1 개요
문자를 포함한 등식에서, 문자의 값과 상관없이 항상 성립하는 등식이라는 뜻이다. 반대로 문자가 특정 값일 때만 성립하는 것은 방정식이라고 한다. 항등식의 부등식 버전으론 절대부등식이 있다. 주의할 점은 방정식처럼 보이는 ax+b=0같은 식도 a=b=0라는 조건이 주어지면 항등식이 된다. 조건을 항상 잘 확인하자.
f(x)=(x에 관한 식) 의 형태로 함수 f(x)를 정의할 때는 등식 f(x)=(x에 관한 식) 을 x에 대한 항등식으로 생각할 수 있다.
2 예시
2.1 삼각함수
- sin2θ+cos2θ=1
- 1+tan2θ=sec2θ
- 1+cot2θ=csc2θ
- eix=cosx+isinx (오일러의 공식)
2.2 지수
- xa+b=xaxb
- xa−b=xaxb (단, xb−a≠0)
- (xa)b=xab
- (x⋅y)n=xn⋅yn
2.3 로그
- logab=loga+logb
- logab=loga−logb
- logan=nloga
- logix=2iπlogex
2.4 미적분
- ddxc=0 (c는 상수)
- ddxxn=nxn−1↔∫xn=1n+1xn+1+c (c는 상수)
- ddxexpx=expx
- ddxlnx=x−1
- ∫baf′(x)dx=f(b)−f(a)[1]
- ∫e11xdx=lne−ln1=1
- ddxsinx=cosx
- ddxcosx=−sinx
- ddxtanx=sec2x
- ddxsecx=sectanx
- ddxcotx=−csc2x
- ddxcscx=−cscxcotx
- ddxsinhx=coshx
- ddxcoshx=sinhx
- ddxtanhx=sech2x
- ddxsechx=−sechxtanhx
- ddxcothx=−csch2x
- ddxcschx=−cschxcothx
2.5 벡터
이 항목은 삼중곱으로도 들어올 수 있다. |
- (a×b)×c=−(c⋅b)a+(c⋅a)b
- a×(b×c)=b(a⋅c)−c(a⋅b)
- a×(b×c)+b×(c×a)+c×(a×b)=0
3 미정계수법
x에 관한 등식 anxn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0=0이 x에 관한 항등식이 되기 위한 조건은 an=an−1=⋯=a1=a0=0이다. 비슷하게 anxn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0=bnxn+bn−1xn−1+⋯+b1x+b0이 x에 관한 항등식이 되기 위한 조건은 a0=b0,a1=b1,⋯,an−1=bn−1,an=bn이다. 이 두 성질을 이용해서 어떤 다항식의 계수를 찾는 방법을 미정계수법이라고 한다. 방법은 크게 2가지가 있다.
- 계수비교법: 동류항의 계수는 같아야 하므로 동류항의 계수끼리 비교해 식을 세운뒤 찾는 방법.
- 수치대입법: 문자에 그냥 아무 값이나 대입한 뒤[2] 방정식을 푸는 방법.
숫자 대입하는게 어지간히 복잡하지 않는 이상은 수치대입법이 보통 더 빠르다.
생각해보라. (x−1)10 같은 식을 누가 일일이 전개해서 볼까? 아마 용자들은 할지도 우리에겐 이항정리가 있다!