무리수

1 無理數

수 체계
사원수
복소수
실수허수
유리수무리수
정수정수가
아닌
유리수
음의
정수		0자연수

중학교 3학년 1학기 02강 무리수와 실수

수학에서 유리수가 아닌 실수(집합 표현으로 ℚ[math]^{c} \cap[/math]ℝ), 즉 0이 아닌 정수비로 나타내어지지 않는 수를 가리키는 말이다. 영어로는 Irrational Number. 유한개 항의 정수 다항식의 근이 되는 대수적 무리수와 그렇지 않은 초월수가 있다. 예컨대 무리수 √2는 정수 다항식 [math]x^2 -2=0[/math]의 근이 되므로 대수적이지만, 원주율 π=3.141592...와 자연상수 e=2.71828...는 이것이 불가능한 대표적인 초월수이다. 참고로 유리수 p/q는 방정식 qx - p = 0의 해이므로 항상 대수적 수이다.

모든 유리수는 유한소수이거나 순환소수이므로(항목 참조), 무리수의 소수표현은 항상 순환하지 않는 무한소수가 된다. 역으로 순환하지 않는 무한소수는 무리수가 되지만, 이 성질로 무리수인지를 밝혀내는 건 거의 불가능에 가깝다.

무리수(無理數)는 rational을 '합리적인'으로 번역한 일본 수학계의 번역 오류를 그대로 중역하면서 나타난 번역 오류이므로 무비수(無比數)라고 해야 한다는 주장이 있다.[1] 실제로 영어의 Ration과 그 어원이 되는 라틴어의 Ratio는 '이성'과 '비율'의 두 가지 뜻을 갖고 있다.

√2가 무리수임을 증명하는 방법이 있다.

  1. √2를 무리수가 아닌 유리수라 가정하고, √2 = p/q로 놓는다. 이 때 p와 q는 서로소이다.
  2. 양변을 제곱하여 p² = 2q²로 만든다.
  3. p²은 짝수이므로 p도 짝수이다 (p²=2q²이므로). p = 2k로 놓고, 위의 식에 대입한다.
  4. 4k² = 2q² 이므로, 2k² = q² 이다. 그러므로 q 역시 짝수이다. p와 q가 모두 짝수면 서로소가 아니므로 가정에 모순된다.

이 문제가 서울대학교 본고사에서 맨 처음 나왔을 때는 전국적인 관광플레이를 선사했다. 그러나 시간이 지난 지금은 해법이 다 나와 공부를 충실히 한 중학생, 고등학생이면 누구나 풀 수 있는 문제가 되어 있다. 그리고 요즘은 영재교육을 받은 초등학생도 풀 수 있다카더라. 사실 이 증명은 유클리드의 원론 13권에 나오는 유구한 증명이다. 물론 원론의 특성상[2] 유클리드가 알아낸 것으로 보이지는 않는다.

자연수만을 수로 생각한 피타고라스는 한 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선의 무리수 길이 √2를 수로 인정하지 않고 비밀로 부쳤으나 히파수스가 그 비밀을 대중 앞에서 폭로하자 히파수스를 암살했다는 일화가 있다. 1번 항목의 무리수 때문에 2번 항목의 무리수를 저질렀다 또는 히파수스 자신이 신념에 어긋나는 발견을 한 것에 상심하여 자살했다는 설도. 그러나 피타고라스는 오히려 무리수라는 새로운 수를 발견하고서 엄청 기뻐하며 신에게 감사의 제물로 히파수스를 바쳤다는 주장도 있다.

참고로 2의 n제곱근 (n>=3인 정수) 가 무리수인 것을 증명하는 것은 매우매우 쉽다. 마찬가지로 귀류법을 이용하여 p/q 를 가정한 뒤 양변을 n제곱하고 페르마의 마지막 정리를 적용시키면 증명이 끝난다! 고마워요 앤드루 와일즈씨

무리수와 관련된 현재 최고(最古)의 문헌은 기원전 1800~1600년 사이에 제작된 것으로 추정되는 메소포타미아의 점토판으로, 30√2(약 42.42641)를 42:25,35(60진법, 42+25/60+35/3600, 약 42.42639)로 계산하였다. √2의 무리수 증명이 처음 등장한 것은 유클리드의 원론이고, π가 무리수임은 1761년에 Lambert에 의해 처음 증명되었다.

