푸앵카레 추측

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• 관련 문서: 그리고리 페렐만

밀레니엄 문제
미증명 이론	나비에-스토크스 방정식의 해의 존재와 매끄러움
	리만 가설
	버츠와 스위너톤-다이어 추측
	양-밀스 질량 간극 가설
	호지 추측
	P-NP 문제
증명된 이론	푸앵카레 추측

1 개요

Poincaré conjecture. 밀레니엄 문제 중 하나인데, 유일하게 해결된 문제이다.

이제는 푸앵카레 정리다.
페렐만이 증명했으니 '페렐만의 정리'라고 불러야 하려나?

2 개념 및 해설

3차원 공간에서 닫힌 곡선(폐곡선)이 하나의 점으로 모일 수 있다면 그 공간은 구로 변형될 수 있다.

이는 어디까지나 간단하게 정리해서 이렇게 된거지, 원본은 4차원이다. 단, 여기서 말하는 3차원 공간이란 3차원 구공간을 뜻하며 이는 곧 4차원 구를 뜻한다. 즉, 여기서 말하는 3차원은 4차원을 뜻한다. 이 추측과 비슷한 명제로 2차원 공간 버전이 있는데 여기서 말하는 2차원은 역시 3차원을 뜻한다. 그래서 '우주에 무한한 길이의 실을 맨 로켓을 쏘아보내서 그것을 제대로 회수한 다음, 끈을 당겨서 아무런 이상이 없으면 구형 모양의 우주이고, 중간에 무언가 걸리면 구형 모양의 우주는 아니다'라는, 쉬운(?) 비유로 대신 설명된다.

간단한 예로, 속이 빈 도넛 모양의 3차원 공간을 생각해 볼 수 있다. 이 공간 내부에서 실을 맨 로켓을 쏘아 도넛 모양을 따라 이동하게 한 후, 제자리로 돌아오게 한다고 가정하자. 그 다음에 실을 당겨서 회수하려고 한다면, 그 실은 도중에 반드시 도넛 중앙의 빈 공간을 이루는 벽에 걸리게 될 것이다. 그러므로 도넛 모양은 구로 변형시킬 수 없다.

도넛 모양 대신 구형 공간을 생각한다면, 실은 별다른 장애 없이 한 점으로 묶여 수렴할 수 있을 것이다.

위 설명을 풀어서 시각화한 EBS 다큐멘터리 <문명과 수학> 제5부 마지막 부분.

3 제시와 증명

원래 앙리 푸앵카레는 3차원 구공간(4차원의 구면)에 대해 추측했다. 이 추측은 2차원의 경우 우리의 직관처럼 닫힌 곡면위의 곡선을 한 점으로 줄일 수 있으면 구면으로 줄일 수 있다는데서 착안하여 3차원의 구공간에서도 성립하는지 여부를 물은 것이었다. 따라서 같은 질문에 대해 보다 높은 차원에서 성립하는지 물어보는 것은 자연스러운 일인데, 차원이 높으면 증명이 어려울 것이라는 통념과 달리 5차원 이상의 경우가 스티븐 스메일에 의해서 1961년 가장 먼저 풀렸다.수에 또한 1982년 마이클 프리드먼이 4차원 단순다양체의 완전한 분류로 부터 4차원 푸앵카레 추측도 해결이 되고 원래 문제만 증명이 되지 않고 남았다.

밀레니엄 문제에 선정되어 100만 달러의 상금이 걸렸다가, 이후 그리고리 페렐만이 증명했다.

그리고리 페렐만은 arXiv라는 과학, 수학 문서, 논문 공유 사이트에 자신의 결과를 공개했다. 발표한 논문 제목, 발표 날짜, 피인용수(수정일 기준)를 적었다. 논문 제목을 클릭하면 논문을 볼 수 있는 페이지로 이동된다.

1. The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications , 2002년 11월 11일, 517건
2. Ricci flow with surgery on three-manifolds, 2003년 3월 10일, 271건
3. Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds, 2003년 7월 17일, 153건

5차원 이상을 해결한 스메일과 4차원을 해결한 프리드먼, 3차원을 해결한 페렐만은 모두 그 공로로 수학의 노벨상이라 할 수 있는 필즈상을 수상하였다. 그런데 그 중 페렐만은 필즈상 수상을 거절했다(!!!). 또한 푸앵카레 추측은 미분동형 버전도 있는데 이는 존 밀너에 의해 7차원 구에 대한 반례가 발견되었고, 그 공로로 밀너도 1962년에 필즈상을 수상한다.