1 개요
토크(torque)/비틀림 모멘트. 주로 쓰는 기호는 [math] \tau [/math](타우). SI 단위는 Nm(뉴턴 미터)[1]이다. Kgfm(킬로그램중 미터)를 사용하는 경우도 많다. 지구상에서 1Kgfm = 9.8Nm.
2 용어
한국어로 돌림힘이라고 표현하는 교재가 많고, 토크라고 쓰기도 한다. '토크(torque)'라고 하면 직관적으로 느낌이 다가오지 않을까봐 '돌림힘'이라는 용어로 적절히 번역해서 쓰는 듯하다. 하지만 원래 돌림힘은 '힘'이 아니다. 단위부터 다르다.(힘의 단위는 'N', 돌림힘의 단위는 'Nm'. 돌림힘에서는 'J'을 사용할 수 없다.) 비틀림 모멘트가 번역 중에선 가장 정확한 말이지만 문제는 모멘트 역시 번역하기 힘든 단어란 것. 사실 그렇게 파고들면 압력, 기전력 등도 당장 뜯어고쳐야 한다
하지만 한국물리학회의 2010년도 물리학 용어집에 따르면 '토크'라는 단어는 실려있지 않고 '돌림힘, 회전력'이라고 써져 있기에 우선 이 쪽을 따랐다.
- ※ 나무위키 물리학 프로젝트에서는 우선 한국물리학회가 선정한 용어를 기준으로 잠정 결정할 것으로 보인다. 확실히 결정되면 필요시 수정 바람.
3 정의
물체가 회전운동을 할 때 나타나는 회전의 경향의 척도, 물체를 회전시키기 위해 가한 힘의 작용의 척도이다.
공식은 다음과 같다.
[math] \vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} [/math]
여기서 ×는 벡터곱(외적)임을 표시하는 연산자.[2] 벡터곱의 결과는 벡터이며, 그 크기는 두 벡터로 만들수 있는 평행사변형의 면적과 같고, 방향은 곱한 두 벡터에 모두 수직인 방향으로, 교환법칙이 성립하지 않는다. 순서가 바뀌면 방향이 반대가 되며, 방향은 소위 말하는 오른나사 법칙을 따른다. r과 F의 크기가 같아도 두 벡터가 이루는 각도에 따라 토크의 크기가 달라질 수 있음에 유의.
τ=돌림힘
r=회전의 중심에서부터 힘이 작용하는 곳까지의 거리
F=그 위치에서 작용하는 힘의 크기
예를 들어 설명하면 다음과 같다.
시소 위에서 상대방과 내가 평형을 이루고 있을때, 내가 중심쪽으로 가까이가면, 중력은 일정하나, r이 감소하기때문에, 토크가 감소한다. 상대방의 토크는 일정하므로, 내가 시소에 작용하는 토크 < 상대방이 시소에 작용하는 토크이기때문에 상대방쪽으로 기울어진다. 같은 원리로 내가 중심에서 멀어지면 r이 커지기 때문에 내가 작용하는 토크가 커져서,내가 시소에 작용하는 토크 > 상대방이 시소에 작용하는 토크 이므로 내쪽으로 기울어지게 된다.
3.1 [math] \vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} [/math] 이유는?
