기하와 벡터(2009)

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2007 개정 교육과정(2009년~2013년 고교 입학생) 기하와 벡터에 대해서는 기하와 벡터(2007) 문서를 참조하십시오.

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2009 개정 교육과정 고등학교 수학 (14'~17' 高1)
공통	수학Ⅰ		수학Ⅱ	미적분Ⅰ	확률과 통계
자연	미적분Ⅱ			기하와 벡터
기초 선택 과목으로 기초 수학, 심화 선택 과목으로 고급 수학Ⅰ · 고급 수학Ⅱ가 있다.

1 개요

자연계열 학생들만 배우는 과목으로, 지금까지 배워왔던 기하학적 툴을 동원해 본격적인 "해석기하학"에 들어가게 된다. 수학Ⅰ(2009)의 ‘도형의 방정식’ 단원에서 배웠던 원의 방정식 이외에도 ‘타원’, ‘포물선’, ‘쌍곡선’과 같이 더 다양한 이차곡선을 배울 수 있게 돼 드디어 평면 좌표의 총체적인 이해를 할 수 있게 된다. 또 미적분과 선형대수학을 시작으로 이공계생이라면 계속 봐야 할 벡터를 여기서 맛보기로 볼 수 있고, 이 교과를 잘 배우면 물리학적 벡터를 미적분과 연계해서 고교 물리에서 나오는 속도나 가속도같은 시간에 대한 물리 변화율을 파악할 수 있게 된다. 또, 도형에 관한 스케일이 기존에 배우던 평면을 너머 공간(3차원)까지 확장한 게 가장 두드러지는 특징이며, 또 3단원에서 3차원 좌표계(구면좌표계)에서도 벡터를 적용하게 될 수 있게 된다.

2 상세

내용적인 측면에서 봤을 때는 간단한 해석기하내용으로 이루어져 있다. 벡터도 사실 엄밀한 수학적 정의가 아니라 미적분에서 나오는 물리학적 정의를 빌려온 것이라 약간 '물리를 위한 수학'에 가까우며, 실제로 개정되면서 물리Ⅱ와 관련성이 짙은 평면 운동 파트가 수학Ⅱ(2007)로부터 이사왔다. 이전 교육과정인 기하와 벡터(2007)과 비교해보면, 일차변환과 행렬이라는 대단원이 빠져 고급 수학Ⅰ으로 이동되었다.

2.1 교과 내용

2.1.1 Ⅰ. 평면 곡선

• 이차곡선의 방정식 : 이전에 배운 원의 방정식의 심화 단계로, 대수학적으로 접근하면 Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0꼴의 방정식을 다루는데 xy에 관한 항은 고급 수학Ⅰ에서 다루므로 일반 고등학교 과정에서는 보통 이를 제외한 Ax²+By²+Cx+Dy+E=0 꼴만 다룬다. 보통 정의를 정확히 외우면 대부분 문제가 쉽게 풀리는 경향이 있었는데 최근엔 수학적 테크닉을 강요하는 문제가 나오기도 했다. 가장 신유형으로 각색하기 좋은 단원이기도 해서 그리 만만하게 볼 단원은 아닐 수도 있다. 개념 설명까지 하자면 포물선은 Ax²+By²+Cx+Dy+E=0의 두 이차항 중 어느 하나가 0인 것. A가 0이면 (y-n)²=4p(x-m)의 꼴로, B가 0이면 (x-m)² = 4q(y-n)의 꼴로 나타낼 수 있으며, 이를 표준형이라 한다. 참고로 이 함수를 y에 대하여 정리해보면, 준선이 x축과 평행한 포물선은 이차함수라는 것을 알 수 있다. 포물선은 좌표 평면 상에서 준선과 초점으로부터의 거리가 서로 같은 점들의 집합으로 표현된다. 이를 통해 이등변삼각형을 유도하기도 한다. 예를 들어 포물선의 기본형 y² = 4px에서 초점은 F(p,0) 준선은 x=-p가 된다. 타원은 Ax²+By²+Cx+Dy+E=0의 두 이차항의 계수의 부호가 같은 것. 수학Ⅰ(2009)에서 배운 원의 방정식을 안 까먹었다면 이차곡선 중 제일 쉽다. 쌍곡선은 간단한 이해를 위해 한마디만 하자면... 타원을 반 잘라서 포물선 화 한 것. Ax²+By²+Cx+Dy+E=0의 두 이차 항의 계수의 부호가 다른 것이다. 여기서는 다른 두 이차곡선에서는 없던 점근선 때문에 특이 성질도 많이 나온다. 특히 두 점근선이 직교하는 쌍곡선을 직각쌍곡선이라고 하는데, 수학Ⅱ(2009)에 나오는 분수 함수의 그래프가 이런 예이다.

