공업수학

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영어 : Engineering Mathematics

1 개요

물리학과에 수리물리학이 있다면 공과대학에는 공업수학이 있다.
학교에 따라 공학수학이라고도 불린다. 공업수학이라고 공업고등학교에서 배운다고 생각할 수 있는데, 대학교 공과대학에서 가르친다.수포자가 많은 공고생들이 어떻게 이해하겠냐 요즘은 인정교과서로 고등학교 수준으로 다운그레이드한 공업수학을 공업계 고등학교에서 가르치기도 한다. 과목 이름은 '공업수학의 기초'. 여러가지 공학을 공부하기 위해 이에 필요한 수학적 지식을 학습하는 단계이다. 미래의 공돌이와 공순이들이 꿈과 희망을 안고 공과대학에 진학한 뒤 전공 과목으로 듣게 되는 수학 과목이다. 대개 1학년 2학기 혹은 2학년 때 미적분학 이수가 끝난 상태에서 시작하게 되며[1], 미적분학도 쉽고 어렵게 따라오긴 하던 공돌이들이 공과대학 진학을 후회하거나 예정보다 일찍 군대로 도망치는(...)[2] 원인 중 하나로 꼽힌다. 보통 공과대학은 이들을 '필수 과목'으로 지정하니, 이걸 F 받거나 하면 될 때까지 들어야 한다. 공학수학이 선수과목으로 걸려 있는 전공과목을 들을 수도 없게 되어 영원히 고통받는다.

수학이라는 타이틀을 달고는 있어도 주요 수학과목들과는 이질적인 면이 많다. 왜냐하면, 수학은 수학인데 공돌이들을 위한 수학의 성격이 강하기 때문에 깊고 넓은 내용을 짧은 기간에 마스터하기 위해 (심하게 말하면) 짬뽕을 해버린 성격이 강하기 때문. 까놓고 말해서, 공업수학은 수학과에서 가르치는 과목이 아니라 공과대학에서 가르치는 과목이다.[3]

배우는 내용은 미적분학 교과서에서 다루는 벡터미적분 같은 내용부터 시작해서 미분방정식, 해석학, 선형대수학이 기본으로 들어가고, 이산수학, 확률론, 통계학 등의 여러 분야가 옵션으로 소개되는등 과목의 범위 자체가 하나로 정의할 수 없이 매우 넓은 편. 문제는 이를 배우는 데에 있어 정석적인 과정이나 접근방식은 과목별로 매우 차이가 난다는 점인데... 4년 내내 수학만 공부할 수도 없는 공대생들에게는 이것들을 일일이 개별 과목으로 섭렵하려면 애로사항이 많다.[4] 때문에 빠른 시간에 공학계열 과목 수강에 문제가 없을 정도로까지 실용적인 목적의 수학을 숙달시키기 위해 만들어진 과목이 바로 이 공업수학. 서로 이질적인 과목들을 한 과목으로 묶어버린 성격상 대학 강의가 아니라 독학을 하는 사람에게는 맥이 끊기지 않으면서도 각자가 주안점을 둔 파트의 내용이 알찬 교과서를 선택하는 것이 중요하다.

같은 공과대학이라도 전공이 전-화-기 외에도 컴퓨터공학, 재료공학, 그 외 지금 이 순간에도 생겨나고 있어서 더 서술하기엔 여백이 부족한 공학(...) 등으로 매우 다양해서 요구되는 수학의 수준도 크고 작은 차이가 존재하기 때문에 같은 학교의 공과대학 소속이거나 같은 전공이라도 학교가 다르면 공업수학을 소화하는 기간이나 분량 등에서 차이를 보이는 것으로 알려져 있다. 보통 2학기 분량으로 진행하는 경우가 많지만[5], 학교나 전공에 따라서는 3학기 분량을 소화하며 피눈물을 흘리는 경우도 있고[6], 반대로 1학기만에 끝내버리는 경우도 왕왕 있다.[7] 이러한 분량의 차이는 학교별 교육 방식과 더불어 각 전공에서 요구하는 수학의 수준에 따라서 해당 부분에 대해 얼마나 깊이 다루느냐가 달라지기 때문이라 볼 수 있다. 또한 이렇게 대학별로 학과별로 학생들에게 요구되는 수준이 천차만별이라, 수학 전공 교수들이 강의를 하는 경우가 많지 않다는 점이 다른 수학 과목들에 비해 이색적이다.[8] 대학마다 천차만별 케바케라서 확실하게 단언하는 것은 금물이지만, 주로 공과대학 교수가 배정되는 것은 비슷하되 그 교수의 전공 학과에 따라서도 강의의 방향 등에서 차이가 있다. 공과대학의 수강대상자 전원이 한 커리큘럼으로 배우는 경우도 있지만, 공과대학 세부전공별로 취향이 다르다는 점에서 아예 전자과 전용(전기수학), 화공과 전용(화공수학), 기계과 전용 같은 식으로 강의를 진행하기도 한다. 이 경우 당연히 학과마다 해당 학과 교수가 가르치게 된다.