사실 본문에 언급되지 않은 대부분의 수들은 무리수인지 유리수인지도 알려져 있지 않은 것이 현실이다. 심지어는 π-e나 π+e가 무리수인지 아닌지도 모른다!(하지만 적어도 둘 중 하나는 무리수이다. 둘을 합하면 무리수인 2π가 되고, 둘 모두 유리수라고 가정하면 유리수끼리의 합은 항상 유리수가 된다는 점에 모순이 되기 때문이다.) [3]

무리수의 집합은 사칙연산 모두에 대해서 모두 닫혀 있지 않다. 심지어 항등원 조차 존재하지 않는다. 단 여기서 주의할 점은 무리수만의 집합이라는 것이다. 상위 집합인 실수로 올라갈 경우 실수의 항등원은 당연히 존재한다. √2+0=√2, √2*1=√2가 거짓이냐며 따지지 말자.

  • 무리수의 집합에는 덧셈의 항등원이 없다. 0 은 유리수이다.
  • 무리수의 집합에는 곱셈의 항등원이 없다. 1 은 유리수이다.
  • 무리수의 집합은 덧셈에 대해서 닫혀 있지 않다. √2+(-√2) = 0
  • 무리수의 집합은 뺄셈에 대해서 닫혀 있지 않다. √2-√2 = 0
  • 무리수의 집합은 곱셈에 대해서 닫혀 있지 않다. √2*√2 = 2
  • 무리수의 집합은 나눗셈에 대해서 닫혀 있지 않다. √2÷√2 = 1

확장으로 무리함수라는 것도 있다. 다항식에 제곱근이 들어가 있는 형태. 참고로 무리함수를 적분하는 것은 치환적분을 동원해야 할 정도로 악랄하다.

2 無理手

1292983088_murisu.jpg

(...)

SM 최고의 무리수 더스트나[4]

원래는 바둑 용어로, 바둑의 이치에 어긋나는 수, 무리하여 둔 수를 의미한다. 의미가 확장되어, 의도적이었으나 결과가 영 좋지 못한 행동이나 대처를 가리키며 영화,만화 등 창작물에서 등장인물을 설정할 때 너무 분위기에 어긋날 정도로 무리가 있는 것을 의미하기도 한다. 보편적으로 가장 많이 보이는 용례는 이치에 맞지 않는 너무나도 황당한 언행을 무리수라고 표현하는 것. 디시인사이드에서는 드립(애드립)이 적절치 않을 때 그에 대한 반응으로, 명백한 열세임에도 불구하고 도발을 했을 때, 혹은 다수의 의견과 어긋난 의견을 피력했을 때 도발성이 짙게 보이는 것으로 판단되면 사용한다. 자매품으로 파워 무리수, √2 등이 있다. 무한도전에서 길의 별명으로 공중파를 타며 유명해진 단어로 유재석이 "형이 그냥 박명수면, 얜 무리수야"라는 명언을 남기기도 했다.

소설 D.I.O에 등장하는 인물인 윤용노의 사용기술 - 랜슬롯의 찌르기를 본 후 깨달은 치기(打)의 무리를 궁극으로 발전시킨 무공. 격살기이자 폭살기이자 침투경이자 대력금강수이자 밀종대수인이며, 모든 무학의 총집합인 동시에 그 무엇도 아니다. 때문에 이름이 무리수(…) 이다.
무유생계의 내력 증폭력과 더불어서 이걸로 멀린은 1회 단타 공격에 대해선 압도적인 위치에 있으며 무리수로 초월자인 레드 드래곤 이그니스를 한방에 즉사 시켰다.[5]

2.1 무리수에 해당하는 캐릭터

  1. ↑ 하지만 피타고라스가 히파수스를 암살한 이유를 생각해 볼 때, 이 세상에 존재해서는 안 되는 수라는 의미를 갖고 있었던 것도 사실이고, 그 배경을 살린 번역으로서는 '합리적이지 못한 수'라는 의미의 무리수란 번역을 마냥 오역이라고 볼 수는 없다. 번역에 흑역사가 담겨 있는 셈
  2. ↑ 원론은 기존에 알려져있던 수학 이론을 집대성하여 공리 위에 올려놓으려고 시도했던 책이다.
  3. ↑ 이는 자연수로부터 시작되는 수체계의 구성과정상 유리수에서 실수로 확장하는 과정은 연산의 자유화를 위한 대수적 인 확대(Extension)가 아닌 수를 빼곡히 채워 넣고자 하는데서 온 완비화(Completion)의 과정이기 때문이다 오히려 실수에서 복소수로의 확장은 실수의 대수적인 확대로 유리수까지 구성하는 과정과 유사하다.
  4. ↑ 물론 그 이후엔 이상한 의상에서 탈출한다.
  5. ↑ 간단히 말해 신살해를 했다.