불확정성 원리

(불확정성의 원리에서 넘어옴)

Uncertainty principle.
Indeterminacy principle. [1]

파일:Attachment/불확정성 원리/uncer.jpg

동시에 들어 왔는데요.

전자현미경 관측 들어갑니다.
양자 하나 차이로 3번마가 우승했습니다!
이건 무효야! 관측으로 결과가 바뀌어 버렸잖아!

1 개요

300px[2]
독일의 물리학자인 베르너 하이젠베르크가 제안했다고 알려진 물리학 이론. 수학의 불완전성 정리와는 다르다. 이쪽은 쿠르트 괴델이 증명했다.

가장 대표적인 것으로, 입자의 위치와 운동량은 동시에 일정수준의 정확도 이상으로는 측정되지 않는다는 것이 있다. 불확정성 원리는 양자역학에 대한 추가적인 가정이 아니고 양자역학의 통계적 해석으로부터 얻어진 근본적인 결과이다. 하이젠베르크의 불확정성 원리는 위치-운동량에 대한 불확정성 원리이며, 입자의 위치와 운동량을 동시에 정확히 측정할 수 없다는 것을 뜻한다. 위치가 정확하게 측정될 수록 운동량의 퍼짐(또는 불확정도)은 커지게 되고 반대로 운동량이 정확하게 측정될 수록 위치의 불확정도는 커지게 된다. 에너지와 시간도 같은 관계이며, 비단 이뿐만 아니라 파동의 형태로 기술할 수 있는 많은 물리량이 이런 관계를 따른다. 이는 물체가 슈뢰딩거 방정식[3]을 따르며 거동한다면 필연적으로 나타나는 결과이다. 이로 인해 보어의 원자 모델은 버려졌다(혹은 개선되었다).

2 잘못된 이해(하이젠베르크의 현미경)

방 안에 헬륨 풍선이 하나 둥둥 떠다닌다고 해 보자. 방 안은 캄캄한 데다 당신은 안대를 차고 있기 때문에 앞을 전혀 볼 수 없다. 헬륨 풍선을 확인할 수 있는 방법은 손에 있는 막대기를 휘저어서 풍선을 치는 방법 뿐이다. 헬륨 풍선은 매우 가볍기 때문에, 당신이 아무리 세심하게 막대기를 휘두른다고 해도, 풍선을 건드려서 위치를 확인하는 순간 헬륨 풍선은 다른 장소로 날아서 이동하게 된다. 따라서 당신은 헬륨 풍선의 정확한 위치를 알 수 없으며, 단지 어디쯤 존재할 것이라고 추측만 할 수 있다.
즉, 전자의 위치와 운동량을 전자로부터 직접 알아낼 수 있는 방법은 없으며, 빛이나 다른 입자[4]를 전자와 충돌시켜서 알아내야만 한다. 그런데 빛이나 다른 입자를 전자에 충돌시키는 순간, 전자의 위치와 운동량은 변화하게 되므로 우리는 현재 전자의 위치와 운동량은 알 수 없고, 단지 추측만 할 수 있을 뿐이다.

그러나 이는 불확정성 원리를 쉽게 이해하게 한답시고 그 내용을 완전히 왜곡한 한 예이다. 실제 불확정성 원리는 '관측의 부정확'에 있는 것이 아니다. 막대기가 풍선을 건드려도 막대기가 풍선에 가한 에너지가 0이라 풍선의 운동이 전혀 영향을 받지 않을 상황을 가정하더라도, 풍선의 위치는 주위와 상호작용을 하든 안하든 상관없이 불확정적이다. 즉 풍선의 정확한 위치라는 것이 애초에 우주에 존재하지 않는다. 단, 우리가 막대기로 풍선을 건드리는 순간 파동함수가 붕괴되어 특정한 값으로 풍선의 위치가 관측되는 것일 뿐이다. 사실 이러한 비유로 인해 많은 사람들이 불확정성 원리를 완전히 잘못 이해하고 있으며, 이 예는 아주 나쁜 예라고 할 수 있다. 그럼에도 불구하고 실제로 불확정성이 생기는 이유를 일반인에게 쉽게 설명할 방법이 없으므로 아직도 쓰이는 예이다. 그 이유 중 하나는 이 원리를 발견한 하이젠베르크 본인이 만든 설명이기도 하기 때문이다.[5] (또한 이 설명은 전자의 이중-단일 슬릿의 관찰 조건 변화에 따른 실험적 결과와도 일치하지 않는다!)

