1 개요
다항식은 변수와 상수(중고등학교까지는 어떤 것이 상수로 올 수 있는지 명확하게 정해져 있지는 않다. 대개 중학교까지는 a, b, c 등의 문자 또는 1, -1, 2, -2, 3, ... 등의 정수 정도를 쓰고, 고등학교쯤 되면 유리수가 꽤 보이고 무리수도 가끔씩.) [1]들의 합, 차, 곱으로 이루어진 식을 말한다. 또는 -1도 상수이므로 변수와 상수들의 합과 곱으로 이루어진 식이라고 할 수도 있겠다.[2]
고등학교 수준에서의 다항식의 정의를 내리자면 [math]\displaystyle \sum _{k=0} ^{n} {a_k x^k} (a_n \in \mathbb{R}, n=0, 1, 2, 3, ...)[/math]로 표현할 수 있는 식이다.[3]
덧셈, 뺄셈, 곱셈에 대하여 닫혀 있지만 나눗셈에 대해서는 닫혀 있지 않고, 영인자는 존재하지 않는다. [4]
중학교 너머의 수학에서 방석으로 깔고 들어가는 것으로 조잡한 연산질과 계산에서 한발짝만 더 나오는 순간 당신을 대면하는 것. 사실상 문자와 식의 도입과 계산이 초등학교까지의 수학과의 차이이면서 중학교 이후의 수학의 토대가 되므로, 반드시 잘 이해하고 넘어가도록 하자.아니면 나중에 고생할지도 모르니까
다항식만으로 이뤄진 함수를 대수함수라고 한다.
2 용어
- 항: 다항식을 이루고 있는 각각의 단항식
- 차수
- 항의 차수: 항에서 특정한 문자가 곱해진 개수
- 다항식의 차수: 특정한 문자에 대하여 각 항의 차수 중에서 가장 높은 것
- 계수: 항에서 특정한 문자를 제외한 나머지 부분
- 상수항: 특정한 문자를 포함하지 않는 항
- 동류항: 특정한 문자에 대한 차수가 같은 항
잘 이해가 안 된다면 아래의 식을 보자.
[math]3x^2+8x+x+5[/math]
이 때 [math]3x^2,8x,x,5[/math]를 항이라고 부른다. [math]3x^2[/math]에서 3을 [math]x^2[/math]의 계수라 하고, [math]^2[/math]를 차수라고 한다. 또한, [math]8x[/math]와 [math]x[/math]를 동류항이라고 한다. 그리고 5를 상수항이라고 한다.
미분을 할 경우 차수가 계수로 넘어오고 차수는 1씩 줄어든다. 당연하지만 차수가 0인 상수항은 증발한다. 부정적분의 경우 이를 되돌리는데, 이미 증발해버린 지 오래인 상수항을 알 길이 없으므로 C로 표기하는 데 여기서의 C를 적분상수라 한다. 사실 정적분때는 걍 무시당하는 불쌍한녀석이다.
[math]\displaystyle {d \over dx} 3x^2+8x+x+5 = 6x + 8 + 1[/math] (위 식을 미분한 꼴)[math]\displaystyle \int (6x + 8 + 1) dx = 3x^2 + 8x + x + C[/math] (위 미분한 식의 부정적분)
[math]\displaystyle \int (3x^2+8x+x+5) dx = x^3 + 4x^2 + {1 \over 2}x^2 + 5x + C[/math] (처음 식의 부정적분)
3 기타
중학교 단골문제로 단항식은 다항식이냐는 문제가 출연한다. 참고로 단항식도 다항식이다.