컴퓨터공학과의 경우 경/중공업과 연관된(2차 산업) 다른 공학 학문과는 달리 정보/통신 관련(3차 산업) 공학이므로, 전자/재료/기계/토목/화학 쪽이 그래도 어느 정도 상통하는 면이 있을 때, 혼자만 색다른 커리큘럼의 수학을 배운다. 대부분 다른 공과대학들처럼 공학수학을 듣긴 하나, 학기가 가면 갈수록 점점 독자노선을 걷게 된다. 수치해석, 선형대수, 이산수학, 통계학, 정수론, 미분기하학 쪽을 더 치중해서 배우게 된다.[9] 게다가 컴공의 경우도 공부하는 분야에 따라서 필요한 수학도 천차만별이다. 컴퓨터 시스템 계열에선 알고리즘/오토마타/정수론이, 임베디드 시스템 계열에서 H/W나 회로를 만져야 할 경우 전기수학을 맛봐야 할 수도 있으며, 컴퓨터 그래픽스나 디지털 영상처리 전공 시엔 미분기하학, 공간/벡터, 선형대수, 푸리에 등을 다루게 된다.

물리학과, 수학과, 통계학과, 사범대학 수학교육과 학생들도 실용적인 목적의 수학을 공부하기 위해 찾아오는 경우가 있다. 이 중 물리학과에서는 수리물리학이라고 마찬가지로 골때리는 수학 강좌를 마련하곤 하지만 향후 이론물리학 대신 공학계열 대학원을 지망하는 물리학과생들이 일부러 찾아오기도 한다.

하지만 공업수학은 태생적으로 속성이라는 장점이자 단점인 요소가 있는 관계로 학교 교수진에서 이를 불만스럽게 여기는 경우도 있다. 심지어는 공업수학을 아예 개설하지 않고 수학과 과목들을 알아서 공부해가지고 알아서 따라오라는 간악한 대학도 있다. 이 얼마나 끔찍하고 무시무시한 생각이니? 특히나 이공계 특성화 대학에서 그런다면... 무슨 지거리야? 이런 대표적인 학교가 포항의 P 대학이 있다.

자연계 대학 편입에서 미적분학과 함께 매우 중요하게 여겨지는 과목이다. 다만 공업수학의 파트가 여러 파트로 나뉘기 때문에 공업수학 전체가 중요하다기보다는 공업수학의 범위 중에서 대학 출제진의 취향에 따라 일부 분야가 중요한 것으로 봐야 한다는 의견도 일리가 있는 편.

재수강생들이 많은 과목이다. 대부분의 대학에서 필수로 지정하는 과목이기도 하고 무엇보다도 지방대 공대는 수포자들이 많아서(...) 낮은 학점을 받는 경우가 많기 때문이다.

2 교과서

Erwin O. Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics
가장 많이 쓰이는 교과서. 저자는 독일계 수학자라서 이름을 읽기 난처하다. 독일어로는 '에르빈 크라이스치히' 같이 읽는다지만 한국 대학생들은 그냥 어윈 크레이직이라고들 읽는 편.[10] 월터 루딘(Walter Rudin)보다도 심하다[11]이분은 2008년 말에 작고했지만 이후에도 계속해서 개정판이 나오고 있다. 2011년, 국내 기준으로는 2012년에 10판까지 나온 상태. 일반적인 버전(이것도 국제판과 북미판으로 나뉜다)과 축약된 버전이 판매되는데, 일반적인 경우 1권에서는 라플라스 변환과 벡터미적분까지, 2권에서는 푸리에 급수부터 복소해석, 수치해석까지 다루고 축약버전은 복소해석까지만 나와있다. 잦은 오타는 덤
10판 (영어) / 9판 솔루션 (영어)

여담이지만 번역이 굉장히 매끄럽지 못하다. 뭐 수학관련 용어는 나름 잘 번역되었는데, 그것 빼면 시체.

그 밖에 Dennis Zill, K.A. Stroud, Peter V. O'Neil 등의 교과서도 많이 쓰이지만 Kreyszig에는 미치지 못하는 편. 그러나 대학, 학과별로 천차만별이라서 Zill의 것을 훨씬 많이 쓰는 대학도 있고, 아예 자체제작한 교재를 사용하는 경우도 있다. 아니면 같은 대학이라도 소속 단과대학마다 다르기도 하고 [12], 심지어는 같은 단과대학(대부분 공과대학) 소속이라도 학과마다 다른 교재를 쓰기도 한다 [13].