3 좀 더 자세한 설명

우선 제일 먼저 유의해야 할 것은, 어떠한 '관측'을 할 때, 그러니까 다른 어떤 것과 상호작용을 하면서 물리량 중 하나가 직접 관여하게 될 때는, 심지어는 에너지가 전혀 연관되어 있지 않는 관측(물리적으로 불가능하지만)을 하더라도 불확정성은 존재한다. 이는 위에 있는 풍선 비유 등의 잘못된 비유로 불확정성을 배운 사람이 받아들이기 힘든 결과일 것이나, 양자역학적(엄밀히 말하자면 통계역학적 성질)으로 예측되는 결과이다.

저 관계의 참 뜻은, 수만(혹은 그 이상)개의 사건을 통해서 위치와 운동량을 동시에 측정한다고 했을 때, 위치와 운동량에 대해서 평균값을 구할 수 있다. 다만 구한 평균값을 통해서 표준편차를 구하였을 때, 위치의 표준편차와 운동량의 표준편차가 0이 되지 않는다[6]고 두 표준편차의 곱이 [math]\hbar / 2[/math]의 관계로 묶여 있다는 것을 의미한다.

완벽하게 앞뒤가 같은 동전을 수만번 던지는 실험을 했다 하자. 그러면 던진 횟수 당 앞, 혹은 뒤가 나온 경우의 수 비율은 1/2가 된다. 이를 통해, 우리는 실험이 종료한 후에 다음에 동전을 던졌을 때, 앞이 나올 기대를 1/2 확률만큼 존재한다고 주장할 수 있게 된다. 반면, 어느 이상한 동전은 수만번 던져 볼 때 마다 항상 앞이 나온다면, 우리는 직접 던지지 않고도 앞면(표준편차가 0 인 상태)이 나올것이라고 기대할 수 있다.

즉, 표준편차 두개 모두 0이될 수 없다라는 뜻 자체는 다음에 위치와 운동량을 측정했을 때, 표준편차에 따라 다른 값을 가질 수 있는 확률이 존재한다는 뜻이며, 평균적으로 표준편차크기만큼 벗어날 뿐, 더 많이 벗어난 값도, 덜 벗어난 값도 측정가능하다. 이것은 어떤 상태에 대해서 명확하게 위치와 운동량을 지정할 수 없다는 뜻으로 확장된다.

그런데 세상만사가 단순하게 돌아가는 것은 아니라서, 어느 일정한 온도를 유지하는 기체나 고체, 혹은 액체만 바라보더라도, 물질속 원자(혹은 분자)들 모두가 독립적으로 운동하지 않으며, 서로 충돌을 하면서 에너지를 교환하게 된다. 그래서 각 원소가 가지게 될 운동량 크기의 평균값은 분명 볼츠만 상수로 정의되는 물리계 전체의 운동량 크기값과 같지만, 속으로 들어가면 다른 원소(혹은 분자)와 충돌해서 평균값보다 더 큰 값이나 적은 값을 가지는 원자(혹은 분자)가 있을 수도 있다.

우리가 확률이란 개념을 도입하여 사용하면 사용할 수록, 부분적으로 평균값에서 벗어나는 수가 늘어나며, 오차를 매울 수 있는 방법은 존재하지 않는다.[7] 다만, 코펜하겐 해석에 따라 파동함수를 정의하면, 위와 같이 위치와 운동량의 표준편차가 연결되어 있으며, 표준편차 곱 최소값은 [math]\hbar / 2 [/math]이다.

