항등식

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1 개요

문자를 포함한 등식에서, 문자의 값과 상관없이 항상 성립하는 등식이라는 뜻이다. 반대로 문자가 특정 값일 때만 성립하는 것은 방정식이라고 한다. 항등식의 부등식 버전으론 절대부등식이 있다. 주의할 점은 방정식처럼 보이는 [math]ax+b=0[/math]같은 식도 [math]a=b=0[/math]라는 조건이 주어지면 항등식이 된다. 조건을 항상 잘 확인하자.

f(x)=(x에 관한 식) 의 형태로 함수 f(x)를 정의할 때는 등식 f(x)=(x에 관한 식) 을 x에 대한 항등식으로 생각할 수 있다.

2 예시

2.1 삼각함수

1. [math]\sin^2\theta + \cos^2\theta=1[/math]
2. [math]1+\tan^2\theta=\sec^2\theta[/math]
3. [math]1+\cot^2\theta=\csc^2\theta[/math]
4. [math]e^{ix} = \cos x + i \sin x[/math] (오일러의 공식)

2.2 지수

1. [math]x^{a+b} = x^ax^b[/math]
2. [math]x^{a-b} = {x^a \over x^b}[/math] (단, [math]x^{b-a} \neq 0[/math])
3. [math]\left(x^a\right)^b=x^{ab}[/math]
4. [math]\left(x\cdot y\right)^n=x^n\cdot y^n[/math]

2.3 로그

1. [math]\log{ab}=\log{a}+\log{b}[/math]
2. [math]\log{a \over b}=\log{a}-\log{b}[/math]
3. [math]\log{a^n}=n\log{a}[/math]
4. [math]\displaystyle \log_i{x} = {2 \over i \pi} \log_e{x}[/math]

2.4 미적분

1. [math]\displaystyle {d \over dx} c = 0[/math] (c는 상수)
2. [math]\displaystyle {d \over dx} x^n = n x^{n-1} \leftrightarrow \int x^n = {{1}\over {n+1}} x^{n+1}+c[/math] (c는 상수)
3. [math]\displaystyle {d \over dx} \exp x = \exp x[/math]
4. [math]\displaystyle {d \over dx} \ln x = x^{-1}[/math]
5. [math]\displaystyle \int^b_a f'(x)dx = f(b) - f(a) [/math]
6. [math]\displaystyle \int_{1}^{e}{1 \over x}dx = \ln e - \ln 1 =1[/math]
7. [math]\displaystyle \frac{d}{dx}\sin x=\cos x[/math]
8. [math]\displaystyle \frac{d}{dx}\cos x=-\sin x[/math]
9. [math]\displaystyle \frac{d}{dx}\tan x=\sec^{2}x[/math]
10. [math]\displaystyle \frac{d}{dx}\sec x=\sec\tan x[/math]
11. [math]\displaystyle \frac{d}{dx}\cot x=-\csc^{2}x[/math]
12. [math]\displaystyle \frac{d}{dx}\csc x=-\csc x \cot x[/math]
13. [math]\displaystyle \frac{d}{dx}\sinh x=\cosh x[/math]
14. [math]\displaystyle \frac{d}{dx}\cosh x=\sinh x[/math]
15. [math]\displaystyle \frac{d}{dx}\tanh x=\text{sech}^{2}x[/math]
16. [math]\displaystyle \frac{d}{dx}\text{sech} x=-\text{sech}x \tanh x[/math]
17. [math]\displaystyle \frac{d}{dx}\text{coth} x=-\text{csch}^{2} x[/math]
18. [math]\displaystyle \frac{d}{dx}\text{csch} x=-\text{csch} x \text{coth} x[/math]

2.5 벡터

이 항목은 삼중곱으로도 들어올 수 있다.

1. [math](\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \times \mathbf{c} = -(\mathbf{c} \cdot \mathbf{b})\mathbf{a} + (\mathbf{c} \cdot \mathbf{a}) \mathbf{b}[/math]
2. [math]\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = \mathbf{b}(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) - \mathbf{c}(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})[/math]
3. [math]\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) + \mathbf{b} \times (\mathbf{c} \times \mathbf{a}) + \mathbf{c} \times (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) = \mathbf{0}[/math]

3 미정계수법

[math]x[/math]에 관한 등식 [math]a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0=0[/math]이 [math]x[/math]에 관한 항등식이 되기 위한 조건은 [math]a_n=a_{n-1}=\cdots=a_1=a_0=0[/math]이다. 비슷하게 [math]a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0=b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+\cdots+b_1x+b_0[/math]이 [math]x[/math]에 관한 항등식이 되기 위한 조건은 [math]a_0=b_0,a_1=b_1,\cdots,a_{n-1}=b_{n-1},a_n=b_n[/math]이다. 이 두 성질을 이용해서 어떤 다항식의 계수를 찾는 방법을 미정계수법이라고 한다. 방법은 크게 2가지가 있다.

1. 계수비교법: 동류항의 계수는 같아야 하므로 동류항의 계수끼리 비교해 식을 세운뒤 찾는 방법.
2. 수치대입법: 문자에 그냥 아무 값이나 대입한 뒤 방정식을 푸는 방법.

숫자 대입하는게 어지간히 복잡하지 않는 이상은 수치대입법이 보통 더 빠르다.
생각해보라. [math](x-1)^{10}[/math] 같은 식을 누가 일일이 전개해서 볼까? 아마 용자들은 할지도 우리에겐 이항정리가 있다!

4 관련 항목

• 오일러의 등식
• 곱셈 공식, 인수분해
• 동치관계
• 방정식