라플라스 방정식

1 개요

"세상에서 가장 아름다운 방정식."

- 피에르시몽 라플라스

피에르시몽 라플라스와 관련있는 미분방정식이다. 3차원 직교좌표계에서 라플라스 방정식은 다음과 같이 표현된다.

[math]\displaystyle \dfrac{ \partial^2 V }{ \partial x^2 } + \dfrac{ \partial^2 V }{ \partial y^2 } + \dfrac{ \partial^2 V }{ \partial z^2 } = 0[/math]

이는 다음과 같이 요약된다. 여기서 역삼각형은 델이며, 이 방정식에서 아래 식이 유도되기 때문에 라플라스의 이름을 따와서 라플라시안이라고 한다.

[math]\displaystyle \displaystyle \sum_{i = 1}^{n}\frac{\partial^2 f}{\partial x_i ^2} = \nabla \cdot \left(\nabla f \right) = \nabla^{2} f [/math]

2 특성

라플라스 방정식은 2차 편미분방정식 중에서도 상당히 단순한 편으로, 변수분리법을 이용하여 해를 구할 수 있다. 애초에 변수분리법 자체가 일종의 꼼수에 가까운 방법인데, 이를 통해 얻은 해가 라플라스 방정식의 해라고 주장할 수 있는 이유는 특정 경계 조건 하의 라플라스 방정식의 해는 유일함이 증명되어 있기 때문이다. 다시 말하면 수단과 방법을 가리지 않고 해를 일단 찾기만 하면 그것이 유일한 해라는 것.

수치해석적으로도 라플라스 방정식은 다른 미분방정식들에 비해 다루기 편리한 편이다. 우선 타원형 편미분방정식이기 때문에, 이 형태의 미분방정식들에서만 가능한 여러 수치해석적 기법들을 라플라스 방정식에도 그대로 적용할 수 있다. 이는 보라플라스 방정식을 일반화한 버전이라고 할 수 있는 푸아송 방정식 전위도 마찬가지.

2.1 선형성

라플라스방정식은 선형 편미분방정식이다. 즉 경계면이 똑같이 주어진 두 경계조건 하에서 다음 관계가 성립한다. (여기서 [math]F(\vec{r})[/math]는 경계면에서 주어진 경계조건 함수로 문제에서 알고 있는 대상이다.)
[math]\nabla^2 f=0,\ f(\vec{r}\in S)=F_1(\vec{r})[/math]의 해가 [math]\phi(\vec{r})[/math], [math]\nabla^2 f=0,\ f(\vec{r}\in S)=F_2(\vec{r})[/math]의 해가 [math]\psi(\vec{r})[/math]라면, [math]a\phi+b\psi[/math]는 [math]\nabla^2 f=0,\ f(\vec{r}\in S)=aF_1+bF_2[/math]의 해이다.

§예시
파일:라플라스 방정식 예시(1).png

• A: [math]f_1(x,0)=\pi(x\lt0);0(x\gt0)[/math]
• B: [math]f_2(x,0)=1(x\lt0);0(x\gt0)[/math]
• C: [math]f_3(x,0)=1(x\lta);0(x\gta)[/math]
• D: [math]f_4(x,0)=1(0\ltx\lta);0(x\lta\ \text{or}\ x\gt0)[/math]

우선 A 조건을 만족시키는 라플라스 방정식의 해는 아래와 같다.(여기서 역탄젠트 함수는 [math][0,\pi][/math]를 공역으로 하고, 함수 안의 값이 발산하면 [math]\pi/2[/math]를 반환한다.)
[math]\displaystyle f_1(x,y)=\pi f(x,y)=\tan^{-1}\frac{y}{x}[/math]
그러면 B는 A에서 [math]\pi[/math]로 나눈 경계조건이므로 해도 같은 비율로 변한다.
[math]\displaystyle f_2(x,y)=f(x,y)=\pi^{-1}\tan^{-1}\frac{y}{x}[/math]
C는 B에서 조건이 오른쪽으로 평행이동한 상태이다. 그러므로…
[math]\displaystyle f_3(x,y)=f(x-a,y)=\pi^{-1}\tan^{-1}\frac{y}{x-a}[/math]
D는 C에서 B 조건을 뺀 결과다.
[math]\displaystyle f_4(x,y)=f(x-a,y)-f(x,y)=\pi^{-1}\left(\tan^{-1}\frac{y}{x-a}-\tan^{-1}\frac{y}{x}\right)[/math]

2.2 해의 유일성

라플라스 방정식의 해는 경계조건에 따라 결정된다. 경계조건이 폐곡면(2차원에서는 폐곡선)을 이루고, 폐곡면 상에서 [math]f[/math]혹은 [math]\nabla f[/math]의 값이 주어진다면 폐곡면 내부의 함수 해는 유일하게 결정된다.

