덧셈

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1 개요

초등수학의 시작

가장 잘 알려진 이항연산이자 사칙연산의 하나. 초등학교 1학년 과정에서(...) 1부터 10까지의 자연수를 배운 뒤 바로 배우는 내용. 두 자리 이상의 수의 덧셈에는 받아올림[1]받아내림[2]을 사용한다. 초등학교까지는 자연수의 덧셈까지만을 배우는 것. 고학년이 되면 유리수의 덧셈 (단, 음수는 제외) 까지도 배우지만 어차피 자연수의 덧셈을 바탕으로 하므로 별 상관은 없다. 매우 기초적인 연산이므로 수학 수준을 불문하고 물 쓰듯 쓰인다.

세상에서 가장 어려운 연산방법이라 카더라

2 정의

그냥 합치면 되는 거 아니냐고 생각할 수도 있지만 초등학교 수준에서부터 크게 두 종류를 가르친다. 하나는 첨가, 가만히 있는 대상에게 다른 대상을 갖다 붙여서 합치는 것을 말한다. 또 하나는 합병, 동시에 있는 두 대상을 함께 세는 것을 말한다. 비슷해 보이지만 다른데, 예를 들면 강아지 3마리가 있는데 2마리가 더 찾아오면 몇 마리가 되는지는 첨가, 각각 동시에 존재하는 강아지 3마리와 2마리가 모두 몇 마리인지를 구하는 건 합병이다. 학생들 간 덧셈을 계산할 때 무의식적으로 선호하는 방법이 다르다고 한다.

대학에서 대수학을 추상적으로 배우기 시작하면서부터는 보통

1. 군 구조에서
2. 가환일 것.

이 두 가지 조건을 만족하는 연산을 덧셈이라고 하는 경우가 많다. 실제로는 우리가 알고 있는 덧셈에서부터 파생되는 경우를 배우는 게 대부분이다.


3 예제

덧셈구조의 중요한 예제는 크게 두가지가 있다.

  • 정수에서의 덧셈
  • 정수에서 숫자 n으로 나눈 후의 나머지끼리의 덧셈

.
이 중 후자는 주로 시계에서의 덧셈 이야기로 대표된다. 예를 들어 11(시)+2(시)=1(시) 와 같은 것. 혹은

(홀수)+(홀수)=(짝수), (홀수)+(짝수)=(홀수), (짝수)+(홀수)=(홀수), (짝수)+(짝수)=(짝수)

가 대표적. 두 숫자를 더할 때 2로 나눈 나머지끼리의 관계를 살펴보면 된다.

이런 구조를 쌍을 지어 모아둔 구조도 덧셈이 된다. 이는 선형대수학을 공부하기 위한 필수요소다.

(1,2)+(2,3)=(3,5) 와 같은 경우.


4 성질

덧셈과 관련해서 대학에서 배우는 가장 중요한 성질은 "덧셈구조는 잘 정렬된다". 덧셈 구조를 가지는 집합의 원소는 숫자 몇쌍으로 나타낼 수 있다는 것.

엄밀히 정의해보자면, 유한개의 원소로 만들 수 있는 덧셈 구조를 생각하자. 예를 들어, 정수 Z는 1 하나로 만들 수 있다 : 1이 있으니까 -1을 만든 후, 0=1+(-1), 2=1+1, 3=1+1+1, -2=(-1)+(-1),.....

유한개의 원소로 만들어지는 덧셈구조는 숫자쌍으로 표현할 수 있는데, Z 가 몇개, Z/n 꼴 몇개의 쌍이다. 이 때 숫자쌍을 고르는 방식을 잘 선택하면, Z/n 들이 (또는 n 들이) 좋은 성질을 가지게 된다 ; 각각 Z/n1, Z/n2, Z/n3,.... 로 적었을 때, n1 은 n2 의 약수, n2 는 n3 의 약수, n3 은 n4 의 약수, ....와 같이 되도록 고를 수 있다.

좀 더 정식으로 보고 싶은 사람이 있다면 Fundamental theorem for finitely generated abelian groups 라는 이름으로 찾아보면 된다.

이외에도 다음 성질이 있다.

  • 교환법칙이 성립한다. 즉 [math] a + b = b + a [/math] .
  • 결합법칙이 성립한다. 즉 [math] (a + b) + c = a + (b + c) [/math] .
  • 단, 분배법칙은 성립하지 못한다. 즉 [math] a + (b + c) \neq (a + b) + (a + c) [/math] .
  • 항등원은 0이다. 즉 0을 아무리 더하거나 빼도 아무 변화가 없다는 것.


5 덧셈의 역원 - 뺄셈

이 문단은 빼기 · 뺄셈(으)로 검색해도 들어올 수 있습니다.

더하는 것이 있다면 반대로 빼는 것도 있는데 바로 뺄셈이다. −(-이 아니다)라는 기호로 표현되며 덧셈의 반대 과정이라고 보면 된다.

다만 정수를 배우게 되면 덧셈과 뺄셈이 같은 녀석임을 눈치채게 된다. 음수를 더하는 것이, 절대값이 같은 해당 수를 빼는 것과 마찬가지가 되기 때문. 그래서 이후에 나오는 수식은 죄다 덧셈의 형태이며, 빼기 기호는 해당 수의 부호가 무엇이냐라는 표지로만 쓰인다.


6 여담

디시 웨이브에서는 이 기호가 안먹히는데, %2B를 누르면 먹힌다.


전 세계적으로 쓰이는 기호이지만 오로지 이스라엘에서만 십자가를 연상하게 한다고 수학 교과서나 일상에서 ㅗ자를 쓰고 있다. 법규! 카더라도 아닌 현지 교과서를 확인하여 쓴 증언(회복같은 개신교 찬양 영화를 만든 김종철 감독이 이스라엘에 직접 가서 쓴 책 <이스라엘에는 예수가 없다>에 그 내용이 존재한다) 참고.
  1. Carry. 두 수의 부호가 같은 경우
  2. Borrow. 두 수의 부호가 다른 경우