관성 모멘트

1 개요

물체가 회전운동하는 상태를 계속 유지하려는 성질을 의미한다. 회전 관성이라고도 부른다. 일반적으로 기호는 [math] I [/math]를 쓴다. 동일한 물체라도 회전축에 따라 이 값은 얼마든지 달라질 수 있다.
질량이 한 점에 모여 있는 입자(질점)의 경우, 입자의 질량을 [math] m [/math], 입자에서 회전축까지의 최단거리를 [math] r [/math], 입자의 관성모멘트를 [math] I [/math]라 하면, [math] I=mr^2 [/math]으로 표현된다. 같은 축을 중심으로 [math]n[/math]개의 입자가 있다면 [math] \displaystyle I = \sum_{i=1}^{n} m_i r^2_i[/math], 즉 각 입자들의 관성 모멘트를 다 더해준 값이다.
물체의 질량이 이렇게 한 점에 모여 있다면 계산이 쉽지만, 현실의 물체들은 대부분 그 크기를 가지고 연속적으로 질량이 분포한다. 이 때는 적분을 이용하여 계산하는데, [math]\displaystyle I=\int r^2 dm [/math]로 나타난다. 물체의 부피를 [math] V [/math], 회전축에서 거리 [math]r[/math]인 지점의 밀도를 [math]\rho (r)[/math]라 하면, [math]\displaystyle I=\int r^2 dm=\int_V r^2 \rho (r) dV [/math]이 된다. 매번 적분을 계산하기 힘들기 때문에, 물체의 모양에 따른 관성 모멘트를 나타낸 목록이 존재한다.

(관성 모멘트)x(각속도)=(각운동량)이다. 일반적인 선운동량이 질량과 속도의 곱으로 표현됨을 생각해보면, 관성 모멘트는 회전운동에서의 질량과 같은 역할을 한다고 할 수 있다. 비슷하게 토크 역시 관성 모멘트와 각가속도의 곱으로 표현이 가능하다.

3 평행축 정리

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평행축 정리는 한 물체의 서로 평행한 두 회전축에 대한 관성 모멘트의 관계이다. 질량이 [math] m [/math]인 물체의 질량중심을 통과하는 회전축에 대한 관성 모멘트를 [math] I_{cm} [/math], 그 회전축에 평행하고 거리가 [math] d [/math]만큼 떨어진 회전축에 대한 관성 모멘트를 [math] I [/math]라 하면, [math] I=I_{cm}+md^2 [/math]이다.

4 수직축 정리

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수직축 정리는 서로 수직한 세 회전축에 대한 관성 모멘트의 관계이다. [math] x-y [/math]평면 위에 놓인 판 모양의 물체에 대해, 서로 수직한 세개의 축을 각각 [math] x, y, z [/math]축이라고 하고, 그 각각의 축에 대한 관성 모멘트를 [math] I_x, I_y, I_z [/math]라고 하면, [math] I_z = I_x+I_y [/math] 의 관계가 성립한다는 정리이다.
증명은 꽤 간단하다. 피타고라스의 정리에 의해, [math] r^2 = x^2+y^2 [/math]이다.
따라서 [math]\displaystyle I_z = \int r^2 dm =\int (x^2+y^2) dm = \int x^2 dm + \int y^2 dm = I_y+I_x[/math]가 성립함을 보일 수 있다.

5 관성 텐서

관성 모멘트의 정의에서 같은 물체(구와 같은 대칭 형태는 예외)를 회전시키더라도 회전축이 어디냐에 따라 관성 모멘트가 달라질 수 있다는 것을 알 수 있다. 이는 [math]\displaystyle \int r^2 dm [/math]이 단순히 회전축을 바꾸기만 해도 계산 과정이 달라지기 때문이다.
이 불편함을 해결하기 위해 도입된 개념이 관성 텐서이다. 관성 텐서는 3x3 행렬로 표현되는 2차 텐서로, 물체의 형태에 대해 하나로 그 값이 결정되며 회전축의 영향을 받지 않는다. 관성 텐서에서 관성 모멘트를 구하기 위해서는 관성 모멘트를 구할 축 방향을 나타내는 단위벡터를 곱하면 되며, 이런 방식으로 임의의 축에 대한 관성 모멘트를 자유로이 계산할 수 있다. 식으로 표현하면 [math] I=[D^T]_[I]_[D] [/math]로, 여기서 [math] [I] [/math]는 관성 텐서, [math] [D] [/math]는 축 벡터, I는 관성 모멘트를 의미한다. 관성 텐서를 구하기 위해서는 관성 모멘트를 x, y, z축에 대하여 각각 계산하고, 이에 덧붙여 xy, yz, zx 성분까지 계산하여야 한다.(관성 텐서는 대칭행렬이다)

관성 텐서는 회전운동에 대한 역학을 엄밀하게 정의하는데 상당한 도움이 된다. 예를 들면, 각운동량과 각속도 역시 벡터량인데, 각운동량=관성 모멘트×각속도 로 주어지는 기존의 식에서 관성 모멘트를 관성 텐서로 대치하면 각운동량과 각속도를 각 방향 성분으로 나누어 계산해야만 하는 기존 공식과 달리 3차원 운동에서도 각운동량과 각속도를 그대로 벡터량으로 둔 채로 취급이 가능하다!