그런데 코펜하겐 해석에 쓰여 있는 것 같이, 파동함수는 불변하길 바라는데 정보를 측정할 때마다 다른 물리량이 측정된다는 뜻으로 보인다. 이를 통해서 우리가 파동함수를 통해 위치만을 잘 측정해서 규정 하였고,이후에 운동량을 측정하는 것으로 관점을 바꿔 운동량을 잘 측정하게 되었다면, 위치를 측정한 이후의 운동량을 측정하는 순간 파동함수가 변화해야한다라는 해석에 도달한다. 겉으로 보기에 코펜하겐 해석을 위반 한 것처럼 보이나, 우리가 위치를 측정하기 위해서는 물리계 전체를 나타내는 불변한 파동함수 중 위치에 대한 정보를 선택적으로 뽑아야, 위치를 정확하게 알 수 있다라는 점이다. 즉, 파동함수 원형 자체는 여전히 유일하고 불변적이나 부분적으로 우리가 선택한 정보만이 관측에 의해서 변화(혹은 파괴)된다는 것을 의미 하기 때문에, 실상 문제는 없다.[8][9]


다른 예를 들어 보자. 어떤 입자의 운동량을 매우 정밀하게 측정해서 위치를 정확하게 알 수 없다고 가정한다. 측정된 위치의 오차가 1m라고 하고 실험 기구의 오차가 1mm라 할 때, 측정할 때 이 입자는 어떻게 보이겠는가? 사람들은 입자가 1m 범위에 뿌옇게 흐려져 있는 상황을 상상하고, 불확정성이 1m이기 때문에 실험기기의 오차가 1mm인 것은 무의미하다고 생각할 것이다. 그러나 이것은 참이 아니다. 실제로는 관측을 하면 실험기기의 오차인 1mm 안쪽의 정밀도로 위치를 알아낼 수 있다. 다만 그 입자가 가질 수 있는 위치의 범위가 1m일 뿐이다. 그러한 상황의 동일한 입자 여럿을 두고 하나씩 꺼낸 다음에 위치를 측정해 보면 그 위치는 1mm 안쪽의 정밀도로 결정되나 분포가 1m에 걸쳐져 있다. 여기서 같은 입자의 위치를 여러 번 측정하지 않는 이유는 실험의 엄밀성을 위해서이다.

서두에서도 언급되어 있듯이, 입자의 위치와 운동량은 동시에 어떠한 정확도 이상으로는 측정되지 않는다는 것은 물체가 슈뢰딩거 방정식을 따르며 거동한다면 필연적으로 나타나는 결과이다.
웨이브 패킷의 일반적인 모양[10]
양자역학에서 미시 세계의 물질은 이처럼 한 '점'이 아니라 (비교적) 넓은 영역에 걸쳐서 확률적으로 존재한다.[11] 여기서 위치 [math] x [/math]의 정확성을 높히기 위해 위치를 파동함수 위의 특정 범위로 제한하고자 한다면, 나머지 영역의 함수값은 버려야 하므로 결과적으로 운동량의 정확도가 제한된다.[12] 반대로 운동량을 더 정확하게 알아내고자 한다면 파동함수에서 보다 넓은 영역을 고려해야 하므로 위치 [math] x [/math]는 그만큼 더 불확정해진다.[13] 이는 상술했다시피 미시 세계의 물질들이 입자이자 동시에 파동이기 때문에 수학적으로 도출되는 한계이며, 관측 장비의 실용적, 또는 물리적 한계와는 무관하다. 불확정성의 "원리"라고 명명된 것도 이 때문.[14]

보다 직관적으로 설명하자면, 사실 '나무를 보면 숲이 보이지 않고, 숲을 보면 나무가 보이지 않는다' 와 같은 이야기이다. 어떤 나무(입자)가 숲에서 어디에 위치해 있는지를 보기 위해서는 멀리 떨어져서 숲 전체를 보아야 한다. 그런데 그러면 그 특정한 나무가 어떤 특성(운동량)을 가졌는지에 대해서는 알기 힘들다. 그렇다고 접근해서 그 나무에 대해 측정하면 그 나무의 특성은 알 수 있게 되겠지만, 숲 전체에서 그 나무가 어디에 위치하는 지는 알 수 없게 되는 것이다. 나무와 숲이야 움직이지 않으니 두 관측 결과를 조합해서 숲과 나무에 대해 확정적인 정보를 얻을 수 있겠지만, 불확정성 원리에서 말하는 입자와 파동은 결코 멈추지 않으므로 이 원리를 극복하는 것은 불가능하다.