§증명
똑같은 폐곡면에 똑같은 경계조건이 주어져 있는 조건에서 라플라스 방정식의 해가 두 가지가 나온다면 두 해는 반드시 같아야 함을 보이면 된다.
[math]\phi(\vec{r}), \psi(\vec{r})[/math]가 [math]\nabla^2 f=0,\ f(\vec{r}\in S)=F(\vec{r})\ \text{or}\ \nabla f(\vec{r}\in S)=F(\vec{r})[/math] 의 해라고 하면 [math]\delta(\vec{r})=\phi(\vec{r})-\psi(\vec{r})[/math]는 위의 선형성 항목에서 알 수 있듯이 아래 조건을 만족시킨다.

[math]\nabla^2 \delta=0,\ \delta(\vec{r}\in S)=0\ \text{or}\ \nabla \delta(\vec{r}\in S)=0[/math]
경계조건을 다시 쓰면 [math](\delta\cdot\nabla\delta)(\vec{r}\in S)=0[/math]으로 통합할 수 있다. 여기서 폐곡면 [math]S[/math]에서 면적분을 하면, 발산 정리를 써서 부피적분으로 바꿀 수 있다. 여기서 [math]V[/math]는 폐곡면 내의 공간이다.
[math]\displaystyle \iint_{S} (\delta\cdot\nabla\delta)\cdot d\vec{A}=0,\ \iiint_{V} \nabla\cdot(\delta\cdot\nabla\delta)dv=0[/math]

여기서 발산 연산을 전개하면
[math]\displaystyle \iiint_{V} |\nabla\delta|^2+\delta(\nabla^2\delta)dv=\iiint_{V} |\nabla\delta|^2 dv=0[/math]
여기서 [math]|\nabla\delta|^2[/math] 항은 언제나 0보다 크거나 같아야 한다. 그런데 [math]V[/math] 내에서 이 항을 부피적분했더니 0이 나왔다는 것은, 어느 지점에서나 항상 [math]|\nabla\delta|=0[/math]이 성립함을 뜻한다. 따라서 이 식과 [math]S[/math]에서 주어진 경계조건으로부터, [math]V[/math] 내에서 [math]\delta(\vec{r})=0\ (\therefore \phi(\vec{r})=\psi(\vec{r}))[/math]이 도출되고, 유일성 정리는 증명된다.

2.3 조화함수와 복소수함수

라플라스 방정식의 해는 조화함수(harmonic function)다. 조화함수의 특징은 특히 2차원에서 복소수 함수와 관련지어 알아볼 수 있다. 복소수를 변수로 하는 함수 [math]f(x+iy) = u+iv,\ x,y,u,v \in R[/math]가 모든 복소수에서 미분가능(즉 holomorphic function)일 때, 실수부와 허수부를 나타내는 함수 [math]u(x, y)=\text{Re} (f),\ v(x, y)=\text{Im}(f)[/math]는 조화함수이다.

§증명
우선 복소수 함수에서 미분 가능하다는 것은 복소평면 상에서 특정 복소수를 기준으로 어느 방향으로 미분을 하든 간에 미분계수가 언제나 하나로 정해짐을 뜻한다. 즉 아래 극한값 식에서 [math]\Delta z[/math]를 어떻게 잡아도 언제나 일정한 값이 나와야 한다.
[math]\displaystyle f'(z_1) = \lim_{\Delta z \to 0}\frac{f(z_1+\Delta z)-f(z_1)}{\Delta z}, \Delta z = \Delta x+ i\Delta y[/math]

여기서 [math]\Delta z[/math]를 [math]\Delta x[/math](실수축 방향), [math]i\Delta y[/math](허수축 방향)로 각각 잡으면 [math]f'(z_1)[/math]은 두 가지 식으로 나타난다.

