리이나, 상대론적 양자역학에서는 확률밀도가 음수값을 갖는 모순이 발생하기도 한다. 허나 잘 해석해 보면 이 또한 문제 없음을 알게 되었지만, 본 지면상 해당되는 내용이 아니므로 생략하겠다.
  3. ↑ Feynman prescription에 따라 표현했을 때 전파연산자(Propagator)가 튀어 나오며, 해당양 자체는 발견할 확률이 아니라 전파되는 확률을 결정하는 양이다.
  4. ↑ 예를 들어, 역학적 에너지 보존의 법칙은 운동에너지와 위치에너지의 합은 항상 같다로 알려져 있는데, 이는 양자역학의 물리량으로 운동에너지와 위치에너지를 합한 역학적 에너지 또한 보존이 된다라는 것을 뜻한다. 마찬가지로 운동량을 해당 입자의 질량으로 나누면 속도를 얻듯, 양자역학의 운동량또한 속도와 운동량의 관계가 성립한다
  5. ↑ 입자의 운동량이 유일한 하나로 측정되는 경우가 존재하지 않는다. 설령 측정하는 위치의 범위나 오차를 무한대로 확장해도, 거의 근사적으로 운동량이 하나밖에 없는 입자로 보일뿐, 운동량보다 매우매우 작은 차이 크기의 (상대적으로)작은 운동량과 큰 운동량을 가진 상태가 존재한다고 본다.
  6. ↑ 간단한 예로 공을 던졌을때의 포물선 운동을 생각하면 된다. 고전적인 해석은 부드러운 포물선을 허락하지만, 공을 입자로 대체하고 미시세계 크기의 작은 높이의 포물선 운동이 되도록 던지면 곧이곧대로 받아들이지 않길 바란다. 단순히 비유하자면 낮은 곳에서 높은 곳 순으로 점핑하며 순식간에 올라갔다가 점핑하며 순식간에 내려온다.
  7. ↑ 상대적으로 낮다라는 뜻이다. 대체적으로 경입자나 쿼크 하나가 1 GeV의 에너지를 가지면 높은 에너지 상태로 고려한다
  8. ↑ [math]n\times n[/math] 과 같은 정방행렬로 표현할 수 있다. 대신 행렬 내 같은 수식을 만족하는 것끼리 제거하여 행렬의 요소가 하나인 것으로 요약할 수 있다면 스칼라(Rank 0 Tensor), 아무리 압축해도 한줄짜리 행렬이 나타나면 벡터 (Rank 1 Tensor), 두줄이 나타나면 (Rank 2 Tensor),...등등로 표현한다.