• 이차곡선과 접선 : 위에서 배운 이차곡선을 미분하려면 먼저 음함수라는 정의를 알아야 하는데, 이전 교과 과정에서는 음함수라는 존재 자체를 상세히 다루지 않아서 고전하는 학생이 많았다. 덕분에 이번에는 이차곡선의 접선파트로 넘어오게 되고, 음함수의 미분까지 다뤄 접선의 방정식을 보다 의미 있게 유도할 수 있게 되었다. 개정 이후 새롭게 서술하는 단원으로 취지가 조금 바뀌었는데, 이제 이차곡선에 대한 접선의 방정식은 미분으로 증명만하고 사실상 외우는 게 더 신상에 좋을 거다. 이전의 기하와 벡터(2007)과 다르게 직선의 위치 관계도 다루지 않는다.

2.1.2 Ⅱ. 평면벡터

• 평면벡터의 뜻 : 고등학교에서 말하는 벡터는 상당히 물리학적으로 접근한 의미이다. 고등학교 수학 교과서에 정의된 '벡터'는 엄밀하게 말하자면 수학적인 정의는 아니다. '방향'과 '크기'로 정의하는 것은 '물리학'적인 의미에 가깝다. 괜히 자연대생들이 선형대수학을 펼쳐 행렬과 벡터의 정의에 멘붕하는게 아니다. 이 단원에서는 단원명 그대로 평면 상의 벡터를 다루며, 수학Ⅰ(2009)에서 배웠던 직선의 방정식과 원의 방정식을 벡터로서 접근하여 설명하기도 한다. 그리고 벡터의 내적을 설명할 때 일부 교과서는 코사인 법칙을 사용하여 유도하는데 교과 과정 외이므로 몰라도 된다. 어차피 시험에는 안 나온다. 반대로, 삼각함수의 덧셈정리를 벡터의 내적으로 설명이 가능하다.

• 평면 운동 : 이전 교육과정에서는 맨 뒷부분에 있었고, 수능 출제에서도 그닥 부각이 안 됐지만 지금은 교과서 중간에 있는 지라... 여기 이후부터는 개념조차 서서히 어려워지기 시작한다. 미적분 파트를 충실히 공부했다면 이해가 어려운 부분은 아니지만, 까먹은 사람들이 많아 여기서부터 손을 놓게 되는 사태가 발생하곤 한다. 언급했다시피 교과서 맨 끝에 있었던 존재감無의 파트였고, 심지어 이전 교육과정에서는 '벡터'로 설명하지 못했기 때문에 매개변수로 나타내어진 함수로써 서술했어야 했다. 지금은 평면 벡터를 배운 이후 교과 구성을 하였기 때문에 어쩌면 현재 교육 과정을 배우는 학생 입장에서는 딱 보기 좋게 바뀌었다고 볼 수 있다. 그러나 아쉽게도 이 교과과정 세대의 후배인 2015 개정 교육과정 세대부터서는 다시 매개변수로 나타내어진 함수로 서술된 것을 배워야 한다.