• 실수축 방향으로 미분

[math]\displaystyle f'(z_1)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{(u(x_1+\Delta x, y_1)-u(x_1, y_1))+i(v(x_1+\Delta x, y_1)-v(x_1, y_1))}{\Delta x} = \left[\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}\right]_{(x_1, y_1)}[/math]

• 허수축 방향으로 미분

[math]\displaystyle f'(z_1)=\lim_{\Delta y \to 0}\frac{(u(x_1, y_1+\Delta y)-u(x_1, y_1))+i(v(x_1, y_1+\Delta y)-v(x_1, y_1))}{i\Delta y} = \left[-i\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial y}\right]_{(x_1, y_1)}[/math]

위 두 결과가 같아야 하므로 실수부와 허수부를 비교하면 [math]\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}, \frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}[/math]를 알 수 있다.

[math]u, v[/math] 둘을 분리하여 다시 쓰면 [math]\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0, \frac{\partial^2 v}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 v}{\partial y^2}=0[/math]이 되며, 조화함수의 정의에 맞는 식이다.

또한 [math]\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=0[/math]이 되어 본래 복소수함수 역시 [math]x,y[/math]에 대한 조화함수임을 알 수 있다.

참고로 모든 조화함수 [math]f(x,y)[/math]는 그에 대응하는 미분 가능한 복소수함수를 찾을 수 있다. 즉 [math]F(x+iy)=f(x,y)+if^*(x,y)[/math]에서 [math]F[/math]는 복소수 [math]z=x+iy[/math]로 미분 가능하도록 [math]g(x,y)[/math]를 잡을 수 있다.

§예시
[math]f(x,y)=x^3-3xy^2-2x[/math]는 조화함수이다. 그러면 이에 대응하는 미분 가능한 복소수함수는 [math]F(z)=z^3-2z=(x+iy)^3-2(x+iy)[/math]이고, 이것의 실수부는 앞서 주어진 조화함수와 같다.

한편 조화함수의 합성함수는 여전히 조화함수로 나타난다. 가령 함수 [math]u(x,y),v(x,y)[/math]가 [math]x,y[/math]의 조화함수이고 [math]f(u,v)[/math]가 [math]u,v[/math]의 조화함수라면, [math]g(x,y)=f(u,v)[/math]는 [math]x,y[/math]의 조화함수이다.

§증명
주어진 조건을 바로 대입하여 [math]\frac{\partial^2 g}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 g}{\partial y^2}=0[/math]를 직접 구할 수도 있지만 복소수함수를 이용하면 비교적 간단히 증명할 수 있다.
우선 가정에 따라 [math]\frac{\partial^2 w}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 w}{\partial y^2}=0(w(x,y)=u+iv)[/math]임을 알 수 있다. 그리고 바로 위에서와 같이 [math]F(w)=f(u,v)+if^*(u,v),\ g(x,y)=f(u,v)=\text{Re}(F)[/math]인 함수를 찾을 수 있다.
한편 [math]F(w)[/math]는 미분 가능하므로 미분계수 [math]\frac{dF}{dw}[/math]를 정의할 수 있다. 이제 [math]F(w)[/math]가 [math]x,y[/math]의 조화함수임을 보이면 된다.

[math]\displaystyle \frac{\partial^2 F}{\partial x^2}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial w}{\partial x}\frac{dF}{dw}\right)=\frac{\partial^2w}{\partial x^2}{dF}{dw}+\left(\frac{\partial w}{\partial x}\right)^2 \frac{d^2F}{dw^2}[/math]
마찬가지로 [math]y[/math]의 편미분을 구하면 다음 식이 나온다.
[math]\displaystyle \frac{\partial^2 F}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 F}{\partial y^2}=\left(\frac{\partial^2w}{\partial y^2}+\frac{\partial F}{\partial x^2}\right){dF}{dw}+\left[\left(\frac{\partial w}{\partial y}\right)^2+\left(\frac{\partial w}{\partial x}\right)^2 \right]\frac{d^2F}{dw^2}[/math]
위 식의 우변에서 첫 번째 항은 괄호 안의 값이 가정에 따라 0이 되어 사라진다. 두 번째 항의 괄호는 아래 식에 따라 0이 되어 사라진다.
[math]\displaystyle \frac{\partial w}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}= i\frac{\partial w}{\partial y}[/math]
따라서 [math]\displaystyle \frac{\partial^2 F}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 F}{\partial y^2}=0[/math]이 되어 [math]g(x,y)[/math]는 조화함수임을 알 수 있다.

