미적분Ⅱ

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2009 개정 교육과정 고등학교 수학 (14'~17' 高1)
공통	수학Ⅰ		수학Ⅱ	미적분Ⅰ	확률과 통계
자연	미적분Ⅱ			기하와 벡터
기초 선택 과목으로 기초 수학, 심화 선택 과목으로 고급 수학Ⅰ · 고급 수학Ⅱ가 있다.

1 개요

영칭(비공식): Basic CalculusⅡ

이공 계열에 진학하고자 하는 고등학생들이 배우는 교과목으로, 과거(7차 심화 선택)의 「미분과 적분」에 '지수함수와 로그함수'와 고1 과정에 있던 삼각함수 부분이 추가 된 과목이다. 미적분Ⅰ을 발판 삼아 초월함수의 미적분, 다양한 미적분의 접근을 배우게 된다. 미적분Ⅰ을 기반으로 이과생들이 배우는 요소들이 추가된 것과 고1 과정의 삼각함수, 고2 과정(구 수학Ⅰ)의 지수함수와 로그함수로 구성되어 있다.

2 내용

주의. 미적분Ⅱ를 배우기 앞서, 이과학생에 있어서 미적분Ⅰ은 직접적인 출제 범위는 아니지만. 극한의 의미, 연속의 의미, 미분의 정의와 기하학적 의미, 다항함수의 미분법, 정적분의 정의, 다항함수의 적분법 같은 핵심적인 내용은 꼭 알아두어야 한다. 너무 깊이 들어가지 않아도 된다. 핵심 내용만 쏙쏙 뽑아 정리하자. 나온 적이 없다고 공부하지 않아도 되는 것은 아니다. 2017학년도 6월 모의평가 가형 29번에서도 속도와 가속도,위치 개념을 모르면 풀 수 없게 출제되었다.

2.1 Ⅰ. 지수함수와 로그함수

• 지수함수와 로그함수의 뜻과 그래프

수학Ⅱ에서 학습했던 지수와 로그의 개념을 바탕으로 지수함수, 로그함수의 뜻과 그래프, 그리고 그 특징을 배운다. 기초적인 지수/로그함수를 배우고, 평행이동/대칭이동을 시키면서 다양한 개형을 익히게 된다. 이들 함수의 특징은 무엇인지, 함수의 그래프를 다루는 문제에서 평행이동/대칭이동의 관계, 역함수 관계인지 알면 문제를 푸는데 편리한 경우가 많다. 그 특징에 대한 풍부한 이해가 필요하다. 참고로, 로그함수를 설명하는 부분에서 기존 교과과정과 미세한 차이가 있는데, 여기서 로그함수를 지수함수의 역함수로 소개하고 있다.

지수함수와 로그함수의 개념을 바탕으로 지수·로그 방정식, 부등식을 배운다. 지수/로그함수는 일대일함수이고, 증가 혹은 감소이기 때문에 이러한 성질을 기반으로 하여 방정식과 부등식을 풀 수 있다. 문제를 풀 때 지수 방정식/부등식의 경우 문자를 다루는 과정에서 치환을 하게 되는데 정의역에 따라 치환한 문자의 범위가 달라질 수 있음에 유의하자. 예를 들어 2^x를 문자 t로 치환할 때 무작정 t는 무조건 양수라고 외우지 말고 x값에 따라 t의 범위도 달라 질 수 있음을 알아두자. (예 : x>0이라 주어지면 t>1) 정의역에 주의할 것. 로그의 진수나 밑에 문자가 오는 방정식/부등식의 경우 항상 밑 범위,진수 범위에 유의하도록 한다. 방정식을 풀고 나서 이 조건에 의해 근이 될 수 없는 것들도 있기 때문이다. 지수/로그 부등식의 경우 특히 상당수의 학생들이 문제를 풀다 한 번 이상 하는 실수가 있는데, 밑의 범위를 확인하지 않고 양변에 로그를 취하거나 지수로 올리는 것이다. 밑의 범위에 따라 부등호의 방향이 바뀔 수 있음을 유의해야 한다.

2016 수능 세대까지는 이를 문과도 배웠고, 킬러 30번 문항이 지수로그 함수와 개수세기를 조합한 흉악한 유형이었다. 규칙만 찾아낸다면 많이 걸려도 3분이면 풀어내는 문제이다. 역시 무한복습이 중요하다. 심한 경우 역대급 난이도로 출제하면 2012 수능 30번(공통) 또는 2016학년도 수능 A형 30번처럼 가형에도 출제될 수 있다. 제 아무리 가형이라도 정답률이 1~2%를 기어다니는 문제를 낼 수 있다. (두 문제 모두 추가 바람)

• 지수함수와 로그함수의 미분

여기서 자연상수([math]e = 2.718281828459045235...[/math])와 자연상수를 밑으로 하는 로그인 자연로그를 배우고 간단한 지수함수와 로그함수의 미분법을 배운다. (여기까지 단계에서는 후에 학습하는 미분법 단원의 합성함수의 미분법을 아직 배우지 않았기 때문이다.) 기존 교과 과정의 수학Ⅱ(2007 개정)에 있던 지수·로그함수의 극한, 미분법이 이곳으로 이동됐다.