2.1.3 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표

• 공간도형 : 이쪽은 확률과 통계의 순열과 조합처럼 개념만 봐도 모르는 부분이기 때문에 연습 문제를 통해 개념을 익혀야 한다. 말그대로 여기부터는 공간을 다루니 평면과 헷갈리면 안 된다. 예를 들어, 평면에서는 두 직선이 수직이면 서로 반드시 만나는데 공간에서는 안만나는 경우, 즉 꼬인 위치도 고려해야한다. 당장에 공부를 못하는 학생은 이론서만 달달 외우고 문제를 푸는데, 사실상 이 파트에서 그런 식의 사회탐구식 공부법은 전혀 도움이 되지 않는다. 또 하나 이 부분을 어려워 하는 학생들은 주로 중학교 도형 수학이 제대로 안 되어 있는 사람들이다. 중학교 2학년 때 배운 도형의 성질과 닮음 개념을 휘황찬란하게 곁들여주기 때문에 중학교 때 논 사람들은 상당히 힘들어한다. 각종 인터넷 강의 전문 사이트에서는 중학 도형 특강을 무료로 제공하고 있으니, 중학교 도형이 약한 수험생들은 그쪽 컨텐츠를 적극적으로 활용하기 바란다. 처음 배운 사람 입장에서 생소한 개념으로 꼽히는 삼수선 정리는 가히 평면 도형의 피타고라스 정리 만큼의 위상을 갖고 있다. 특히 문제에서 수직이 나오면 일단 삼수선 정리를 떠올리자. 직접 증명해보는 것도 좋은 방법이다. 일단 수선의 발을 내리고 삼수선 정리를 생각해 보면 뭘 물어보려는 지가 보인다. 이면각의 정의도 자유자재로 활용하는 능력 역시 중요하다. 두 평면의 교선으로 각각의 평면 위의 점에서 그은 수선의 발이 일치할 때, 각각의 평면 위의 점과 교선에 내린 수선의 발 이렇게 3개의 점을 이용해 각을 구하는 방법이다. 정사영도 마찬가지로 활용 빈도가 높다. 두 평면의 교선이 제대로 나와있지 않으면, 한 평면 위의 도형의 다른 평면 위로의 정사영의 넓의 비를 통해 사잇각을 구하는 방법이다. 정사영 문제는 정사영을 구하라는 식으로 나오면 낫지만, 그냥 평면 사이의 각을 구하라는 문제에서 하나의 문제 풀이로 나오는, 즉 숨겨진 개념으로 나오는 연습 문제가 상당히 어렵다. 마지막으로 내적에서는 두 평면이 이루는 각은 그 법선 벡터가 이루는 각과 같다는 걸 꼭 숙지하여야 한다. 여기서 법선 벡터를 성분으로 잡을 수만 있으면, 내적을 통해 각을 잡으면 된다. 문제는 바로 그 성분을 잡아야 한다는 것이다.

• 공간좌표 : 우리가 흔히 쓰는 평면좌표에서 축 하나가 추가된 게 공간좌표다. 사실상 수학Ⅰ(2009)만 잘해놓았다면 그의 연장선이기 때문에 까다로운 파트는 아니다. 또 원의 방정식도 z축을 추가하면 구의 방정식이 된다.

2.1.4 Ⅳ. 공간벡터

• 공간벡터 : 1학년 때 배운 선분의 중점, 내분점, 외분점의 좌표, 삼각형의 무게 중심 등을 다시 보고, 그때 배웠던 공식에서 z성분만 추가된다. 여기까진 어렵지 않다. 자잘한 맨 뒷부분인 직선과 평면의 방정식은 모든 공간 도형, 공간 벡터를 한 번에 정리할 수 있는 수준에 도달해야 이해하기에 쉽다. 이 부분은 공간좌표를 여기서 사용하기 때문에 그냥 새 파트가 시작되었다는 느낌으로 공부하는게 정신건강상 이롭다. 문제를 보면 벡터의 다른 부분과 차이점이 확 눈에 띈다. 그리고 앞의 벡터와는 달리 수학적인 접근을 요구한다. 말 그대로 벡터를 붙여뒀지만 방정식이라고 생각 하는 게 이로운 파트. 실제로 정석에선 벡터방정식이란 이름으로 소개한다. 물론 고등학생 레벨에서 벡터를 이용한 방정식을 제대로 다룰 수 있는 사람은 공간 기하학에 한해서는 거의 신의 경지에 다다랐다고 봐도 좋다. 개념에서 다루는 벡터방정식은 기껏해봐야 방향벡터와 법선벡터를 이용한 직선, 평면의 방정식과 구의 방정식정도 밖에 없으니 너무 깊이 들어갈 필요는 없다. 만약 이 파트가 어렵다면, 공간도형에서 자신이 보고자 하는 부분만 좌표평면으로 나타내어 풀어라. 오히려 답지에 있는 풀이는 더 복잡할 뿐더러, 정팔면체와 정사면체는 좌표 잡는 법이 정해져있다.

