3대 작도 불능 문제

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1 개요

고대 그리스부터 내려온 작도 문제. 눈금 없는 자와 컴퍼스를 유한번 사용하여

• 주어진 어떤 각이든지 삼등분하라. = 유리계수 삼차방정식의 근을 작도
• 주어진 어떤 정육면체든지 그의 2배의 부피를 가지는 정육면체를 작도하라. = [math]\sqrt[3]{2}[/math]값 작도
• 주어진 어떤 원이든지 그와 같은 넓이를 가지는 정사각형을 작도하라. = [math]\sqrt{\pi}[/math]값 작도

의 3개다. 문제는 기원전부터 내려왔지만 수학적으로 증명된 건 대수학이 발전한 19세기에 이르러서였다. 어찌보면 페르마의 마지막 정리를 능가하는 떡밥.

중요한 건 여기에서 작도란 "눈금 없는 자와 컴퍼스만을 유한번이용하여 하는 유클리드 작도" 라는 것이다. 눈금 있는 자를 사용하는 '뉴시스 작도' 처럼 '다른 도구를 사용' 한다면 얼마든지 정확히 작도할 수 있다. 이 '다른 도구' 엔 눈금 없는 각도기도 포함된다. 가령 눈금 없는 자에 작은 반원을 붙여 만든 도구로 주어진 각을 삼등분할 수 있다. 종이를 접는 것을 허용할 경우에도 가능하다. 무한번 사용할 경우에도 가능하다.

이렇게 도구와 방법의 제약이 있으니 작도 불가능한 문제들은 당연히 많으며 만들기 나름이다. 유클리드 작도 가능하다는 말은 어떤 수(작도수)를 유리수의 유한한 사칙연산과 제곱근만으로 나타낼 수 있다는 말과 동치이다. 달리 말하자면 유리수나 유리수의 제곱근만으로 나타낼 수 없는 수는 작도수가 아니다. 따라서 작도 불능 문제는 무수히 많다고 할 수 있다. 그리고 작도에서 허용하는 도구와 방법이 제한되어있으므로 작도 불능 문제가 있다는 것은 당연한 거지 신기한 게 아니다.

물론 여기에 제시된 3가지 문제가 작도 불능임이 증명되었으므로 '작도 불능 문제가 존재한다' 는 증명이 끝난 셈이다. 이 사실을 이용하여 다음 사실도 알 수 있다. 종이 위에 아무렇게나 점 두 개를 찍는다. 그 두 점과 작도에서 허용하는 도구와 방법을 이용하여 새로운 점 하나를 찾는다(예를 들면 그 두 점의 중점이라든가 그 두 점과 연결하여 직각이등변삼각형을 만들 수 있는 새로운 점이라든가). 그리고 처음 점 두 개와 새로 만들어진 점을 이용하여 같은 방법으로 네번째 점을 찍고 또 같은 방법으로 다섯번째 점을 찍는다. 이것을 무한히 반복한다 하더라도 만들어지는 점들의 집합이 좌표평면을 완전히 덮을 수 없다. 만약 어떤 도형이라도 작도할 수 있다면 덮을 수 있어야 한다.

더 중요한 건 백 번 죽었다 깨어나도 이미 불가능하다는 게 증명되었다는 점이다. 그러므로 "이거 풀면 필즈상 받나요?" 같은 질문은 절대로 있을 수가 없다. 다만 이런 거 풀겠다는 사람을 없애주는 사람이 있다면 이 사람은 충분히 수학교육계의 최고의 상을 받을 자격이 있다.

참고로 이 3문제 중 위의 2개는 대수적인 모든 실수가 작도 가능한건 아니라는 반례에 해당하며, 마지막 3번째는 대수적이지 않은 수는 작도 불가능하다는 사실의 대표적인 예시에 해당된다.

2 각의 삼등분 문제

가장 떡밥성이 짙은 문제.

직각 같은 경우엔 컴퍼스질 몇 번만 하면 쉽게 3등분이 가능하며 방법이 좀 복잡하긴 하더라도 작도에서 허용하는 도구와 방법만으로 3등분을 할 수 있는 각도 많이 알려져 있기 때문에 많은 사람들이 어떤 각을 갖고 하더라도 역시 가능하지 않을까라고 도전해왔으나 계속 처참하게 발려왔다. 이렇게 많은 사람들의 삽질이 거듭되다가 결국 눈금없는 자와 컴퍼스만을 가지고는 임의의 각을 3등분할 방법이 없다는 사실이 수학자 완첼에 의해 증명되었다.