다시 이과 이야기로 돌아가서, 이러한 관계는 가관측량(observable) [math] a [/math], [math] b [/math]에 대응하는 연산자 [math] \hat{A} [/math], [math] \hat{B} [/math]의 교환자(commutator)가 0이 아닐 때 성립한다.[15] 특히 물체의 상태의 [math] a [/math], [math] b [/math]공간에서의 표현이 서로 푸리에 변환되는 관계를 가지거나, 혹은 동등한 조건으로, 각각의 물리량에 대응하는 연산자 [math] \hat{A} [/math], [math] \hat{B} [/math]의 교환자가 [math] i\hbar [/math]일 때는 가우스 파속(波束)(gaussian wavepacket)의 성질을 이용하여 불확정성의 원리를 증명할 수 있다. 이런 관계를 만족하는 가관측량으로는 예를 들면 운동량과 위치 말고도 에너지와 시간 같은 게 있다.
여기까지 정말 어렵게 설명했지만, 힐베르트 공간에 대해서 조금 이해가 있다면 아주 간단하게 표현된다. [math] \left[\hat{x},\hat{p} \right] = i\hbar [/math]. 이게 무슨 뜻이냐면, 자 이제 물리학과 들어가서 3년 동안 공부를 합시다.

보통 양자역학을 학습할 때는 파동함수와 슈뢰딩거 방정식에 대해 배운 뒤 불확정성 원리에 대해 배우지만, 실제로 에너지를 양자화할 때 위의 교환자를 사용하여 논리를 전개해도 양자역학의 온전한 모습을 얻어낼 수 있다. 즉, [math] \left[\hat{x},\hat{p} \right] = i\hbar [/math] 하나만 가지고도 양자역학을 완벽하게 전개할 수 있다.[16] 단 주의할 점은 이 관계식 만으로도 양자역학을 "완벽하게", 그러니까 논리적으로 틀리는 부분이 없이 전개할 수 있다 점이지 이 식만으로 양자역학의 모든 것을 기술할 수는 없다. 위치와 운동량이라는 물리량들은 물리에서 아주 중요한 요소지만 그 외의 물리량도 많다는 점을 떠올리면 이를 어렵잖게 이해할 수 있을 것이다.[17]

위에서 언급된 두 번째 식과 [math] E = mc^2 [/math]를 합하면 진공에서 입자-반입자 쌍이 짧은 시간 동안 자연적으로 발생했다 사라질 수 있다는 결론이 나오며, 실제로 일어나는 현상임이 오래 전에 확인되었다. 물리적으로 진공은 단순히 비어 있는 공간이 아니라 입자와 에너지가 요동하고 있는 복잡한 상태에 있는데, 이러한 상태를 진공 요동(vacuum fluctuation)이라고 한다.[18] 진공 에너지와 다르니 유의할 것.

일반인도 간단한 개념은 알아두는 게 좋다(…). 이분법적 사고보다 확률론적 사고가 여러모로 세상 살아가는 데 편할 수도 있으니(…). 다만 이 이론을 "세상은 모두 랜덤이야!"로 받아들이면 매우 곤란하다. 양자 레벨의 미시 세계에서 사용되는 개념이다. 거시 세계와 헷갈리면 곤란하다. 미시계에서 일어나는 일이 거시계의 사건에 영향을 끼치는 것은 엄밀히 말해 맞으면서도 아니다. 이게 무슨 개소린가 싶겠지만 사실이 그렇다. 미시계와 거시계는 모든 이름 붙은 무형의 것과 마찬가지로 필요에 의해 범주가 구분되는데, 미시계에서의 유의미한 사건적 오차가 거시계에 작용하는 순간 이미 거시계적인 사건이고 오차란 게 의미가 없다.[19] 이건 사실 철학 쪽으로 넘어갈 부분이긴 하지만...[20] 무엇보다도 랜덤(Random)이라는 말은 모든 현상이 일어날 확률이 동일하다는 의미를 지니는데 양자역학은 입자가 처한 물리적 상태 등에 따라서 해당 입자가 특정한 위치에서 발견될 확률와 특정한 운동량을 가질 확률 등이 다르게 계산된다. 괜히 '확률론'적 '결정론'이 대세인 게 아니다. 상충하는 것처럼 보이는 저 둘이 붙어 있는 것 자체가 이상하지 않은가? 왜 저런 일이 벌어지냐면, 아무리 봐도 일상의 거시적 현실은 그냥 17세기 기계적 결정론에서 설명하는 것과 전혀 다를 바가 없기 때문이다.[21] 우리는 무언가 주장하고 설명하기 위해 '논리'라는 것을 신봉하는데, 이것조차도 일반인이 느끼지 못할 뿐 철저하게 기존 결정론에 근거한 발상이다. 그러니 구태여 여태 쌓아올린 전체 학문을 망가뜨릴 필요가 없고, 기성 학문 체계가 유지되는 것이다.[22] 괜히 아인슈타인이 죽기 전까지 인정하지 못한 게 아니다. 스티븐 호킹도 우리가 아직 모르는 부분 때문에 이런 모순이 발생하는 거 아니냐고 언급한 적이 있었고. 코펜하겐 해석 이후로도 장 이론이니 뭐니 별별 이론으로 양자적 모순을 통합하려는 노력이 끊이지 않는 이유이다. 물론 그다지 가시적인 성과는 없다.

