넓이

차원
0	1	2	3	4	5
점	선(길이)	면(넓이)	입체(부피)	초입체(초부피)

영어 : Area, Extent, Surface
너비와는 다르다! 너비와는!

2차원에서의 크기. 면적이라고도 한다. 간혹 너비를 넓이로 잘못 알고 있는 사람이 있는데, 넓이는 너비와는 차원부터가 다르다(너비는 1차원, 넓이는 2차원).

길이와 마찬가지로 일상 생활에서 자주 쓰이는 크기의 단위이지만, 여기서부터는 제곱의 개념을 사용하기 때문에 직관적인 크기 비교가 까다로워지기 시작한다. 너비와 높이가 두 배인 경우, 넓이는 이의 제곱인 4배가 된다. 3×3=9, 4×4=16, 5×5=25, 6×6=36, 7×7=49, 8×8=64, 9×9=81... 등으로 외워 두면 좋다. 이런 제곱으로 늘어나는 넓이를 원하지 않는 경우, 한쪽 길이만 늘리든가, 아니면 제곱수가 아닌 이상 나누어 떨어지지도 않는 제곱근을 동원해야 한다.

적분이 고대 이집트 시절부터 생겨난 것은 나일강으로 인해 주기적으로 범람해서개판(...)이 되곤 하는 토지의 넓이를 구하기 위해서이다. 나일강이 직선으로 흐를 리는 없기 때문에 한 면 이상이 곡선으로 이루어진 도형의 넓이를 구해야 했는데, 곡선은 직선과는 달리 정확하게 길이를 구하기가 힘든지라 이를 직선으로 최대한 근사시켜서 넓이를 구했다.

넓이라는 용어는 수학적으로 한 도형에서 음이 아닌 실수로 가는 함수를 뜻한다. 다만 임의의 함수가 되는것은 아니고 넓이라는 용어에 대한 기본적인 성질을 만족해야만 한다. 가령 안겹치게 쪼갠 도형들의 넓이의 값이 원 도형의 넓이와 같다거나, 포함되는 도형이라면 넓이가 더 작다는 등... 사실 넓이보다는 측도라는 표현을 쓴다.

정적분의 정의를 이용한 Jordan측도 방법이 있었고 그 후에 르벡이 이를 일반화 시켜 측도론이 탄생했다.