기존 교과과정과의 차이점이라면 이미 미적분Ⅰ 에서 함수의 극한과 미분법을 배운 바 있기 때문에, 지수·로그함수를 학습한 직후 이 단원을 학습하게 된다. 지수·로그함수의 극한을 통해 배우는 의의는 두 가지다. 첫 번째는 이를 바탕으로 점근선이 어디서 어떻게 발생하는지 알아낼 수 있다. 이는 후에 배울 미분법 단원에서 복잡한 함수에 대해 분석하는 기반이 된다. 기존의 간단한 함수들과 달리 이들은 개형도 모르는 생판 처음 접하는 함수들이고, 점근선이 어디서 생길지도 모르기 때문이다. 두 번째는 지수·로그함수의 미분을 계산하는 기본적인 방법을 배우는 것이다. 이과용으로 배우는 단원이긴 하지만, 대학에서 상경계(경제, 경영) 수학에서도 다루는 내용이기도 하다.

2.2 Ⅱ. 삼각함수

• 삼각함수의 뜻

삼각함수 뜻과 삼각함수의 그래프 단원은 고1 과정에 있던 단원이었으나 이곳으로 넘어왔다. 삼각함수의 미분 단원은 예전부터 이과용 단원. 교육과정 개정으로 사인법칙, 코사인법칙등 많은 내용들이 사라졌다. 기하와 벡터 등에서 중요한 공식인 사인법칙 및 코사인법칙을 배우지 않는 것은 물론이고, 반각 공식, 배각 공식 등 미적분에서 매우 중요한 공식들을 뺐다는 것에서 비판이 많다. 이런 공식들은 교육과정에서 빠졌지만 매우 중요한 법칙이므로 무조건 숙지하고 가는 것이 도움이 될 것이다. 더구나 특히 배각과 반각은 워낙에 중요한 까닭인지 어느 개념서는 교육과정 외임에도 불구하고 필요해 보여 특강을 추가해 두었고, 교과서에서도 개념 설명에서 없지만 예제와 문제에서 증명하라고 나오는 다소 치사한 방법으로 배각의 공식과 반각의 공식이 나왔다. 나중에 삼각함수 치환적분 할 때 엄청 유용하게 쓰이니 알아두자.

2017학년도 수능을 보는 사람은 배각과 반각의 공식을 알아놓는 것이 좋다. 평가원은 과거에도 교과과정에서 빠진 문제를 출제한 적이 있다. 게다가 기출문제 중 기초 개념을 확립하기 좋은 문제 중 상당수가 배각과 반각공식을 이용한다. 배각과 반각의 공식을 증명하고 공식을 외우는 것은 시간낭비가 아니다. 그걸 시간낭비라고 생각는 것은 학생의 자유이며 과거의 킬러문제들을 모두 놓치고 시험장에 들어서는 것도 학생의 자유이다. 성적은 자유가 아니란다

함정이라면, 삼각함수 치환 적분 관련 개념 자체가 굉장히 약화되었다. 교과서 내에서 삼각함수 치환 적분도 개념 설명 없이 예제-문제로 설명되며, 그것조차도 간단한 꼴만 다룬다. 하지만 주의할 것은, 공식적으로는 교육과정에서 빠져버린 까닭에 논술이나 면접에서 이런 용어 사용하면 피본다는 점이다. 주의하도록 하자. 다만, 2017학년도 현재상황에서 실제 수리논술은 기초개념을 정확하게 이해하고 정합적인 논증을 전개하는지 그렇지 않은지를 평가한다. 물론 몇몇 대학교 수리논술은 그저 본고사 시즌n 이기 때문에 학교별 경향차이는 숙지해야 한다. 특히 고대 수리논술작성자는 연대지롱 뻬에

중학교 3학년때 직각삼각형의 변들의 길이 비를 나타내는 삼각비를 배운 바 있다. 그리고 고등학교 과정에서는 원점을 중심으로 하는 원의 원의 중심과 원 위의 한 점의 좌표 사이의 관계로 새롭게 삼각함수를 정의한다. 엄연히 말하면 삼각비와 삼각함수는 비슷하지만 정의가 다르다. 이 때 호도법을 처음 배우는데, πrad=180º를 기준으로 특수각의 라디안 값은 기억해 두는 것이 좋다. 기초적인 계산문제를 빠르게 넘어갈 수 있다. 또한 (nπ/2)±θ의 삼각함수 변형 공식은 일일히 외우기보다는 바꾸는 요령을 익히자. 예를 들어 1+tan^2x=sec^2x, 1+cot^2x=csc^2x 등 "1개가 타면(tan) 새카맣게(sec) 탄다. "1개의 코가 타면(cot) 코가 새카맣게(csc) 탄다"로 외우면 된다. 삼각함수 사이의 관계등을 제대로 익혀두지 않으면 이후 미분법, 적분법단원에서 삼각함수가 나올 때 계산이 힘들어진다.