4 보완

2012년 1월 15일에 하이젠베르크의 부등식에 결함이 발견되었다는 연구가 나왔다. 위치 오차와 속도 오차뿐이 아닌, 입자의 자전(즉, 스핀)이 미치는 영향(스핀 교란)까지 고려해야 한다는 것. 이에 따르면 특정 성분의 측정 오차가 0에 가까워질 때 다른 성분의 측정 오차가 무한대로 발산한다는 기존 부등식과 다르게 특정 값(1.5보다는 약간 작은 값)에 수렴한다는 의미. 어찌됐든 '하나의 오차는 반드시 생긴다'는 사실은 변함이 없으니 양자역학의 본질이 부정된 것은 아니다. 오히려 하이젠베르크의 부등식으로 인해 할 수 없었던 실험이 가능해져, 양자역학의 새로운 발판으로 평가받고 있다. 세계일보 기사

해당 연구에 대한 학계의 반응 및 자세한 내용을 알고 있는 위키러는 추가바람.

5 이야깃거리

2012학년도 대학수학능력시험 언어 영역의 비문학 독해 과학 파트에 불확정성의 원리를 설명한 지문과 문제가 출제되었다. 비트겐슈타인의 논리/철학 논고를 다룬 인문 지문, 조선시대 사대부들의 중국어 표기 방법을 다룬 언어 지문과 더불어 언어 영역의 변별력 확보를 위해 출제된 것으로 보인다. 문과생들은 좌절했지만 이과생들은 웃음 지었다. 그러나 실제로 지문이 그렇게 어렵지 않았기 때문에 문과생이라 하더라도 모두 맞출 수 있는 수준이다. 말 그대로 일반인을 위한 교양 과학 수준으로 출제되었다는 소리. 이렇게 안 내면 욕먹으니까 그리고 애초에 언어 영역은 그 분야에 배경 지식이 좀 있다고 해서 맞출 수 있는 것은 아니다(...). 이과생들에게 친숙한 과학 개념이 비문학 지문으로 나올 경우 부담감이 덜어지는 건 사실이나 독해 능력이 떨어진다면 말짱 꽝이다. 반대로 문과생들은 정작 글 내용이 어려운 것도 아닌데도 과학 공포증에 자폭하는 경우가 많다.[23]