이는 아래 풀이법 문단으로 이어진다.

3 좌표계 종류별 방정식

라플라시안은 좌표계마다 다양한 형태로 표현할 수 있다. 라플라스 방정식에서 경계조건이 어떻게 주어지는지에 따라 접근하기 쉬운 좌표계를 고를 수 있다.

3.1 2차원

2차원에서는 [math]x, y[/math] 두 변수로 나타난다.
[math]\displaystyle \frac{\partial^2f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2f}{\partial y^2}= 0[/math]

이를 극좌표에서는 아래와 같이 나타낼 수 있다.
[math]\displaystyle \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial f}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2f}{\partial \theta^2}= 0[/math]

3.2 3차원

3차원에서 [math]x, y, z[/math]로 주어진 방정식은 직교좌표계(Cartesian coordinate)에서 나타난다.

원기둥좌표계(cylindrical coordinate)에서는 극좌표 라플라시안에서 [math]z[/math] 편미분 항이 추가로 들어가 있다.
[math]\displaystyle \frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}\left(\rho\frac{\partial f}{\partial \rho}\right)+\frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2f}{\partial \phi^2}+\frac{\partial^2f}{\partial z^2} = 0[/math]

만일 경계조건이 구 모양으로 주어진다면 구면좌표계(spherical coordinate)를 도입하면 된다.
[math]\displaystyle \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial f}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin\theta \frac{\partial f}{\partial \theta}\right)+ \frac{1}{r^2 \sin^2\theta}\frac{\partial^2f}{\partial \phi^2} = 0[/math]

4 풀이법

변수분리법과 수치적 풀이는 일반적인 편미분방정식에서 적용할 수 있다. 여기서는 라플라스 방정식을 중심으로 적용 형태를 알아본다.

4.1 변수분리법을 이용한 풀이

변수분리는 구하려는 함수가 각각 단일변수 함수의 곱으로 나타난다고 가정하고 푼다.

• 직교좌표계에서는 쌍곡선함수와 삼각함수의 조합으로 나타난다.
• 원통좌표계에서는 베셀 함수, 구면좌표계는 르장드르 다항식 이나 구면 조화 함수가 나온다.

4.2 수치적 풀이

컴퓨터를 이용하여 근사적인 해를 주할 때에는 미분방정식의 미분 연산을 이웃한 두 지점 사이의 차로 표현한다. 미분계수의 정의를 역으로 이용한 것.

[math]\displaystyle \frac{\partial^2f}{\partial x^2} \approx \frac{f(x+h,y)-2f(x,y)+f(x-h,y)}{h^2}[/math]
[math]\displaystyle \frac{\partial^2f}{\partial y^2} \approx \frac{f(x,y+h)-2f(x,y)+f(x,y-h)}{h^2}[/math]
따라서 아래 변형된 식을 얻을 수 있다.
[math]\displaystyle \frac{\partial^2f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2f}{\partial y^2}=0 \Rightarrow 4f(x,y)=f(x+h,y)+f(x-h,y)+f(x,y+h)+f(x,y-h)[/math]

3차원에서도 모양이 비슷하게 나온다. 라플라스 방정식에서는 한 지점의 함숫값은 (전후)상하좌우로 이웃한 지점들의 평균과 같다는 근사적인 관계식이 나온다.
[math]\displaystyle 6f(x,y,z)=f(x+h,y,z)+f(x-h,y,z)+f(x,y+h,z)+f(x,y-h,z)+f(x,y,z+h)+f(x,y,z-h)[/math]

정의역을 간격이 [math]h[/math]인 격자로 취급하고, [math]s_k=s_0+kh(s:x,y,z)[/math]인 경계면 내의 격자점들을 변수로 풀이를 한다.

§예시
파일:라플라스 방정식 예시(2).png
위 그림과 같이 경계선(회색) 상의 값들이 주어져 있다. 그러면 위 방정식에 따라 내부 값들을 계산하면 흰색 네모의 결과가 도출된다. 내부의 한 지점이 그것의 상하좌우의 평균과 근사적으로 일치함을 알 수 있다.

4.3 복소수함수를 이용한 풀이

해당 방법은 [math]x,y[/math]평면을 복소평면으로 취급하는 방식이며, 2차원 디리클레 문제 한정으로 적용할 수 있다.

