미적분의 기본정리

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Fundamental Theorem of Calculus

1 개요

미적분에 관한 기본 정리. 대수학의 기본정리, 산술의 기본정리와 함께 기본정리라고 불리는 정리 중 하나이다. 당연히 미적분에서 매우 중요한 정리이고, 평균값의 정리와 함께 미적분의 근간이 된다. 고등학교 수학교과서에서는 정적분의 기본정리라고 한다. 개정 후의 몇몇 교과서에서는 미적분학의 기본 정리라는 명칭을 채택하였다.

2 역사

미적분의 기본정리는 다항함수에 관해서 에반젤리스타 토리첼리가 미적분 개발 전에 발견했고 아이작 배로가 좀 더 일반화시켰다.

아이작 뉴턴과 고트프리트 폰 라이프니츠가 누가 원조니 하며 개싸움논쟁하고나서 약 반세기 뒤 오귀스탱 코시에 의하여 이전에 비해 대단히 엄밀해지고 현재 교과서에서 보는 미적분의 기본정리와 차이가 거의 없는 정리가 완성된다.

이후에 베른하르트 리만을 비롯한 수학자들이 온갖 엽기적인 상황(f가 연속이 아니어도 된다거나)과 엽기적인 함수(유리수에서는 1, 무리수에서는 0을 가지는 함수는 어떻게 적분할 것인지 등등)들에 대한 문제를 해결하면서 더더욱 엄밀해진다.

3 미적분의 기본정리 1

함수 [math]\displaystyle f(x) [/math]가 [math] \left[a,b\right] [/math] 구간에서 연속이면

함수 [math]\displaystyle g\left(x\right) = \int_{a}^{x} f\left(t\right)dt[/math] ([math]a\le x \le b[/math]) 는 구간 [math]\left[a,b\right][/math] 위에서 연속이고, [math]\left(a,b\right)[/math]구간에서 미분가능하며,

[math]\displaystyle {d \over dx} g\left(x\right) = {d \over dx} \int_{a}^{x} f\left(t\right)\, dt = f\left(x\right) [/math] 가 성립한다.

즉, [math] g'\left(x\right) = f(x) [/math] 이다

단순히 적분한 뒤의 도함수는 원래 함수가 된다는 식으로 이해하면 곤란하다. 이 정리는 정적분이라는 범함수의 해석학적인 성질을 규명해놓은 정리로서, 처음에 주어진 함수 [math] f [/math]와 정적분을 이용해 정의한 함수 [math] g [/math]가 [math] f [/math]의 부정적분 중 하나가 됨을 말한다.

3.1 증명

함수 [math]\displaystyle f(x) [/math] 는 구간 [math] \left[a,b\right] [/math] 내의 [math] \left[x, x + h \right] [/math] 구간에서 연속이므로,

적분의 평균값 정리에 따라 [math] \displaystyle {1\over h} \int_{x}^{x+h} f\left(t\right)dt = f(c) [/math] 를 만족하는 [math] \left(x, x + h \right) [/math] 내의 점 [math] c [/math] 가 존재한다.

양 변에 [math]{\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}} [/math] 극한을 취하면,

[math]{\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}{1\over h} \int_{x}^{x+h} f\left(t\right)dt} = {\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}} f(c) [/math] 이고,

[math] {\displaystyle{h\rightarrow 0}} [/math] 으로 가까워짐에 따라 [math] {\displaystyle{c\rightarrow x}} [/math] 로 가까워지므로, [math] {\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}} f(c) = f(x)[/math] 이고, 따라서

[math]{\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}{1\over h} \int_{x}^{x+h} f\left(t\right)dt} = f(x) [/math] 가 성립한다.