정말 가끔가다 삼각함수의 덧셈정리를 벡터의 내적으로 설명하는 선생님이 있다. 이 경우, 이면각까지 응용되는 방법이니 정말 잘 쓰자. 특히 두 직선이 이루는 각의 크기는기하와 벡터에서 그대로쓰인다. 이면각에서도

• 삼각함수의 그래프

삼각함수의 그래프는 삼각방정식과 삼각부등식을 풀 때 유용하게 쓰이므로 필히 개형을 기억해야 한다. 또한 후술할 지수 및 로그함수와 마찬가지로 단원의 특성상 삼각함수의 각 계수의 위치 또는 그 값에 따라 삼각함수의 폭, 주기, 최댓값, 최솟값 등 그래프의 고유한 특징이 어떻게 변화하는 지에 대한 특징에 대한 전반적인 이해도 중요하다.

• 삼각함수의 미분

이전의 삼각함수의 극한 및 미분에 대해 다루었던 바와 마찬가지로 먼저 덧셈정리를 소개하고, 이를 이용해 삼각함수의 극한과 미분을 구하는것까지는 동일하되, 덧셈정리 자체의 비중은 대폭 손질하였다. 즉, 기본적인 덧셈정리 sin(a±b), cos(a±b), tan(a±b) 및 a*sin(x)+b*cos(x) 꼴의 합성 외의 복잡한 덧셈정리 관련 파생 공식들, 이를테면 합->곱, 곱->합으로의 변환이나 배각공식, 반각공식 및 혹은 직접적으로 활용하여야만 하는 문제들은 공식적으로 다루지 않는다. 또한 탄젠트 함수의 미분은 뒤에 있는 몫의 미분법과 함께 다룬다. 덧셈정리와 등비급수를 결합한 문제가 안타깝게도(...) 출제 가능하다.

엄밀히 말하자면, 미분(도함수)을 소개하기전에 삼각함수의 극한이 나온다. 사실상 이 단원의 꽃이자 최종보스. 기본적인 공식은 외워두되, 여기서 그 유명한 테일러 급수를 쓰는 꼼수가 있다. 이걸 도형에 응용하면, 이른바 세타존이 형성된다. 즉, 호AB와 현AB는 세타가 0으로 가면 길이가 같아지고, 그 사이 부분을 세타존이라고 부른다. 합차를 곱으로, 곱을 합차로 바꾸는 것이 삭제되었기에 기출문제도 풀다보면 패턴이 보인다. 이 세타존을 잘 응용할 것.

2.3 Ⅲ. 미분법

• 여러 가지 함수의 미분법

분수함수, 무리함수, 역함수, 합성함수, 이계도함수의 미분을 배운다. 여기서 탄젠트함수의 도함수를 유도하는 것을 배운다.미분법이 정말 다양하기 때문에 모든 미분법을 암기하고 그에 따라 변형하여 문제를 풀어야 하는 귀찮은 단원이다.역함수의 미분법의 개념에 대해서 절대 흔들리지 말아야 하며,지수함수의 미분을 응용하여 쌍곡선함수의 성질을 묻는다. 이는 기하와 벡터에서도 다시나온다.

• 도함수의 활용

미적분Ⅰ에서 다루지 않았던 초월함수의 접선의 방정식,변곡점 ,함수의 그래프, 방정식과 부등식에서의 활용을 배운다. 과거 이과만 배웠던 평균값 정리는 미적분1으로 이동해서 나형에 평균값 정리가 출제범위에 들어갔는데 가형에선 삭제되는 괴랄한 상황이 벌어졌다. 다만 가형도 간접적으로 등장할 수 있으므로 알아두는게 좋다. 특이한점으론, 극값의 정의를 연속함수에서만다루던것이 임의의 열린 구간으로 대학교에서 쓰는 정의로 바뀌었다.미적분1과 난이도가 차원이 다르다.여긴 서로 본질이 다른 함수들을 다루어야 하기 때문에 정말 어렵다.문제풀이를 반복하다 보면 중간 난이도까지는 누구나 풀 수 있지만,미적분2의 킬러문제는 주로 삼각함수+미분+적분이기 때문에,단원 통합형 문제에 대한 숙련도가 요구된다.절대로 미분 하나로 킬러문제를 출제하지 않는다.