실제로 3등분 작도가 가능한 각은 많다. 예를 들어, 어떤 각이 작도 가능하다는 것은 그 3배각의 3등분 작도가 가능하다는 이야기다. 또한, 3등분 작도가 가능한 각은 그 2배각이나 절반각도 3등분 작도가 가능하다. 한 예로 101.25도는 얼핏 보기엔 작도가 불가능한 각처럼 보이나 이는 그냥 숫자로만 써놓아서 어정쩡하게 보이는 것이지 작도 가능한 각인 직각을 1/8로 줄이고 그걸 다시 9배로 늘인 각이 바로 이 각이다.

그리고 60도는 삼등분 불가능함도 증명됐다. [math] \cos20^{\circ}=\alpha [/math] 라 두자. 코사인 3배각 공식에 의해 [math]4\cos^3 20^{\circ} - 3\cos 20^{\circ} = \cos 60^{\circ}= 1/2[/math] 이므로 [math]4\alpha^3 - 3\alpha = 1/2[/math] 에서 [math]8x^3-6x-1=0[/math] 의 유리수 해는 존재하지 않으므로 저 다항식은 기약 다항식이다. 작도 가능하려면 유리수에서 기약 다항식의 차수가 2ⁿ 이어야 하므로 [math] 60^\circ [/math] 는 삼등분 불가능하다.

그러므로 임의의 각도가 모두 3등분이 가능한것은 아니다. 만약에 임의의 각의 3등분 작도가 가능하다면, 작도가 불가능함이 이미 증명된 각인 60도가 주어지더라도 60도인지 모른 채 그 방법대로 3등분이 가능해야 되는데, 60도는 이미 삼등분이 안되는것이 증명이 되었으므로, 반례를 보였으니 불가능하다는 것이다(정18각형이 이래서 작도 불가능하다). 구체적으로는 각도 값이 유리수이면서 9로 나누었을 때 딱 떨어져야 3등분할 수 있고, 이를 벗어나면 3등분이 불가능하다(17이나 257 등의 페르마 소수 정다각형도 작도 가능한 범위에 해당되나 훨씬 후대에 증명된 일이므로 여기서는 논외로 한다). 즉, 특정 조건에 한해 3등분이 가능하다면 3등분이 가능하다고 말할 수 없는 것이다.

그리고 가능한 각도의 대표적인 예인 90도도 그것이 90도라는 것을 모르는 상태에서는 할 수 없다.

우리나라에서 많은 사이비 수학자들이 풀었다고 했으나 닉네임 puzzlist에 의해 모두 침몰되었다.양학

2.1 삼등분가

물론 자기가 3등분을 증명했다고 주장하는 사람도 많은데 이런 사람을 '삼등분가'라고 하며, 영어권에서는 'trisector'라고 불린다. (정식 단어가 아니다.) 한국에도 여러 명 존재하는데 이 사람들의 주장을 계속 보다보면 유사과학 항목에 나와있는 유사과학의 패턴과 똑같다. 삼등분가들이 임의의 각을 3등분하는 데 성공했다고 주장하면서 수학자들이 그 주장에 오류를 친절하게 찾아내서 지적을 해줘도 이를 인정하지 않으려고 들어서 수학자들에게 민폐를 끼치는 일이 빈번하자 현재는 세계적으로 삼등분가들의 주장을 담은 논문은 전혀 인정하지 않는 추세이다.

실제로 이러한 사람들이 풀었다는 방법은 하자가 많다. 그 예를 들자면...

• 허용되지 않는 방법을 이용 : 가령 점을 우연히 찍었더니 원하는 답이 나온 경우도 인정하지 않는다. 재현성이 있는 방법만을 인정하기 때문이다. 애초에 수학적으로 정밀하게 생각해보면 '우연히 어떤 점을 찍었더니 그 점이 2였어요!' 라는 식은 절대로 성립할 수 없다. 어느 수를 원해서 찍었더라도 그 찍은 수가 원하는 수일 확률은 0%으로 수렴하기 때문이다.

그리고 횟수는 반드시 유한해야 하며 무한 반복하는 방법 역시 인정하지 않는다. 예를 들면 각의 2등분의 반복을 이용하여 임의의 각을 3등분에 근사할 수 있다. [math]\displaystyle \frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{8}-\frac{1}{16}+\cdots=\frac{1}{3}[/math]이 되어 [math]\displaystyle \frac{1}{2^n}[/math]인 수들의 급수합으로 [math]\displaystyle \frac{1}{3}[/math]에 수렴하는 수를 만들 수 있으므로.(Wolfram Alpha 공식) 그러나 무한 반복해야 하므로 인정되지 않는다. 또한 자는 반드시 선분이나 직선을 긋는 용도로만 사용할 수 있으며 그 이외의 용도는 허용하지 않는다. 예를 들면 자 분지르기, 컴퍼스 눕히기, 자의 직각 부분을 이용해 사각형을 긋기, 삼각자를 이용해 삼각형을 긋기, 모양자의 모양 틀을 이용하는 방법 등은 자를 허용되지 않은 방법으로 사용했으므로 규칙 위반이다.