무조건 공식으로 암기하기보다는, 물체를 회전시키는 데에 관련한 물리량이라는 점에 의거하여
위의 식 [math] \vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} [/math] 를 이끌어 낼 수 있다
파일:토크.png
기준점인 O점에 대해서, 힘 F에 의해 질점이 A위치로부터 B위치로 이동하는 상황을 생각해 보자
이는 힘 F가 질점을 이동시키기 위해, 질점에 대해 일(Work)을 해야 한다 는 의미이다
질점에 대해 힘 F가 한 일 [math] \Delta W [/math] 는
[math] \Delta W = \vec{F} \cdot [/math] [math] \Delta [/math] [math] \vec{r} [/math] [3] 이고, [math] \Delta [/math] [math] \vec{r} [/math] [math] = [/math] [math] \vec{r_2} [/math] [math] - [/math] [math] \vec{r_1} [/math] 이므로
[math] \vec{r_2} [/math] [math] = rcos( \theta + \Delta \theta) i + rsin( \theta + \Delta \theta) j [/math]
[math] \vec{r_1} [/math] [math] = rcos \theta i + rsin \theta j [/math]
여기서 삼각함수의 성질
[math] sin( \theta + \Delta \theta ) =sin\theta cos\Delta\theta + cos\theta sin\Delta\theta [/math]
[math] cos( \theta + \Delta \theta ) =cos\theta cos\Delta\theta - sin\theta sin\Delta\theta [/math]
을 이용하여 [math] \vec{r_2} [/math] [math] - [/math] [math] \vec{r_1} [/math] 을 정리하면
[math] \vec{r_2} [/math] [math] - [/math] [math] \vec{r_1} [/math] [math] = r(cos \theta cos \Delta \theta - sin \theta sin \Delta \theta - cos \theta ) i - r( sin \theta cos \Delta \theta +cos \theta sin \Delta \theta -sin \theta)j = [/math] [math] \Delta [/math] [math] \vec{r} [/math]
이제 매우 짧은 각의 변화[math]\Delta\ \theta\approx 0[/math] 에 대해 [math] sin \Delta\theta \approx \Delta\theta , cos \Delta\theta \approx 1 [/math] 임을 이용하여
[math] \Delta [/math] [math] \vec{r} [/math] [math] = -rsin \theta \Delta \theta i + rcos \theta \Delta \theta j = -r_y i + r_x j [/math] 이고
[math] \vec {F} = F_x i + F_y j [/math] 이므로
따라서 일(Work)의 정의에 따라 둘을 내적하여 [math] \Delta W = \vec {F} \cdot [/math] [math] \Delta [/math] [math] \vec {r} [/math] [math] = \Delta W = (r_x F_y - r_y F_x)\Delta \theta [/math] 이다
괄호 안의 식을 잘 보자!
[math] (r_x F_y - r_y F_x) [/math] 는 결국 우리가 의미없이 암기했던 돌림힘의 식
[math] \vec{r} \times \vec{F} [/math] 의 크기(magnitude) 값임을 알 수 있다!
여담으로, 원래 처음에 구하려고 한 값인
힘 F가 질점에 대해 해 준 일(Work) [math] W [/math] 은
[math] \Delta W = (r_x F_y - r_y F_x)\Delta \theta [/math] 을 [math] \theta [/math] 에 대해 적분하여
[math] W = \int{(r_x F_y - r_y F_x)} d \theta = \tau \Delta \theta [/math] 가 되어
결국 병진운동에서의 물리량을 회전운동에서의 물리량으로 대체하여 유도하는 방법[4] 과 같은 결과를 얻는다
4 단위
돌림힘의 단위로 N·m를 써서 에너지 단위의 J으로 바꾸는 경우가 있는데, 같은 단위이지만 돌림힘은 힘과 거리를 외적한 벡터량, 에너지는 힘과 거리를 내적한 스칼라량이라는 점에서 다르다. 이렇기에 다른 단위로 보는 것이 맞다. 줄(J)로 쓰지 않는다. 에너지로 혼동할 가능성이 있으며 무엇보다 물리적 특성 자체가 다르기 때문이다. 다만 N·m 사이에 외적 기호(×)를 적는 사람도 있고(확실하지 않은 내용), 적지 않는 사람도 있다.
다만 J/rad이라는 단위를 사용할 수도 있다. rad은 차원이 없는 단위이기에 줄(J)이란 단위와 차원의 차이는 없다. 병진 운동에서 힘에 거리를 곱해 일을 구하듯, 회전 운동에서는 토크에 각도를 곱해 일을 구할 수 있는데, 이러한 점에서 J(일)을 rad(각도)로 나누어준 단위라고 표기할 수 있는 것이다. 하지만 3차원 운동에서는 각도, 각변위를 스칼라로 표현할 수 없으므로 주의.
항공기에서는 in-lb(인치파운드)단위를 가장 많이 사용한다. 당연히 ft-lb단위도 쓰고..
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