또한 [math]\displaystyle g\left( x+h \right) - \displaystyle g\left( x \right) = \int_{a}^{x+h} f\left(t\right)dt - \int_{a}^{x} f\left(t\right)dt[/math] 이므로, 이를 정리하여

[math] \displaystyle g\left( x+h \right) - \displaystyle g\left( x \right) = \int_{a}^{x+h} f\left(t\right)dt + \int_{x}^{a} f\left(t\right)dt = \int_{x}^{x+h} f\left(t\right)dt[/math] 이고, 양 변을 [math] h [/math] 로 나누고 [math]{\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}} [/math] 극한을 취하면

[math]{\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}} \displaystyle {\displaystyle g\left( x+h \right) - \displaystyle g\left( x \right))\over h} = {\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}{1\over h} \int_{x}^{x+h} f\left(t\right)dt} = {\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}} f(c) = f(x) [/math]

도함수의 정의에 따라 [math]{\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}} \displaystyle {\displaystyle g\left( x+h \right) - \displaystyle g\left( x \right))\over h} = g'\left(x\right)[/math] 이므로,

최종적으로 [math] g'\left(x\right) = f(x) [/math] 가 성립한다

4 미적분의 기본정리 2

함수 [math]f[/math] 가 [math]\displaystyle \left[a,b\right] [/math] 위에서 연속이고 함수 [math]F[/math]가 [math]f[/math]의 임의의 부정적분일 때, 다음이 성립한다.

[math]\displaystyle \int_{a}^{b} f\left(t\right)\, dt = F\left(b\right) - F\left(a\right) [/math]

미적분의 기본정리 1에서 바로 유도된다. 이로부터 미분의 역연산으로서 역도함수(=부정적분)가 정적분과 어떠한 관계인지 알 수 있다. 즉, FTC 2는 정적분을 계산할때 부정적분이 어떠한 형태로 사용되는지를 나타내는 정리인 것이다.

정적분이 먼저 정의되고 그것을 계산하는 방법으로 부정적분이 되는데, 현대 한국을 포함한 여러 나라들의 교육 과정에서는 거꾸로 부정적분부터 배우고 있다. 이는 그렇게 하는 것이 수학적 개념의 이해에 더욱 도움이 되기 때문이다. 다만 정적분부터 가르치고 부정적분을 다음에 가르치자는 주장도 없지는 않다.[1]

이 두 정리가 없었다면? 우리는 아직도 정적분을 계산할때 구간을 분할하고 각각의 구간의 임의의 값에 대해 그 리만합의 극한값을 구하는 노동을 하고 있어야 한다. 혹시 궁금하면 [math]\displaystyle \sqrt{x} [/math] 를 [math]\displaystyle 1[/math]에서 [math]\displaystyle 2[/math]까지 구분구적법을 통해 계산해보자.

대학 미적분학에서는 미적분의 기본정리의 확장판으로 선적분의 기본정리, 발산 정리, 스토크스 정리 등의 괴악다양한 바리에이션을 볼 수 있다.

4.1 증명 1

적당한 상수 [math] C [/math] 에 대하여, [math]\displaystyle F(x) = \int_{a}^{x} f\left(t\right)dt + C [/math] 를 함수 [math]\displaystyle f(x) [/math]의 부정적분으로 생각하자.
[math]\displaystyle f(x) [/math] 는 미적분의 기본정리 1의 전제조건들을 만족하는 함수이다.

[math]\displaystyle F\left(b\right) = \int_{a}^{b} f\left(t\right)dt + C [/math] 와

적분의 성질 [math]\displaystyle F\left(a\right) = \int_{a}^{a} f\left(t\right)dt + C = 0 + C = C[/math] 을 이용하여 C를 소거하면

[math]\displaystyle F(b)-F(a) = \int_{a}^{b} f\left(t\right)dt [/math]

4.2 증명 2

[math]\displaystyle f(x) [/math] 의 부정적분 [math]\displaystyle F(x) [/math] 을 고려하자.
[math]\displaystyle F(x) [/math] 는 [math] [a,b] [/math] 구간에서 연속이고 [math] (a,b) [/math] 구간에서 미분가능한 함수라고 가정한다.