• 눈금이 있는 자를 이용하는 작도를 뉴시스 작도(Neusis construction)라고 한다. 일반 작도로는 불가능한 도형 중에서도 뉴시스 작도로 가능한 도형이 있다. 대표적으로 정칠각형. 임의의 각을 3등분하는 문제도 뉴시스 작도법을 이용하면 가능하다. 그러나 앞서 말했듯 이 문제는 눈금이 없는 자를 이용해서 풀어야 하므로 뉴시스 작도법을 절대로 인정하지 않으며 일반 작도법으로는 여전히 임의의 각을 3등분할 수 있는 방법이 없다. 눈금 없는 자 위에 눈금을 그려서 쓰는 것도 뉴시스 작도로 간주된다. 참고로 뉴시스작도법으로 이 문제를 푸는 방법은 주어진 각을 중심으로 하는 원을 그린다→주어진 각을 끼고 있는 두 반직선 중 한 반직선을 반대로 늘린다. 길이는 원 밖으로 빠져나온 길이가 반지름 길이보다 조금 더 길게끔 한다→반지름의 길이를 자의 한 가장자리에 눈금으로 표시를 해놓고 가장자리쪽 눈금을 늘인 직선 위에 놓고 반대쪽이 다른 한 반직선과 원의 교점 위에 가게 미끌어 놓아본다. 안쪽 눈금이 원 위에 놓이도록 맞춰놓고 선을 그리면 주어진 각의 1/3 크기 각이 나온다. 이 그림을 참조할 것.

• 종이접기 작도를 할 경우에도 각의 3등분은 가능하다. 종이접기는 주로 서양보다는 동양 수학에서 연구되었던 분야이며 컴퍼스가 없는 대신 종이접기를 허용할 경우 어떻게 작도하는지 살펴보면 신기한 나름 흥미로운 분야이다. 그러나 이것은 완전히 별개의 문제이고 여전히 유클리드 작도에서는 불가능하다.

• 정확한 답이 아닌 근사값만을 구한 후 구했다고 하는 경우도 있는데 수학적으로 정확한 값을 구해야 한다. 가끔 유사수학자의 경지까지는 이르지 못한 일부가 '정확한 값은 못 구했지만 근사값은 구했다' 고 이야기하는 경우도 있는데 그건 아마 '눈으로 구분할 수 없을 정도의 근사값을 구하는 문제' 는 애초부터 불가능이 아니었다는 것을 몰랐기 때문일 것이다. 덧붙이자면 일반인들이 '각 3등분 작도 불능'이라는 개념을 막연하게만 생각하지 구체적으로 어떤 의미인지를 알지 못하기 때문인 것도 있다. 어떤 조건이 있고 어떤 제약이 있는지를 완벽하게 알지 못하고 그러한 상황에서 불가능한 것이라는 개념이 잡히지 않은 것이다. 아주 쉽게 말하면 '이런 도구 쓰지 마라', '이런 방법 쓰지 마라' 하는 조건만 잔뜩 주고 해내라니 못하는 것이다. 이걸 해낸 사람들은 단도직입적으로 말하면 쓰지 말라는 도구나 방법을 은근슬쩍 잘 드러나지 않게 쓴 사람들이다. 그래서 꼼꼼하게 보아야 그걸 잡아낼 수 있는 것이다. 물론 각 2등분은 그런 악조건 속에서도 해낼 수 있다.

• 풀이 과정에 작도에서 허용하는 도구와 방법으로는 찾을 수 없는 점이 있음 : 아무리 지적해줘도 그 점을 찾을 수 없다는 것을 받아들이지 못한다. 그 점이 나왔다는 건 무언가 허용되지 않는 방법을 이용했다는 뜻이다.

• 3등분해야 하는 각을 처음에 제시하지 않고 문제 풀이 중에 만듦. 처음 각 x가 주어지면 그걸 바탕으로 각 y를 만들고 각 y/3를 만든 후 각 y의 삼등분에 성공했다고 주장한다. 이 경우 y를 x에 관해서 표기하는게 가능할테고, 그걸 3으로 나눠보면 3등분이 아닌 전혀 다른 일을 했다는 걸 알 수 있다. 비유하자면 과녁 위에 화살을 정확히 맞히는 게 아니라 화살을 먼저 쏘고 과녁을 그린 다음에 명중했다고 우기는 꼴이다. 참 쉽죠? 훌륭한 예 y는 알 바 아니고 각 x에서 시작했으면 각 x/3로 끝나면 된다. x/3은 대체 어디 있는데?