3 배우는 내용

  • 상미분방정식: 1계·2계·고계 상미분방정식의 해법, 연립 상미분방정식의 해법, 위상평면, 정성법, 급수를 이용한 해법, 특수함수, 라플라스 변환
  • 선형대수학: 행렬과 벡터, 행렬식, 연립일차방정식, 벡터공간, 고윳값
  • 벡터미적분: 벡터의 내적과 외적, 벡터 미분(기울기, 발산, 회전), 벡터 적분 및 관련 정리(그린 정리, 스토크스 정리, 발산 정리)
  • 푸리에 해석, 편미분방정식: 푸리에 급수와 적분, 푸리에 변환, 편미분방정식의 해법
  • 복소해석: 복소수, 복소함수, 복소미적분, 테일러 급수와 로랑 급수, 유수적분, 등각사상, 퍼텐셜이론
  • 수치해석: 선형대수, 상미분방정식, 편미분방정식의 수치해법
  • 최적화와 그래프[14]: 무제약 최적화, 선형계획법, 그래프와 조합 최적화
  • 확률과 통계[15]: 자료 분석, 확률론, 수리통계
  1. ↑ 학교에 따라서는 1학년 입학하자마자 바로 배우는 경우도 있다.
  2. ↑ 이공계열 남학생들은 전문연구요원 등의 길을 염두에 두고 일부러 입대를 미루는 경우가 꽤 있다.
  3. ↑ 물론 이것도 완전 100%는 아니라서 수학과에서 공대생들 수학 공부까지 책임지는 학교들도 없지는 않다. 문제는 그런 학교들 사이에서는 따로 공업수학 개설하는거 없이 수학과 강의를 알아서 근성으로 수강하라는 무자비한 자유방임주의도 성행한다는게... 좀 좋은 학교라면 공학수학을 따로 개설하면서 수학과 교수님들이 담당할 수도 있다.
  4. ↑ 때문에 학생의 입장에서는 대학 들어왔더니 수학 교육이 고등학교때보다 더 중구난방이라는 느낌을 받을 수 있다. 이런저런 욕은 먹고 있지만 한국의 초중고 수학교육은 나름대로 체계적이고 꼼꼼한 편이다. 또한 과거의 학력고사 세대와는 달리 '정리 그 자체'보다는 유도과정이나 논리적 추론이 강조되는 추세이다. 괜히 고등학생때 교사들과 강사들이 수능문제가 좋은 문제라고 강조하는게 아니다. 그러나 공업수학은 '많은 내용+적은 강의 시간+문제 풀이 위주의 교육'이라는 콤보가 겹쳐서 초중고에 비해서 교육이 매우 허술한게 현실이다. 더군다나 많은 남학생들이 1학년 수료 후~2학년 여름방학의 시기에 군 입대를 하는데, 이 시기는 공업수학을 배우기 직전이나 한참 배우고 있는 시기와 겹친다. 이때문에 전역한 남학생들이 기초 개념에 구멍이 숭숭 뚫린 채로 수업을 듣게 되는 문제점이 있다. 물론 다시 복습하면 어느정도 기억이 돌아오지만, 입대 전에 체계적으로 쌓아올린 수학적 기초를 중구난방으로 땜질한다는 느낌을 지울 수 없다. 물론 군대 때문에 학문의 기초가 무너지는게 수학 뿐만이 아니지만
  5. ↑ 이 경우 공업수학1, 공업수학2로 나누어 배우게 된다.
  6. ↑ 이렇게 되면 공업수학1, 공업수학2, 공업수학3로 나누어 배우게 된다.대표적으로 서울소재 H대 기계공학부, 원자력공학과 등
  7. ↑ 일례로, 어느 대학의 컴퓨터공학과 의 경우 공업수학은 한 학기만 듣고, 정수론이나 이산수학, 통계학에 나머지 한 학기를 할당한다.
  8. ↑ 사실 공과대학 과목이니 당연하다고 볼 수도 있다. 게다가 범위가 오죽 넓어야지... 수학과 교수들도 자기 전공 아닌 분야에서는 쩔쩔맬 수 있다.
  9. ↑ 다만 이들도 수학과에서 가르치는 것과는 달리, IT 관련 공학에 써먹기 좋은 응용 부분만 치중하여 컴퓨터공학 전공 교수들이 가르친다.
  10. ↑ 라틴 문자 자체에는 언어에 대한 표지가 없고, 거기다가 독일어보다 영어가 더 친숙하기 때문에 영어식으로 읽게 되는 것이다.사실 저자이름이 중요한건 아니지만 제대로 읽는 정도는 가능해야하지않을까 그리고 이 분이 독일계 캐나다인이라 영어식으로 읽어도 틀린건 아니다. 전 주지사님을 아르놀트 슈바르첸네거라 읽지 않는것도 이와 비슷한 맥락. 사실 공학수학때문에 미치겠으니 크레이징이라고 읽어야 한다 카더라
  11. ↑ 발터 루딘도 독일어권인 오스트리아 출신이다.
  12. ↑ 고려대학교의 경우 공과대학은 전기전자공학부 제외하고 Kreyszig이지만 보건과학대학은 Zill 사용한다.
  13. ↑ 고려대학교 공과대학 전기전자공학부는 Zill, 나머지 크레이직
  14. ↑ 미분기하학이 이에 해당한다.
  15. ↑ Kreyszig 공업수학 기준으로 이 부분은 북미판 원서에만 있다. 구글에 이 PDF자료가 있다.