풀이과정은 아래와 같다.

• 경계조건을 해를 찾기 좋게 변형할 수 있는 미분 가능한 복소수함수를 찾는다. 참고로 모양마다 공식이 있다.
• 경계선의 조건을 새로운 [math]u,v[/math]복소평면에 적용한다.
• [math]u,v[/math] 상에서 라플라스 방정식의 해(즉 조화함수)[math]f(u,v)[/math]를 찾는다.
• 앞서 대응시킨 복소수함수에 대한 [math]u(x,y),v(x,y)[/math]를 구한다.
• [math]x,y[/math]복소평면 상의 해는 [math]g(x,y)=f(u,v)[/math]이다.

§예시
파일:라플라스 방정식 예시(3).png
위 왼쪽 그림과 경계조건이 제1사분면에서 주어졌다고 하자.
[math]f(x,0)=1(0\leq x\leq a);0(x\gta),\ f(0,y)=0[/math]
복소평면 상에서, 제1사분면을 제1+제2사분면으로 변환시켜주는 미분 가능한 복소수함수는 [math]w(z)=z^2[/math]이다. 이를 적용하면 오른쪽 그림이 된다.

[math]f(u,0)=1(0\leq x\leq a^2);0(u\lt0\ \text{or}\ u\gta^2)[/math]
이 조건을 만족하는 라플라스 방정식의 해는 [math]f(u,v)=\pi^{-1}\left(\tan^{-1}\frac{v}{u-a^2}-\tan^{-1}\frac{v}{u}\right)[/math]이다.
한편 [math]w=(x+iy)^2,\ u=x^2-y^2,\ v=2xy[/math]이므로, 구하고자 하는 해는 아래와 같다.
[math]g(x,y)=\pi^{-1}\left(\tan^{-1}\frac{2xy}{x^2-y^2-a^2}-2\tan^{-1}\frac{y}{x}\right)[/math]

5 사례

여러 학문 분야에서 라플라스 방정식이 나타난다. 대부분 Source가 없는 (우변이 0이므로) 형태의 물리적인 현상을 표현할 때 사용된다. 다만 물리적으로 Source가 0이라는 경우는 매우 특수한 경우인 만큼, 라플라스 방정식은 보통 다른 방정식을 단순화하는 과정에서 나타나게 된다. 여담으로 Source가 0이 아닐 경우에는 이를 푸아송 방정식이라 부르며, Source 하나만 추가되어도 비동차 미분방정식이 되어 풀이의 난이도가 꽤나 올라간다.

라플라스 방정식이 등장하는 주요한 경우는 전자기학에서의 전하가 없는 정전기학 문제, 중력 퍼텐셜 문제, 열전도 문제, 유체역학에서 다루는 2차원 Potential Flow 문제 등이 있다. 이 외에도 제어 이론에서도 초기 Input이 0일 경우에 자주 등장하는 방정식이기도 하다.

5.1 전자기학

전자기학에서는 전기 퍼텐셜과 벡터 퍼텐셜에 관한 방정식에서 라플라스 방정식을 찾을 수 있다. 도출 과정은 해당 문서 참고.
[math]\nabla^2 \phi=0;\ \nabla^2 \vec{A}=0[/math]

정전기학에서는 주로 전하와 도체의 분포를 다루는데, 특히 도체가 문제 상황에 들어가 있으면 전하 분포를 알 수 없어서 정전기력으로 전기장이나 전기 퍼텐셜을 셈하기 심히 곤란해진다. 그렇지만 도체는 라플라스 방정식의 '경계조건'을 주기 때문에, 위 미분방정식을 풀면 도체 표면의 전하 분포를 모르더라도 전기 퍼텐셜을 구할 수 있다.

5.2 열역학

열이 전도할 때, 특정 지점에서 온도의 변화는 아래와 같은 식을 따른다.
[math]\frac{\partial T}{\partial t}=\sigma \nabla^2 T[/math]
그런데 만일 온도가 변하지 않는 정적 상태(static state)라면, 위 식에서 좌변의 시간 미분이 0으로 사라지고, 결국 온도의 라플라시안만 남는다. 따라서 정적인 상황에서는 라플라스 방정식이 된다.

6 관련 문서

• 라플라스 변환
• 편미분방정식
• 푸아송 방정식
• 헬름홀츠 방정식
• 파동방정식
• 라플라시안