0.999…=1

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1 개요

[math]\displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{9}{10^k} = 1[/math]

아주 오래 전부터 수많은 사람들에게 셀 수 없이 많은 논란을 불러일으킨 명제.

결론부터 말하자면 [math]0.999\ldots=1[/math]이다.

2 설명

이 논제를 헷갈리는 이유는 정확한 용어의 정의 없이 직관만으로 논증하려 했기 때문이다. 가령 무한 소수라는 것을 점점 '다가가는' 수 같은 식의 임의로 움직인다는 개념을 집어넣거나 하는데 수학에 '움직이는 수'라는 개념은 없다. 대부분의 수학을 다루지 않는 일반인들은 고등학교에서 수박 겉핥기 식으로만 극한을 배우게 된다. 그런데 고등학교 수준에서는 해석학을 제대로 다룰 수가 없기 때문에 극한과 그 관련 개념들에 대해서 제대로 된 설명을 하지 않고 넘어가게 되면서 사람들의 혼란을 초래하게 된다. 심지어 교사들마저도 이에 대해 제대로 이해하지 못하고 잘못된 설명을 하는 경우가 아주 흔하다. 고로 이런 혼란이 일어난 것은 수학이라는 학문을 애매한 정도로 어설프게 가르친 교육과정의 잘못이 크다고 할 수 있다.

다행히도 0.999... = 1이라는 사실은 수학적으로 아주 간단하게 증명할 수 있다. 고등학교 수준의 수학 지식이 있다면 이해하는 데에 무리는 없을 것이다.

0.999...같은 표기를 쓰기 전에 일단 '무한소수' 라는 것이 무엇인지를 알 필요가 있다. 정의는 간단하다. 수열 [math]\left\{ a_n \right\}_{n \in \mathbb N}[/math] 을 생각하자. 만약에 알아보고 싶은 무한소수가 0.999... 라고 한다면 [math]a_1 = 0.9, a_2 = 0.99, a_3 = 0.999, ...[/math] 이 될 것이다. 무한소수라는 것은 이러한 수열의 극한으로써 정의된다.

극한에 대해서는 해당 항목에 자세히 설명이 되어 있으므로 관심이 있다면 참조하자. 간단히 설명하자면, [math]a_n[/math]의 극한이 a라는 것은 아무리 작은 양수 [math]\epsilon[/math]를 제시하더라도, n을 충분히 크게 함으로써 [math]a[/math][math]a_n[/math] 사이의 거리를 [math]\epsilon[/math]보다 작게 할 수 있다는 의미이다. 직관적으로도 이 정의는 우리가 일상적으로 말하는 '무한히 접근한다' 라는 표현과 일맥상통함을 이해할 수 있을 것이다. 이 정의를 만족하지 않는데 [math]a_n[/math][math]a[/math]로 무한히 접근하지 않을 방법이 있을까 고민해 본다면 명확하다.

첫 번째 문제는 [math]\left\{ a_n \right\}_{n \in \mathbb N}[/math]의 극한값이 존재할지에 대한 것이다. 두 번째 문제는 이 극한값이 무엇일지에 대한 문제이다. 다행히도, 임의의 무한소수에 대해 [math]\left\{ a_n \right\}[/math]의 극한값은 존재하고, 그 극한값은 이 수열의 상한(supremum), 풀어 쓰면 '모든 n에 대해 [math]a_n[/math]보다 크거나 같은 숫자의 집합에서 가장 작은 수' 와 같다.

이를 증명하기는 어렵지 않다. 일단 집합 [math]\left\{ a_n | n\in \mathbb{N} \right\}[/math]이 상계(upper bound)를 가진다는 것을 보이자. 이는 간단하다. 예를 들어 '10'은 임의의 [math]a_n[/math]보다 크므로 이 집합의 상계이다. 실수의 완비성에 의해 공집합이 아닌 실수의 부분집합에 상계가 존재한다면 상한(supremum)은 언제나 존재한다. 수학자들이 부등호를 적절하게 조절하여 임의의 집합에 대해서도 항상 존재할 수 밖에 없도록 만든 개념이기에 그렇다. 이는 하한(infimum)도 마찬가지. 자세한 것은 [[1]]를 참조

그 다음은 이 상한이 이 수열의 극한값이라는 것을 증명해야 한다. 단조 수렴 정리(monotone convergence theorem)에 의하면, 임의의 수열이 위로 유계이고 증가하는 수열이라면 그 극한값이 존재하며 극한값은 그 수열의 상한과 같다.