2.4 Ⅳ. 적분법

• 여러 가지 함수의 적분법

부정적분과 정적분이라는 용어와 전체적인 틀(미적분의 기본정리,정적분과 급수 등)은 미적분1과 동일하되 초월함수의 적분을 다룬다. 새로운 적분법인 일정 부분을 치환하여 적분하는 치환적분법과 두 종류로 된 함수를 부분으로 나누어 적분하는 부분적분법을 배운다. 부분적분에선 보통 미분하기 쉬운 함수와 적분하기 쉬운 함수를 정해놓는다. 일반적으로 f'(x)×g(x)를 부분적분한다고 치면, f'에 들어가는 함수를 속칭 로다삼지라고 외운다.교과서를 보면 치환적분법을 설명할 때, 배우지 않은 음함수의 미분법을 자연스레 사용한다.수능에서는 치환적분법과 부분적분법을 혼합한 1~2문제,미분과 통합한 킬러 1문제가 주로 출제된다.

빠르고 정확한 계산이 생명인 부분이고,쉬운 문제나 보통의 문제는 단순 계산 혹은 약간 꼬아놓은 계산에서 그치지만 심화 고난도 문제의 경우 조건을 주고 함수를 추론하는 문제가 주로 출제되는데,미적분2의 함수들을 모조리 섞어버려 문제의 접근 자체를 짜증나게 만드는 경우가 정말 많다.ex)2017 수능 6월 모의평가 수학 가형 30번

점대칭, 선대칭, 우함수, 기함수의 개념등이 잡혀있지 않으면 힘든 파트. 실제로 미적분의 어려운문제는 대칭함수를 사용한다.
주로 30번같은 킬러문제가 자주 출제된다.

• 정적분의 활용

초월함수 그래프의 넓이와 일부 입체도형의 부피를 배운다.

3 대학수학능력시험 수학 영역

추가 및 수능 관련 서술 분리 바람.

4 여담

• '지수함수와 로그함수'는 원래 문·이과 공통과목인 구 수학Ⅰ에 있던 단원이 넘어온 것이다. 다만 지수와 로그같은 기초적인 내용은 2009년 교육과정 기준의 수학Ⅱ로 분리됐다.
• 다음 교육과정에서는 아라비아 숫자가 빠진 미적분이라는 과목으로 대체된다. 기존 미적분Ⅰ은 수학Ⅱ라는 과목으로 대체된다.
• '삼각함수'는 원래 고1 문·이과 공통으로 배우던 부분과 이과만 배우는 삼각함수 파트로 분할되어 있었다.
• 물론 이 과목은 이과용 과목이긴 하지만 문과생 중에서도 상경계로 진학을 목표로 하거나 상경계를 전공하고 있다면, 이 과목의 단원 중 초월함수의 극한과 미적분 부분을 익히면 대학에서 상경계 수학과목을 배우는 데 도움은 될 것이다. 또, 무리함수와 합성함수의 미분을 배워두면 편하다.
• 앞으로 고3 3월 모의에서는 이 과목에서 거의 80%로 출제한다. 막상 실제로 시험지를 보니 초월함수로 가득한 아름다움 7차 교육 과정에서 다섯 문제밖에 안 나왔던 것과 대조적(...). 그 시대 학생들이 보면 기겁을 하겠지
• 쉬운 개념에 비해 문제가 지랄맞은(...) 확률과 통계나 가히 최종보스급인 공간도형과 공간벡터를 비롯해 보스들이 단체로 집합한 기하와 벡터에 비교해 그 위상이 의외로 꽤나 추락해있기에, 이 때문에 미적분 Ⅱ를 소홀히 하다 피보는 이과생들이 많으니 충분히 신경을 써줘야한다. 정작 킬러 30번 문항 같은 최상급 수능 문제들은 여기서 매우 매우 잘 나온다(...). 멀리 갈 것도 없이 2016.6월에 실시된 평가원 수학 가형 30번을 펼쳐보라. 정답률이 2%이하를 달린다...
• 차라리 꼬아서 낼지언정 깊이 파고든 문제는 보기 힘든 확률과 통계보다 여기가 더 난이도가 높은 편이니 일반 수준 문제를 보고는 만만히 여기고 기하와 벡터에만 집중하면 나중에 심히 곤란해진다. 워낙 삭제된 개념(특히 삼각함수 파트에서)이 많아 기출문제도 부족한 과목이다.
• 11월 모의고사에서 마침내 출제되었는데, 역시나 삼각함수를 활용하는 문제가 7%라는 끔찍한 정답률을 기록했다. 2017 수능을 응시하는 수험생들은 깜깜한 출제경향을 비집고 문제를 풀어야하기 때문에 밑 학년보다는 불리한 편이다. 그나마 출제경향이 깜깜한 건 N수생들에게도 마찬가지라는게 위안이라면 위안이다.