카오스 이론

Chaos Theory

1 개요

Chaos Theory. 혼돈이론. 영화 나비효과와 소설 쥬라기 공원으로 잘 알려져 있다. 요즘은 그보다 조금 더 구체화된 형태의 복잡계(Complex Systems) 이론이 존재한다.[1] 참고로 두 이론은 서로 용어가 조금씩 다른데, SERI 복잡계연구소에 따르면[2] 카오스 이론에서의 "복잡하다" 는 complicated, 복잡계 이론에서의 "복잡하다" 는 complex 라고 쓴다고.

2 설명

카오스란 초기 조건에 극히 민감한 결과를 갖는 시스템을 가리킨다.[3]

1960년대 미국의 어느 기상 연구소에서 애드워드 로렌츠(Edward Lorenz) 라는 기상학자가 3계 미분방정식을 풀던 중 실수로 소숫점 셋째짜리 미만을 생략했는데, 이를 나중에 검토하던 중 초기 조건을 아주 미세하게 다르게 입력했을 때 예측되는 기상 상태가 극심하게 차이가 난다는 것을 발견하게 된다. 이를 계기로 아주 작은 미세한 오차들이 겹치고 겹쳐 더 큰 결과를 이뤄내기 때문에 예측할 수 없는 결과가 일어난다는 가설이 제기되었으며, 이후 카오스 이론으로 명명된 분야에 대한 연구가 시작된다.

사실 수학에서 나오는 개념이지만, 대중적으로는 수학과의 관련성이 덜 알려져 있다. 대체로 나비효과나 너클볼 같은 데서 자주 인용되는 편. 일단 그나마 대중적으로 알려진 카오스 이론의 대표적인 예로 '로지스틱 수열'을 들 수 있다. 특정한 모양의 점화식을 갖는 수열인데, 해석학이나 미분적분학 연습문제에 자주 볼 수 있다. 정말로 신기한 게 점화식 자체의 상수를 조금만 바꾸거나, 초기값을 아주 조금만 바꿔도 대략 10번째 항 이후부터는 처음에 구했던 수열과 완전히 동떨어진 수열이 나온다. 혼합성, 주기성, 초기조건의 민감성이 카오스 이론의 세 가지 성질인데, 이 세 가지를 모두 볼 수 있는 좋은 예다.

흔히 말하는 나비효과란 카오스 이론의 한 예로써, 베이징(브라질)에서 나비 한마리가 날개를 펄럭인 것이 뉴욕에 허리케인을 불러올 수 있다는 말에서 비롯되었다. 구체적으로 말해서 나비효과는 카오스 이론의 성질 가운데 '초기조건의 민감성'을 설명하기 위한 하나의 예시이자 비유이다. 간단히 말해 나비효과⊂카오스이론이다.

카오스 이론 그 자체가 미래가 예측 불가능하다는 이론은 아니며, 초기 조건을 완벽히 파악할 수 있다면 미래를 예측할 수 있다는 결정론적인 결론을 내포한다. 다만 완벽히 같은 초기조건을 파악하기 어렵다는 것이 골자다. 초기조건의 아주 작은 요소라도 정확히 파악하지 않고 추정치를 입력한다면, 그 추정치의 오차 때문에 완전히 엉뚱한 예측을 내놓게 될 것이기 때문이다. 측정의 정확도에 따른 오차, 계산 과정에서의 반올림에 따른 오차 같은 아주 작은 요소 때문에 최종 결과가 완전히 엉뚱하게 나올 수 있다는 것. 그래도 이런 측정 오차나 계산 오차같은 요소들만 극복한다면 이론적으로는 미래 예언까지도 가능하다는 게 카오스 이론 자체의 내용이다.

그런데 초기 조건에 대한 완벽한 파악이라는 건 '기본입자 하나의 정확한 위치'[4]까지 파악하란 얘긴데, 이건 불확정성 원리에 의해 불가능하다고 알려져 있다. 결국 초기 조건에 대한 완벽한 파악이라는 전제 자체가 충족 불가능하며, 따라서 미래 예언은 불가능하다는 것이다. 그러니까 트리 다이어그램 은 불가능 단순히 공돌이나 외계인, 시간과 예산 따위를 막대하게 갈아넣는다고 해결할 수 있는 일이 아니라, 아예 이론적으로 불가능한 일이라는 것.