은하수를 여행하는 히치하이커를 위한 안내서에서는 이 원리를 우주선의 추진 장치로 사용해 버린다. 입자의 위치와 운동량은 동시에 어떠한 정확도 이상으로는 측정되지 않는다는 것을 이용하여 어느 물체의 정확도를 엄청나게 낮춰버려 우주의 모든 곳에 있어도 이상하지 않을 정도로 이동한다고 한다.[24] 이걸 사용하면 하이퍼 스페이스보다 더 빠르게 이동할수 있으나, 여러가지 부작용(원하지도 않았던 승객이 탑승한다든가,[25] 행성의 미래를 바꿔버린다든가, 역사를 바꿔버린다든가 기타 등등)이 있지만, 다 필요없다. 그리고 더군다나 이 방식을 이용하고 정확한 좌표만 알면 어디든지 갈 수 있기에, 여러 역장으로 막혀져 있는 곳에 있는 사람, 예를 들어 우주를 지배하는 사람에게 갈수 있는 방법 중 하나로 등장한다.
  1. ↑ Uncertainty Principle이 통용되고 있으나, 이는 불확실성 원리로 오인할 여지를 주며 엄밀하지 못한 용어이다. 하이젠베르크가 제안한 원리는 '불확실'이 아닌 '불확정'성 원리로, 그가 사용한 독어 원어 Ungenauigkeit는 Indeterminacy를 의미한다. 다만 초판 영어번역과정에서 Uncertainty로 표기함으로써 영미권에서는 Uncertainty라는 표현이 굳어지게 되었다.
  2. ↑ 해당 수식의 [math] \Delta x[/math]는 측정한(혹은 하게 될)위치의 표준편차, [math]\Delta p[/math]는 측정한(혹은 측정하게 될)운동량의 표준편차이다. 표준편차는 평균값으로 부터 얼마나 크게 떨어져 있는지를 나타내는 값이므로, 평균적으로 평균값에서 멀어질 크기라고 이해하는 것도 틀린 것은 아니나 착각하지 말자.
  3. ↑ 더 엄밀하게 말하자면, 슈뢰딩거 방정식의 유무에 관계없이 양자역학의 가정을 코펜하겐 해석에 따른다면 반드시 도출되는 결과이다. 다만 해당 설명을 제대로 이해하기 위해서는 리군(Lie group)이나 푸리에변환(Fourier transformation)이 파동함수를 어떻게 바꾸거나 표현하는지를 파악할 필요가 있다. 그래서 슈뢰딩거 방정식에서 등장하는 연산자를 통해 쉽게 증명 할 수 있는 방법을 보여준다. 그런데, 슈뢰딩거 방정식의 연산자들의 관계를 설정한 것이 불확정성으로부터 나온 것이니, 마치 결과를 원인에 집어 넣어 다시 결과가 맞았다고 주장하는 순환논리가 되므로, 착각하지 말고 현명한 판단을 하도록 잘 분별하자.
  4. ↑ 양자역학에서는 빛도 하나의 입자로 취급할 수 있다.
  5. ↑ 하이젠베르크 본인도 양자역학의 태동기에는 불확정성의 원리가 단순한 관측의 부정확함에서 오는 것으로 생각했었다. 발견한 사람도 헷갈리는데 일반 대중은...
  6. ↑ 반대로 위치의 표준편차가 0이라는 뜻은 모든 사건에서 같은 위치를 측정한 것과 같다
  7. ↑ 확률적으로 다른 값을 가지는 상태는 분명 존재하기 때문이다. 대신 사건의 수가 늘어나면 표준편차의 크기가 줄어드는 대수의 법칙도 있는데 이것은 코펜하겐 해석의 상보성 원리와 연관이 있다.
  8. ↑ 오히려, 파동함수에서 위치에 대한 정보를 선택하는 것과 운동량에 대한 정보를 선택하는 것 이 둘을 동시에 할 수 없으며, 동시에 하려 하면 반드시 불확정성 원리에서 등장한 표준편차 크기가 등장한다는 것이 더 본질에 가깝다.
  9. ↑ 파동함수는 반드시 고립계만을 표현한다는 것은 에렌페스트 정리를 통해서 확인이 가능한 내용이므로, 해당 내용과 연결하면 자연스럽게 전체가 망가져야하는 일은 존재하지 않는 다는 것도 알 수 있다.
  10. ↑ [math] x [/math]축: 위치, [math] y [/math]축: 확률 진폭(probability amplitude) 실제 확률은 확률 진폭의 제곱으로 구해진다.
  11. ↑ 물질의 기본 단위가 입자임과 동시에 파동이라는 것은 이중 슬릿 실험 등으로 충분히 증명된 사실이다.