[math] [a,b] [/math] 구간을 [math] n [/math] 등분한 그림에서 [math] b=x_n , a= x_0 [/math] 을 이용하여 [math]\displaystyle F(b)-F(a) [/math] 를 재배열하면

[math]\displaystyle F(b)-F(a) = F(x_n)- F(x_{n-1})+ F(x_{n-1}) ... - F(x_{k}) + F(x_{k}) -F(x_{k-1})+F(x_{k-1}) ...- F(x_{1}) + F(x_{1}) -F(x_0) = \displaystyle \sum_{k=1}^{n}\left(F(x_k) - F(x_{k-1})\right) [/math] 로 쓸 수 있다.
[math] [x_{k-1},x_{k}] [/math] 구간에서 연속이고 구간에서 미분가능한 함수이므로 평균값의 정리에 의해

[math] \displaystyle F(x_k) - F(x_{k-1})\over \displaystyle x_{k} - x_{k-1} [/math] [math] = F'\left(c^*_k\right) = f(c^*_k) [/math] 를 만족하는

[math] c^*_k [/math] 가 [math] (x_{k-1},x_{k}) [/math] 사이에 반드시 존재하며,

[math] \displaystyle F(x_k) - F(x_{k-1}) = (x_{k} - x_{k-1}) f(c^*_k) [/math] 로 표현 가능하다. 이를

[math]\displaystyle F(b)-F(a) = F(x_n)- F(x_{n-1})+ F(x_{n-1}) ... - F(x_{k}) + F(x_{k}) -F(x_{k-1})+F(x_{k-1}) ...- F(x_{1}) + F(x_{1}) -F(x_0) [/math] 에 대입하여 합으로 표현하면 [math]\displaystyle F(b)-F(a) = \displaystyle \sum_{k=1}^{n}\left(x_k - x_{k-1}\right) f(c^*_k) [/math] 이다.

양변에 [math]{\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}} [/math] 극한을 취하면, 좌변은 상수로 남아
[math]\displaystyle F(b)-F(a) = {\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}} \displaystyle \sum_{k=1}^{n}\left(x_k - x_{k-1}\right) f(c^*_k) [/math] 가 되고, [math] x [/math] 의 변량 [math] x_k - x_{k-1} =\Delta x [/math] 가 되어,

[math] {\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}} \displaystyle \sum_{k=1}^{n} f(c^*_k) \Delta x [/math] 를 적분기호 [math] \int_{}^{} [/math]로 표현하면 최종적으로 다음이 성립한다

[math]\displaystyle F(b)-F(a) = \int_{a}^{b} f\left(x\right)dx [/math]

5 반례?

당연하지만, 미적분학의 기본정리는 참이다. 하지만 대학 수학, 특히 르베르그 적분을 배우게 되면 이 공식을 약간 다른 형태로 익히게 된다.

If [math]F[/math] is continuous everywhere and diffable a.e;
then [math]\displaystyle \int_{a}^{b} f\left(t\right)\, dt \lt= F\left(b\right) - F\left(a\right) [/math]

즉, 등호가 아니라 부등호가 성립할 수도 있다! 즉 F(1) = 1이고 F(0) = 0인데 f=0인 함수 같은 것도 존재한다는 뜻. 물론 이런 것들은 실생활에서는 전혀 볼 일이 없는 변태같은 반례들 뿐이기에(...) 크게 걱정할 필요는 없다. 수학에 흥미가 있는 고등학생이라면 어떤 함수가 이런 조건을 만족할 수 있을지 상상해 보는 것도 재미있을 것이다.

눈치챘겠지만 리만적분에서의 기본정리와는 조건이 미묘하게 다르다. 앞서서는 F가 f의 부정적분일 것을 요구했고, 여기에서는 f가 F의 미분이라는 조건을 요구하고 있다. 당연하지만 부등호가 성립하는 반례들은 F' = f 이지만 [math]\int f =F[/math]는 성립하지 않는 녀석들이다.