1 수학 용어
| 한자 | 公理(공변될 공/다스릴 리) |
| 영어 | axiom |
주어진 이론 체계 안에서는 무조건 참인 것으로 '가정'하고 시작하는 명제를 일컫는 말. 주로 수학이나 철학에서 자주 쓰인다. 자연과학에서도 역시 참으로 가정하고 시작하는 명제가 없지는 않지만, 과학은 우리가 사는 이 세계의 형이하학적인 법칙을 다루는 것이므로, 보편적으로 참으로 여겨지는 명제라 하더라도 실험과 관찰을 통해 반박할 수 있다는 차이가 있다. 실험해 보니까 아니더라가 통할 여지를 항상 열어둬야 하기 때문이다. (이 같은 주장을 포퍼의 반증주의라 하는데 토마스 쿤, 콰인과 같은 진리의 전체주의적 관점을 주장하는 사람들에 의해 반박된다)
이게 통하지 않는 논리 체계를 포함한 자연과학을 사이비 과학이라고 부른다.
공준(公準, postulate)이라는 말도 공리와 비슷한 의미로 사용되며 공리보다는 자명하지 않은 성격이 있다. 예를 들어 유클리드 기하학에서 평행선 공준이 그 예이다.
수학에서는 논리를 전개하기 이전에, 따로 정의하지 않는 대상(무정의 용어)[1]들과 그 대상들 사이에 성립하는 기본관계(공리)를 두고 시작하는데, 이렇게 구성되는 체계를 공리계라고 부른다. 어떤 공리계를 구성하고 있는 공리가 적절하게 설정되기 위해선 우선 공리들이 서로 모순이 없어야하고(무모순성), 이들 공리로 그 공리계의 창시자가 원하는 성질을 제대로 나타낼 수 있는가, 다른 공리들에 비해서 확장성과 일반성을 얼마나 가지고 있는가, 하는 논리 외적인 준거가 뒤를 이어 적용된다. 사용하기 편리하면서, 재미있는 문제를 많이 만들어낼 수 있는(=이 공리계를 사용해서 수학적으로 의미가 있는 사유를 할 수 있는) 공리계가 더 선호된다. 물론 수학자들의 관습도 어느정도 영향을 미친다.
이전에는 모든 명제의 참 거짓을 가릴 수 있는 공리체계[2]가 존재할 것이라는 믿음이 있었으나(대표적으로 힐베르트 프로그램), 괴델의 발견 이후로 특정 공리계에선 증명불가능한 명제가 존재하며, 스스로 무모순성을 입증할 수 없다는 것이 밝혀져, 공리의 선택이 더욱 중요해졌다. 따라서 '일반적으로 통용되는 수학 공리들'과 '별도로 언급을 해줘야하는 (독립된) 공리들'로 구분해서 쓰곤 한다.
현대 수학계에서는 일반적으로 ZFC 공리계에 바탕을 두고 논리를 진행한다.
참고 : 불완전성 정리
2 윤리학 용어
功利
행복과 이익, 또는 그것을 증진시키는 것. 공리주의 문서 참조.