  12. ↑ 극단적으로 딱 한 점으로 제한하면 운동량은 전혀 알 수 없다. 위의 '잘못된 이해'에서 소개된 예시라든가, '전자는 너무 작아서 위치를 관찰하려고 다른 입자를 쏘는 순간 위치(운동량)가 바뀌어버린다' 따위의 케이스.
  13. ↑ 극단적으로 운동량을 완벽하게 알아내고자 한다면 수학적으로 위치 x는 전혀 특정지을 수 없다.
  14. ↑ '원리'는 정의에 의해 사실인 것에 붙는다. 1+1=2가 참인 이유는 +, =라는 부호, 참이라는 개념을 어떻게 정의했냐 때문이지 어떠한 실험적 증거가 있어서 그런게 아니듯이. 즉 양자 이론을 받아들이면 불확정성의 원리도 참이라는 결과가 나온다. 괜히 아인슈타인이 '신은 주사위를 던지지 않는다'며 죽을 때까지 양자이론을 받아들이지 않은 게 아니다.
  15. ↑ 교환법칙이 성립하지 않는다는 이야기다. 교환자는 [math] \left[\hat{A},\hat{B} \right] [/math]로 쓰고 [math] \hat{A}\hat{B} - \hat{B}\hat{A} [/math]로 정의하며, 이게 0이 아니라는 것은 [math]\hat{A}\hat{B} \neq \hat{B}\hat{A}[/math]라는 것이다. 이상하게 보일 수 있지만, [math] \hat{A} [/math], [math] \hat{B} [/math]를 행렬과 같은 존재로 생각하면, 교환법칙이 성립하지 않는다는 것을 이해할 수 있을 것이다.
  16. ↑ 여담이지만, 이와 같은 논리 전개는 입자물리학에서도 사용된다. 양자장론에서 입자의 생성, 소멸을 담당하는 연산자 [math] \hat{a} [/math], [math] \hat{a}^\dagger [/math]에 대해서, 보존의 경우 (같은 운동량 모드에 대해) [math] \left[\hat{a},\hat{a}^\dagger \right] = 1 [/math], 페르미온의 경우 [math] \left\{ \hat{a},\hat{a}^\dagger \right\} = 1 [/math]이라는 조건을 사용하여 이차양자화(second quantization)를 시킨다. 이차양자화라니 한 번 더 양자화를 시켜야 한단 말이오 물리학자 양반 여기서 [math] \{ \} [/math]는 역교환자(anti-commutator)로, [math] \left\{\hat{A},\hat{B} \right\} \equiv \hat{A}\hat{B} + \hat{B}\hat{A} [/math]로 정의된다.
  17. ↑ 대표적으로 각운동량.
  18. ↑ 흔히 이런 식으로 설명하기는 하지만, 입자가 무엇인지 이해하기 이전에 입자가 없는 진공이란 게 무엇인지조차 제대로 이해하기 위해서는 양자장론을 정식으로 배우는 수밖에 없다.
  19. ↑ 하지만 원자 10000개에 가까운 규모에서도 양자역학적 현상이 발견된다는 보고가 있고, 미시적 영역과 거시적 영역을 구분하는 것은 인위적이라는 지적도 있다
  20. ↑ 양자물리학이 발전하면서 한계에 봉착함에 따라 철학도 진지하게 다루는 학자들도 많아졌다. 당장 이 불확정성 원리를 낸 하이젠베르크부터 닐스 보어처럼 동양 철학에 조예가 깊었다. 오죽하면 철학자로도 소개될 지경이었다.
  21. ↑ 생각해 보면, 확률이라는 말이 붙어서 그렇지 파동방정식도 결정론적이다
  22. ↑ 비유하자면, '양자역학이 등장하였으나 뉴턴역학(고전역학)은 지금도 건재하다'와 같다.
  23. ↑ 비슷한 경우가 토플, 토익 시험 장문 독해다. 문학, 역사 지문이 나오면 이과생이, 과학사와 기술 지문이 나오면 문과생이 열폭.
  24. ↑ 단, 4번째 항목에서 상술한 최근 연구내용이 맞다면 이는 틀린 내용이 된다.
  25. ↑ 아서 덴트와 포드 프리펙트. 다만 불확정성 원리 엔진의 부작용으로 인해 우주로 맨 몸에 쫓겨나서 살아남을 수 있는 시간인 30초가 끝나기 1초 전에 구조되었으며, 그렇게 구조되고 보니 승무원은 다른 남자가 꼬셔서 이 남자를 버리고 따라가버린 전 여친이였고, 주인이자 운전수는 바로 그 꼬신 남자였다(...).