자신의 주장을 정당화하기 위해 작도가 가능한 문제를 불가능으로 모는 경우도 있다.예를 들면 원래 선분의 3등분은 작도 가능으로 잘 알려져 있는데 '각의 3등분 작도가 불가능하다는 논리로는 선분 3등분도 작도 불가능해야 된다' 는 궤변이라든지 눈금없는 자와 콤파스로 40도의 작도가 불가능하므로 '40도의 2등분 작도가 불가능하다' 는 궤변이라든지...

앞서 이야기한 60도의 경우 60도의 3등분 작도 불가능을 인정하면서도 그것이 '크기를 모르는 각' 의 3등분 작도 문제와는 아무런 상관이 없다고 주장하는 인간들이나 아니면 그것을 인정하지 않고 60도도 3등분 작도를 할 수 있다고 주장하는 인간들이나... 유사수학자들의 유형은 다양하다. 위에 링크된 화살 쏘고 과녁 그린 삼등분가의 글에서도 찾아볼 수 있다. 답이 없다.

3 두배의 정육면체를 작도하는 문제

여기서 2번째 작도는 델로스 문제(Delian problem)로 유명한데, 아폴론 신전의 이야기로도 꽤 많이 알려져 있다. 그 이야기는 다음과 같다.

고대 그리스의 델로스 섬에 갑자기 전염병이 돌았다. 그리스인들은 전염병을 종식시킬 해법을 찾기 위해 델포이의 아폴론 신전에 빌었고 신탁은 다음과 같았다.

"신전의 제단의 부피를 2배로 늘려라. 단 세 변의 비율은 같아야 한다." (또는 원래부터 제단이 정육면체이며 그 모양은 그대로 부피만 2배로 늘리라고 하기도 한다)
그러자 그리스인들은 제단 각 변의 길이를 2배로 늘렸지만 전염병은 계속되었다. 이는 길이를 2배로 늘리면 부피가 8배로 늘어나버리기 때문이었다. 제단의 각 변의 길이가 x, y, z라고 하면 2배로 늘리면 부피는 2x×2y×2z=8xyz 즉 8배. 부피를 2배로 늘리려면 각 변의 길이를 ³√2(≒1.25992105)배로 늘려야 한다.

물론 '실제 제단' 이라는 걸 더 유념하면 오차범위를 작게 줄여 만들 수는 있어도 수학적인 방법은 아니다. 이 일화의 후일담이 수학 교육 만화에 언급된 바 있는데 어느 학자가 뉴시스 작도법으로 문제를 해결하긴 했지만 당시 교육 풍토상 사도에 가까운 행위였기 때문에 사람을 구하기 위해서라지만 외도를 했다는 이유로 자책하다가 잠적해버렸다는 이야기가 있다. 결국 전염병을 종식시키지 않겠다는 아폴론의 뜻

작도가 불가할 뿐이지 실제로는 제단의 부피를 측정해 점토로 제단 부피의 2배 크기로 만들어 제작할수는 있다.

참고로 주어진 정사각형의 두 배의 면적을 갖는 정사각형은 피타고라스의 정리를 이용해서 대각선의 길이를 따는 방법으로 작도할 수 있다. 그러나 주어진 정육면체의 두 배의 부피를 갖는 정육면체는 이 방법으로도 작도할 수 없다.

불사조가 풀었다 카더라 "종교를 바꾸면 돼"

4 주어진 원과 같은 넓이를 가지는 정사각형을 작도하는 문제

만약 어떤 원의 반지름이 1이라고 했을 때 그 원의 넓이는 π가 되므로 그 원과 같은 넓이를 가지는 정사각형의 한 변의 길이는 √π가 되어야 한다. 즉, 이 문제는 √π의 값을 구하는 유리계수 방정식이 존재하는가 하는 문제와 동일한 문제이다. 위의 두 문제는 다음과 같은 유리계수 방정식이 존재하며 그 근을 유리수의 사칙연산이나 제곱근만으로 나타낼 수 없다.

