내적

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1 개요

벡터 공간에서 정의된 이중 선형(bilinear) 함수의 일종. inner product 또는 dot product라고 부른다.

보통 내적은 벡터의 크기를 측정하는 용도로 쓰인다. 크기는 실수와 복소수에서 가능한 이야기이나, 일반적인 체 위에서도 내적에 대해 이야기할 수 있다. 본 문서에서는, 실수, 복소수, 일반적인 체로 나누어 설명하기로 한다.

내적이 주어진 벡터 공간을 내적 공간이라 한다. 행렬에서의 곱셈이 이상하게 정의된 이유가 바로 이것이다. 행렬 곱셈의 결과 행렬은 앞 행렬의 행벡터와 뒤 행렬의 열벡터를 내적한 값을 스칼라로 가지는 행렬이라고 할 수가 있다.

또한 내적은 적분으로도 정의가 되기도 하는데 공대에서 흔히 쓰이는 푸리에 해석이 바로 내적의 한 예이다.

2 정의

체 $$F$$ 의 벡터 공간 $$V$$ 의 내적 $$\left( \cdot \mid \cdot \right)V\times V\rightarrow F$$ 은 다음을 만족한다.

* (이중 선형성)임의의 $$u,v,w\in V$$ 와 $$a\in F$$ 에 대해,

-* (첫번째 인수에 대한 선형성) $$\left( au+v \mid w \right)=a\left( u\mid w \right)+\left(v \mid w \right)$$
-* (두번째 인수에 대한 선형성) $$\left( w\mid au+v\right)=a\left( w\mid u \right)+\left(w \mid v \right)$$

• (대칭성)임의의 $$u,v,w\in V$$ 와 $$a\in F$$ 에 대해,
  $$\left( u\mid v\right)=\left( v\mid u \right)$$
• (비퇴화성)임의의 $$v\in V$$ 에 대해,
  $$\left( v\mid v\right)=0\rightarrow v=0$$

3 추가적인 공리 및 변형

상황에 따라서, 위의 공리들이 변형되거나 몇 가지 공리들이 추가된다.

3.1 실수 $$\mathbb{R}$$ 에서

* (음이 아님)임의의 $$v\in V$$ 에 대해,
$$\left( v\mid v\right)\geq 0$$

3.2 복소수 $$\mathbb{C}$$ 에서

이하의 세 공리는 자신과의 내적을 실수로 만들기 위한 것이다.

* (음이 아님)임의의 $$v\in V$$ 에 대해,
$$\left( v\mid v\right)\geq 0$$

• (켤레 대칭)임의의 $$u,v\in V$$ 에 대해,
  $$\left( u\mid v\right)=\overline{\left( v\mid u \right)}$$
• (두번째 인수에 대한 켤레 선형성)임의의 $$u,v\in V$$ 에 대해,
  $$\left( u\mid av+w\right)=\overline{a}\left( u\mid v \right)+\left( u\mid w \right)$$

4 직교여부분공간(orthogonal complement subspace)

내적 공간 $$V$$ 의 부분공간 $$W\ltV$$ 을 생각하자. $$W$$ 의 직교여부분공간(orthogonal complement subspace) $$W^{\perp}$$ 을 다음과 같이 정의한다. 실제로 $$W^{\perp}$$ 은 부분공간이다.

$$W^{\perp}:=\left\{v\in V:\forall w\in W \left(v\mid w\right)=0\right\}$$

다음을 쉽게 알 수 있다.

• $$V=W\bigoplus W^{\perp}$$