이를 증명하기 위해 위 명제가 성립하지 않는다고 가정하자. 즉, [math]\left\{ a_n \right\}[/math]이 증가 수열이고, 위로 유계임에도 불구하고 [math]\left\{ a_n | n\in \mathbb{N} \right\}[/math]의 상한 [math]c[/math]로 수렴하지 않는다고 가정해 보자. 그러면 극한의 정의에 의해 어떤 [math]\epsilon[/math]이 존재하여 아무리 n을 키워도 [math]c[/math][math]a_n[/math]의 차이를 [math]\epsilon[/math]보다 작게 만들 수 없어야만 한다. 하지만 그럴 경우, [math]c[/math][math]\left\{ a_n | n\in \mathbb{N} \right\}[/math]의 상한이라는 가정에 위배된다. 왜나하면 [math]c-0.5\epsilon[/math]라는 수는 [math]c[/math]보다 작으면서도 [math]\left\{ a_n \right\}[/math]의 상계가 될 수 있기 때문이다. 따라서 위 명제가 성립하므로, 수열 [math]\left\{ a_n \right\}[/math]의 극한값이 존재하며 그 값은 [math]\left\{ a_n | n\in \mathbb{N} \right\}[/math]의 상한과 같다.

이제 모든 증명이 끝났다. [math]\displaystyle a_n=1-\frac{1}{10^n}=0.999\cdots 9[/math](9가 n개)라고 하자. 그러면 [math]\left\{ a_n | n\in \mathbb{N} \right\}[/math]의 상한은 1이다. 따라서 0.999.... = 1이다.


3 간단한 증명들

  • [math]a = 0.999\cdots[/math]로 두면 [math]10a = 9.999\cdots[/math] 이때, [math]10a - a = 9a = 9.999\cdots- 0.999\cdots = 9[/math] 이므로, [math]a = 1[/math]
이는 중학교 수학책에도 나오는 증명이다.
  • (귀류법) [math]0.999\cdots[/math][math]1[/math]이 다르다고 하자.
실수의 삼분법(trichotomy)[1]에 의하여 [math]0.\dot{9}\gt1[/math]이거나 [math]0.\dot{9}\lt1[/math] 중 하나이다. 일단 [math]0.\dot{9}\gt1[/math]은 성립하지 않는다. 왜냐하면 [math]0.\dot{9}\gt1[/math]이라면 [math]0.\dot{9}[/math]의 정수 부분이 1보다는 크거나 같아야 하는데 이는 모순.
[math]0.\dot{9}\lt1[/math]라면 실수의 조밀성에 의하여 [math]0.\dot{9}\lta\lt1[/math]인 어떤 실수 [math]a[/math]가 존재한다. [math]a:=0.a_1a_2a_3\ldots \ (a_i \in \left\{ 0,1,2,\ldots,9 \right\})[/math]라 하자. [math]0.999\cdots \lt 0.a_1a_2a_3\cdots[/math]인데 [math]a_1[/math][math]0,1,2,\ldots,8[/math]중 하나라면 [math]0.\dot{9}\gta[/math]이므로 모순. 따라서 [math]a_1=9[/math]이다. 같은 방법을 계속 반복하면 임의의 자연수 [math]n[/math]에 대하여 [math]a_n=9[/math]가 된다. 따라서 [math]a=0.\dot{9}[/math]이므로 모순.
[math]0.\dot{9}\gt1,\ 0.\dot{9}\lt1[/math]의 두가지 경우에 대하여 모순이므로 결과적으로 [math]0.\dot{9}=1[/math]이다.
  • 모든 자연수 [math]n[/math]에 대하여 [math]0\ltn\lt10^n[/math]이므로 [math]\displaystyle 0\lt\frac{1}{10^n}\lt\frac{1}{n}[/math]이 성립한다. 실수의 아르키메데스 성질에 의해 수열 [math]\displaystyle \left\{\frac{1}{n}\right\}[/math]은 0으로 수렴하므로, 샌드위치 정리에 의해 수열 [math]\displaystyle \left\{\frac{1}{10^n}\right\}[/math]도 0으로 수렴한다. 그러면 극한의 성질에 따라 [math]\displaystyle \lim_{n\to \infty}\left(1-\frac{1}{10^n}\right)=1[/math]
  • 1을 3으로 나눌 경우 그 답은 0.333...이 되는데 그걸 다시 3으로 곱하면 0.999...가 된다.
  • [math]\displaystyle\frac{1}{9}[/math]는 0.111... 이고 [math]\displaystyle\frac{2}{9}[/math]는 0.222.. 이므로 [math]\displaystyle\frac{9}{9}[/math] 0.999.. 이다. 이때, [math]\displaystyle\frac{9}{9}[/math]는 1과 같으므로 0.999..=1 성립이 된다.
  • 0.999...= [math]\displaystyle\frac{9}{10}[/math] x [math]\displaystyle\frac{1}{1-\frac{1}{10}}[/math] = [math]\displaystyle\frac{9}{10}[/math] x [math]\displaystyle\frac{1}{9/10}[/math] = [math]\displaystyle\frac{9}{10}[/math] x [math]\displaystyle\frac{10}{9}[/math] = 1이므로 0.999..=1이다.