2.2 대학수학능력시험 수학 영역

• 문제 구성이 뒤로 갈 수록 어려워 진다는 점에서 확률과 통계와 대조된다. 수능에 대해 아예 모르지 않는 사람들은 알겠지만, 미적분Ⅱ에서는 예전엔 미분법에서 주로 킬러문제가 나왔으나 요즘은 적분법에서 내는편이고, 확률과 통계는 '사고력 문제를 가장한 경우의 수/확률' 파트에서 킬러가 나온다. 그리고 이 과목에서는 주로 '공간 벡터' 파트에서 킬러를 출제하는 편이다. 최근 여론적인 위상으로 봤을 때 이과의 최종 보스라고 볼 수 있는데,
• 평면 운동 파트에서 알게모르게 쌍곡선 함수의 성질을 묻는다. 이에 유의하도록 하자. 2009 개정 교육과정 이후 처음으로 선 보이는 모의평가에서 29번 킬러로 나왔다. 교과서가 개정된 이후로 출제율이 다소 올라갔다.
• 공간 도형 파트의 경우 교과서나 개념서를 보면 알겠지만 아주 간단하고 초딩 기하처럼 서술되어 있어 별 것 아닌 것으로 착각한다. 사실 평가원이 이걸 노리고 페이크삼아 문제를 어렵게 만들 예정이고, 또 그렇게 해왔기 때문에 꽤 주의해야 하는 부분이다. 교과서에는 점과 직선의 위치 관계, 꼬인 위치에 있는 두 직선의 각 등등 여러 가지 내용이 나오지만 이 중 이면각의 정의와 직선과 평면의 수직 조건, 삼수선의 정리를 제외하면 전부 직관 레벨로 커버 가능하다.
• 공간 도형과 벡터가 결합되지 않은 문제라면, 조건과 직관적 센스로 커버 가능하긴 하지만 매우 중요한 개념인 정사영을 얼마나 철저하게 잡았는지가 이 파트에서 묻는 전부라고 보면 된다. 특히 정사영의 경우 이면각을 구하는 데 매우 유용하다. 2009학년도 수능 이후 공간 사이의 각이 잘 안 보이게 출제가 되고 있다. 이를 잘 대비해야 할 것이다.
• 2009 교육과정에서 '코사인 법칙, 사인 법칙'에 관련된 개념이 삭제되어, 제이코사인법칙으로 삼각형을 푸는 문제가 더 이상 나오지 않게 되었다.
• 공간 벡터는 수능 기준으로 봤을 때 그야말로 헬게이트이자 평가원이 자주 쓰는 필살기다. 따라서 상위권 학생들도 많이 까다로워하는 부분이다. 마지막 단원이기에 중위권 쪽에서는 아예 손 놓는 경향도 없지 않다. 아래는 그에 관한 대표적인 문제다.

2014학년도 수학B형 29번 문항 (저작권/KICE)