• 각의 삼등분 : 8x³ -6x+1 = 0(3배각 공식을 이용하면 나온다. 이 식 자체는 60도의 불가능만 보여주는 것이지만 60도 하나만 찾아내도 그걸로 증명이 끝나는 이유는 이미 설명했다)
• 주어진 부피의 2배가 되는 정육면체 : x³ = 2

하지만 이 문제는 아무도 이러한 방정식을 찾을 수 없었기 때문에 위의 두 경우보다 논란이 더 길게 지속되었다. 결국 19세기에 수학자 린데만에 의해 π가 어떠한 유리계수 방정식의 근이 될 수 없다(즉 π는 초월수이다) 는 사실이 증명되면서 논란이 종료되었다.

이 문제를 풀 수 있으려면, 딱 한마디로 파이가 대수적 수여야 한다. 즉, 푼다는건 개말도 안되는소리.

고대 이집트의 파피루스의 기록에는 반지름이 1인 원과 같은 넓이를 가지는 직사각형의 한 변의 길이(즉, [math]\sqrt \pi[/math]의 값)의 근삿값을 [math]16 \over 9[/math]으로 제시하고 있지만, 어디까지나 근삿값일 뿐.

5 풀 수 없는 이유와 의의

각의 삼등분과 정육면체의 부피를 두배로 하는 문제가 작도불능이라는 수학적인 증명을 원한다면 여기를 참고하자. π의 작도불능(π가 초월수임의 증명)은 아주 복잡해서 전공서적을 찾아야 한다. 그리고 불가능함이 증명되어있으니 탐구 문제 이상으로 심각하게 생각하지 말자. 이거 풀려고 평생 바치다가 인생 망치는 사람 많다. "불가능함을 증명하는 것"을 기존의 방법보다 좀 더 쉬운 방법으로 하는 방법을 찾는 것 쪽으로 가면 가치 있는 일일 것이다. 의미 있는 도전과 어리석은 도전은 종이 한 장 차이이다.

의의가 있다면 순수하게 기하학의 영역이라고 여겨졌던 작도 문제가 대수학의 방법으로 문제가 풀린다는 것에 있다(그 역사를 거슬러 올라가자면 가우스가 정n면체의 작도 가능성으로 올라가지만). 더불어 군(群) 이론이 등장하면서 대칭 역시 군으로 표현가능한 대상이 되면서 기하학은 더욱 더 풍부한 도구들을 가지게 되었다.

3대 작도 불능 문제 중 역이 가능한 것은 각의 3등분 문제 뿐이다. 주어진 정육면체의 부피를 반으로 만드는 정육면체를 만드는 것은 작도 불능이며 주어진 정사각형과 같은 넓이인 원을 만드는 것도 작도 불능이다. 그러나 주어진 각을 3배로 만드는 것은 작도 가능하다. 그래서 저 위에서 언급한 '화살 쏘고 나서 과녁 그려 명중시키기' 가 가능한 것이다.

자칭 이 문제들을 풀었다는 사람들 왈, 고정관념에 사로잡혀서 문제를 못 푸는 거라고. 그런데 이거 지극히 맞는 소리다. 원래 작도라는 것은 '특정한 도구와 방법만 허용하고 그 외의 것을 일절 불허하며 허용하는 도구의 정확도를 무한히 신뢰하는' 고대 그리스 지식층의 고정관념에 의거한 문제풀이이다. 수학자들도 그 고정관념을 버리면 저 문제들 얼마든지 푼다. 몇백 년 동안 증명하려는 것도 '혹시 고정관념에 사로잡히고도 풀 수 있나' 였고 결론도 '역시 고정관념에 사로잡히면 못 푼다' 였다. 한마디로 저 사람들 말은 다들 뻔히 아는 것을 마치 자기들만 알고 있는 것처럼 하고 있으니 개소리. 다시 이야기하지만 이 문제는 반드시 고정관념에 사로잡힌 상태에서 접근하여야 한다. 이 문제와 관련하여 '고정관념을 깨자'는 소리는 규정 위반이므로 적어도 여기서는 개소리 맞다. '고정관념에 사로잡히면 못 푼다' 이게 정답이다. 신개념의 각 3등분 이론으로 문제를 해결했다는 사람이 있는데, 신개념 말고 구개념으로 접근하라 이 말이다. 그리고 이 문제에서만큼은 절대로 역발상을 해서도 안 된다. 역발상을 하게 되면 '그때 그 문제'가 아니라 '현 시대에 새로 나온 문제'가 되기 때문이다.

마음대로 작도 규칙을 어기거나 재해석해도 된다면, 하다못해 계산기로도 위의 문제들을 얼마든지 풀어낼 수 있다. 삼등분가의 주장은 계산기로 푼 것을 갖고 손으로 풀었다고 하는 격이다.