20세기 후반에 들어 프랙탈 이론과 결합하였을때 자연현상을 시뮬레이션하는 좋은 방법이 된다는 것이 알려졌고, 현재 많은 분야에서 응용중이다. 쉽게 접할 수 있는 것으로는 컴퓨터 그래픽으로 지형 및 구름, 물결 등을 묘사할때 이 개념이 쓰이고 있다.

초기값을 조금 바꾸어서 극과 극으로 나오니 이상한 학문이다 혹은 도망칠 구멍을 준비한 학문이라고 까는 사람은 제대로 알아 먹지 못한 사람이다.

리처드 3세에 대한 어느 영국 전래 민요가 나비효과를 잘 묘사하고 있다.

못 하나가 없어서 말 편자[5]를 잃었다네.
말 편자가 없어서 말을 잃었다네.
말이 없어서 파발병[6]을 못 보냈다네.
파발병을 못 보내서 소식을 못 전했다네.
소식을 못 전해서 전투에서 졌다네.
전투에서 져서 왕국을 잃었다네.
못 하나가 없어서 모든 것을 잃었다네.#

그래서 윌리엄 셰익스피어의 희곡 "리처드 3세"에서 말에서 떨어져 죽기 직전에 "말! 말! 내 왕국을 줄테니 말을 다오!"[7]라고 부르짖었는지도 모른다(...)

3 기타

제임스 글릭의 책인 <카오스 - 새로운 과학의 출연>에 자세히 설명되있다.[1]

학문의 어려움을 논할 때는 항상 빠지지 않고 등장하는 일종의 개그 소재로 주로 등장한다.

  • 인간의 학문 중에서 가장 어려운 학문은 전자기학이다.[8]
  • 양자역학은 신의 학문이다.[9]
  • 카오스 이론은 신도 버린 학문이다. (...)

가령 이런식. 근데 신이 없잖아(...)[10] 사실 어렵다기 보다는 애초에 불가능에 도전한다고 보는 편이 좀 더 맞다.

  1. ↑ 복잡계는 투입(input)과 산출(output) 간의 관계를 쉽게 예측하기 어려운 계를 말한다. 반대말은 단순계이다.
  2. ↑ 한때 이를 다루는 SERI 산하 복잡계 홈페이지에 복잡계 이론 소개글이 있었다. 2005년에는 복잡계를 주제로 책도 펴냈었다. 2014년 현재는 SERI 사이트에서 복잡계 홈페이지의 링크가 확인되지 않는 듯. 확인되면 추가바람.
  3. ↑ 사실 초기 조건에 민감하기만 하다고 카오스가 될 수 있는 것은 아니고, 위상적 혼합가능성과 궤도 밀집성을 가져야 한다. 쉽게 설명하면 위상적 혼합가능성은 시간이 지나면 관찰 결과가 관찰 가능한 모든 상태 전체에 확산된다는 말이고, 궤도 밀집성은 대략적인 주기성을 갖는다는 말이다. 프랙탈 이론 참조
  4. ↑ 광자나 보존입자, 심지어 있는지 없는지도 모르는 중력자까지
  5. ↑ 말굽, 말의 발에 쇠붙이를 붙여서 보호하는 일종의 말 신발.
  6. ↑ 말을 타고 달려서 멀리 떨어진 지역에 소식을 전하는 병사. 파발병이 아니라 기사라는 기록도 있음
  7. ↑ A horse! A horse! My kingdom for a horse! 이는 문명 5에서 기마술을 연구할 시 나오는 어록이기도 하다.
  8. ↑ 풀이가 어렵다 뿐이지 어쨌든 풀면 값이 나온다.
  9. ↑ 풀어도 확률만 나온다.
  10. ↑ 양자역학 항목을 참고.