• 수능에서의 공간 벡터는 공간 도형과 엮어서 출제하는 경우가 많다. 특히 삼수선을 생각해 보자는 말이 가장 절실히 드러났던 경우가 바로 위의 문제이다. 참고로 위 문제는 그림이 주어져서 더 장엄해보일 뿐이다. 여담으로 수학적 미적 감각에 예민한 사람들은 당시 시험장에서 놀라움을 감추지 못했을 정도(...). 실제로 저 그림은 2016학년도 수능 29번 문제와 더불어 이과뽕들의 프로필 사진으로 자주 쓰이기도 한다. 물론 2018학년도 입학생부터 이 부분이 사라져, 더 이상 크고 아름다운 그림은 볼 수 없게 된다. (기하 문서 참조.)
• 공간 벡터 단원은 상황에 따라 최고난이도일 수도 있고, 또한 이런식으로, "지나가던 문제"로 나올 수도 있다. 특히 지나가던 문제의 대표적인 예가 2016년 9월 평가원이다. 마지막인 단원이지만 양이 매우 방대하다. 수능에 대비할 때, 유형 암기에 중점을 두는 공부법을 택하는 것이 좋다. 물론 개념을 소홀히 해도 좋다는 말이 아니다. 애초에 수학 ‘가’형(舊 수학 B형)은 수능 전 과목중 가장 개념 중시 과목이고 벡터 난이도가 쉽지 않아 왔다는 것을 생각하자. (수학 ‘가’형(舊 수학 B형)의 변별력은 대부분 공간 도형과 벡터가 핵심이 되었다. 기출문제라곤 직선/평면 방정식이 대세이거나 기껏해야 내적으로 최대/최소 찾기이다. 문제집에 널려 있는 내분/외분 공식을 난잡하게 이용하는 벡터는 수능은 물론이고 평가원 모의고사에도 나온 적 없다. 4점 고난도로 출제되는 마당에 가장 위험한 부분이다.
• 2009 개정 교육과정(현재 교육과정)에 들어서면서 이 과목을 2학년 때 편성하는 학교가 늘어났는데, 이는 교과 순서에 대한 명백한 오점이다. 실제로 교과 지침상 확률과 통계를 제외한 나머지는 수학Ⅰ → 수학Ⅱ → 미적분Ⅰ → 미적분Ⅱ → 기하와 벡터 순서로 진행하도록 명시되어 있다.
• 이전 교육과정에서 7문제 정도가 출제된 것과 비교했을 때, 현2009개정 교육과정에서 출제 비중이 10문제로 늘어나게 된다. 그러나 처음 적용된 2017학년도 대학수학능력시험에서는 9문제가 출제되었다.
• 물수능 기조로 인해 2015학년도 수능, 2016학년도 수능은 모두 29번(각각 정사영 , 공간벡터) 문제가 쉽게 나왔다. 하지만 최고 오답률은 모두 30번의 미적분 문제에서 기록했다. 애초에 기하와 벡터는 만만치 않다는 것을 알기에 상위권 수험생들은 기벡을 끝까지 물고 늘어지려 하고, 그 결과 비교적 만만해 보이는 미적분에서 정답률이 더욱 낮아지는 것. 게다가 올해는 확률과 통계까지 난입했기 때문에, 등급컷이 84~88까지 떨어지는 상황이 충분히 연출될 수 있다. 그리고 결국 2017학년도 수능의 1등급 커트라인은 92점까지 떨어졌다.
• 최근 수능에서는 '공간 벡터'에서 킬러 문제가 나온다. 과거에는 '공간 도형'에서 그림자가 드리워지는 정사영에 관한 상황에서 킬러 문제를 냈는데, 당시 지금과 비교할 수 없을 정도로 아주 거친 문제가 많이 등장했었다. 현재는 난이도가 많이 완화된 편.
• 가형의 킬러문제(21, 29, 30번 문항)들 중 29번 문항은 주로 이 교과의 공간 도형과 공간 벡터 단원에서 출제한다. 나머지 2개는 미적분Ⅱ.