사실 이 항목에서는 증명이 중요한것이 아니라 정의가 본질적인 문제이다. 무한소수의 정의에 대한 어떠한 언급도 하지 않으면서 하는 증명이란 것은 모호한 사실을 얼핏 보기에 덜 모호해 보이는 사실(가령 1/3=0.333...)로 바꾸는 것인데 애매모호함은 그저 숨겨져 있을뿐 그대로 남아있게 된다. 교육학적으로는 어떨지 모르겠으나 수학적으로는 설명이라고 할 것이 못 된다.

만약 이 항목에 관하여 누군가가 자신에게 물어온다면 이러한 증명을 보여주는것이 아니라 그저 무한소수의 정의는 무엇인지 생각해 보았냐고 되물어 봐 주는게 낫다.

4 이에 대한 반박들

물론 이에 대한 반박은 단순히 인터넷 꾸준글 수준이 아니라 역사적이라고 해도 될 만큼 오래 있었다.

  • "[math]0.999\cdots[/math][math]1[/math]한없이 다가가는 수이지 [math]1[/math]이 안 된다."
  • "어떻게 [math]0.999\cdots[/math][math]1[/math]이냐?", "[math]999[/math]원짜리 물건을 사면서 천 원을 내면 마땅히 거스름돈을 받아야지."

조금 더 그럴싸한 반박으로는 다음과 같은 것이 있다. "S = {x|x<1}이라 하자. 0.9는 S의 원소이다. 0.99 역시 S의 원소이다. 0.999...9(9가 k개)가 S의 원소일 때, 0.999...(9가 k+1개) 역시 S의 원소이다. 따라서 0.999... 역시 S의 원소일 수밖에 없다."라는 것이다. 당연하지만 틀린 증명인데, 왜냐하면 이 논리는 모든 자연수 n에 대해 유한소수 0.999...9(9가 n개)가 S의 원소임을 말해줄 뿐이고, S가 실수에서 닫힌 집합(closed set)이 아니기 때문이다. 어떤 집합이 닫혔다는 S의 원소로 이루어진 임의의 수렴하는 수열 {a_n}에 대해 그 극한값이 S의 원소라는 것으로 정의된다. 이런 정의가 있다는 것은 당연하지만 모든 실수의 부분집합이 닫힌 집합인 것은 아님을 암시한다. 임의의 자연수 n에 대해 0.999...9(9가 n개)가 S의 원소이더라도 0.999...는 그렇지 않을 수도 있는 것이다.

5 남은 이야기

북미에서 인터넷이 보급되면서 시작, 지금까지도 격렬한 논란을 일으키는 떡밥이다. 한 번 판 터지면 양쪽에서 그야말로 입에서 거품을 무는 장관이 펼쳐진다. 블리자드 배틀넷에서 하루가 멀다하고 이 주제를 가지고 싸움이 나자 2004년 블리자드에서 공식으로 [math]0.999\ldots=1[/math] 이 옳습니다하고 공지한 적이 있다. 물론 중등수학에서 '순환하는 무한소수의 분수꼴 표현'과 고등수학에서 '극한값을 이용한 무한소수의 합 구하기'를 철저하다 못해 훈련하듯 배우는 대한민국에서는 그런 거 없...기는 개뿔. 그런 거 없어야 정상인데 그렇질 못하기 때문에 이런 문서가 생겨난 것. 아래 링크로 소개된 수학갤러리 공지글만 봐도 수갤러들이 얼마나 이 문제로 오랫동안 지겹도록 시달리고 있는지 알 수 있다.

한국에서도 유명한 수학귀신에서도 주인공 로베르트가 [math]0.999\ldots=1[/math]는 마지막 [math]0.999\ldots=1[/math]가 없으니 [math]1[/math]이 아니라는 의문을 던지고 테플로탁슬을 매우 빡치게 한다. 책의 77쪽 참고.

DC인사이드 수학 갤러리에서는 워낙 자주 올라온 꾸준글이어서 금지떡밥으로 지정되기도 했으며 공지에 올라오기도 했다.

수학과 전혀 상관없을 법하지만 격투만화인 그래플러 바키의 등장인물 오로치 돗포의 회상씬에서 등장하기도 했다.


6 관련 링크

  1. 임의의 두 실수 [math]a, b[/math]에 대해서는 [math]a = b, a \lt b, a \gt b[/math] 중 하나가 성립하며 두개 이상이 동시에 성립하는 경우는 없다.