2.3 여담

2.3.1 기타

• 사실 6~7차 교육 과정 시절에서는 이 과목이 그냥 수학Ⅱ의 일부 단원으로 편입되었던 지라 지금처럼 공포성이 뚜렷하게 부각되진 않았었다. '이차곡선'이라는 내용 자체도 예전에 고등학교 1학년 공통 수학에 있었던 내용인지라, 그냥 단원 구성을 어떻게 하느냐에 따라서 교과서 난이도가 부각되는 것이라고 볼 수 있다.
• 2018학년도 고등학교 1학년 기준으로 적용되는 새 교육과정(2015 개정 교육과정)에서 '공간 벡터'가 삭제되는데 '평면 벡터'가 그대로 남아있다. 단원만 사라졌을 뿐 사실상 원리를 배우는 입장에서는 달라진 게 없다. 그리고 과목 이름이 기하로 바뀐다. (해당 문서 참조.)
• 그냥 공간을 잘하기 위해서는 그냥 중학교때 공부 열심히 하자. 실제로 기벡에서 중학교 때 배운 내용을 응용을 하면 어려운 문제도 부드럽게 풀리는 경우가 대부분이기 때문이다. 그러기 때문에 중학교 기하를 더욱 깊이있게 공부하는 것이 이 단원에서 가장 좋은 방법이다. 만약에 중학교때 열심히 하지 못하고 중학교 내용을 까먹었으면 그냥 중학교 기하를 다시 하는 것을 추천한다. 앞서 말했다시피 EBSi 같은 인터넷 강의 사이트에서 10여 강 분량으로 제공하는 중학교 기하 특강도 추천할 만하다. 특히 중학교 기하는 삼각함수와 연관되어 나오는 부분이 꽤 많다. 원의 성질, 원주각과 중심각 등 원은 기본이요, 피타고라스의 정리의 응용에 나오는 공간도형은 말할 것도 없다.

2.3.2 공간지각능력에 관한 논쟁

주장들이 대립되는 상황에서 이 문제에 대해 확정적으로 답하는 것은 어렵다. 다만 이 주제에 관해 세 가지 점은 지적하는 것이 유익하다. 첫째. 공간지각능력을 타고났을 때 공간도형/공간벡터 문제를 보다 쉽게 풀 수 있다는 것은 자명하다. 둘째. 공간지각능력을 타고나지 못했다 하더라도 학습에 의해 극복될 수 있는지, 있다면 그 한계는 있는지 없는지에 대해 우리는 모른다. 셋째. 타고난 공간지각능력 덕분에 공간벡터/공간도형 문제를 잘 푸는 사람이 '나는 선천적 능력 때문이 아니라 학습이 잘 되어 있어서 공간도형/공간벡터문제를 잘 푼다'라고 착각할 수 있다. 집합론이 여기에 적용되기 적합한 모델은 아니지만 간단하게 공간지각능력이 높은 사람의 집합(집합 A)과 개념과 정의를 정확하게 학습한 사람의 집합(집합 B)으로 나누어 보면 문제상황을 파악하는 데 도움이 된다.

• 공간지각능력과의 상관성이 짙다는 의견 : 수학적 성취에 관해 선천적인 능력과 후천적인 학습 사이의 관계에 대해서는 현재 학계에서도 논란이 되고 있다.주로 성 연구에 집중되어 있기는 하나, 수학적 성취의 선천적 측면을 강조하는 연구들은 대개 고레벨의 수학에서 남성의 수학적 성취가 여성보다 뛰어나다는 점에 주목하며 후천적 측면을 강조하는 연구들은 대개 문화적/심리적 맥락에 따라 여성의 수학적 성취가 달라진다는 점에 주목한다. 이에 관한 연구들 중 본 항목에 관해 중요한 점이 있다. 공간지각능력과 수학적 성취는 매우 깊게 관련된다. 이는 수 십년째 심리학 논문들에서 타당한 것으로 인정되고 있다. 당장 공간지각항목을 보아도 공간지각능력과 기하와 벡터 단원 사이의 관련성을 지적하고 있다.

• 공간지각능력과의 상관성이 무의미하다는 의견 : 기하와 벡터가 공간 지각 능력이 뛰어나야 된다는 의견이 많지만, 정의를 정확히 이해하고 개념을 확실히 잡아두면 된다. 애초에 최근 평가원 기출문제에서는 고도의 사고력(공간지각능력 포함)을 요구하는 문제가 없어 현재로서는 크게 걱정할 문제가 아니다. 어차피 공간지각능력이 있어도 마왕님에게 털리는 경우가 많다. 이분이 공간지각능력은 아무 상관없다고 하니 된거다...