확률과 통계

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2009 개정 교육과정 고등학교 수학 (14'~17' 高1)
공통	수학Ⅰ		수학Ⅱ	미적분Ⅰ	확률과 통계
자연	미적분Ⅱ			기하와 벡터
기초 선택 과목으로 기초 수학, 심화 선택 과목으로 고급 수학Ⅰ · 고급 수학Ⅱ가 있다.

1 개요

영칭(비공식): Basic Probability and Statistics

조합론 영역과 대학에서 주로 배우는 통계학(기초통계학 포함)의 기초가 되는 과목이다. 다만, 대학 통계학과 비교하기에는 다소 억지적인 내용이 섞여있다. 문·이과 공통으로 수능에 10문제 씩이나 직접 출제된다. 2단원인 확률과 3단원인 통계는 난이도가 썩 어렵진 않으나, 1단원인 순열과 조합에서 출제자가 난이도를 높게 내고자 한다면 끝도 없이 어려운 수준의 문제를 만들어 낼 수 있기 때문에 비교적 까다로운 편이다.

2 내용

단원은 순열과 조합, 확률, 통계 총 3단원으로 구성되어있다. 現 수학Ⅱ의 집합의 개념과 ∑라는 기호만 알면 공부하는 데 거슬릴 정도가 아니다. 이처럼 교과서 자체가 독립적이기 때문에 고등학교 1학년이든, 중학생이든 이 과목을 시작할 수 있다. 다만, 수능 문제 기준으로 개념과 문제 풀이 영역이 따로 노는 경우가 굉장히 많고, 가끔가다 난해한 아이디어(창의력)를 요구하기 때문에 PSAT나 국어 영역 혹은 노가다 영역이라며 학생들이 치를 떨어한다.

2.1 Ⅰ. 순열과 조합

• 경우의 수

고등학교 교육 과정에서는 '집합의 또다른 적용 파트'라고 보면 된다. 합의 법칙과 곱의 법칙을 다룬다. 합의 법칙은 집합의 연산법칙처럼 사용해주면 된다. 곱의 법칙은 현재 교과 과정상 서술이 금지된 '곱집합'(카테시안 곱)의 경우의 수를 구하는 것이다. 서술은 짧지만 첫 시작이자 모든 만악의 근원

• 순열과 조합

2009년도 신 교육과정에 들어서면서 공간도형과 쌍두마차를 이루게 된 수능계의 또다른 최종보스.

처음이라고 만만히 봤단 큰코다친다.

순열과 조합은 경우의 수를 쉽게 풀어내기 위한 도구라고 보면 된다. 여담이지만 외국에서는 C(조합), P(순열), Π(중복순열), H(중복조합)와 같은 기호를 쓰지 않는다. 한국에서 독자적으로 만들어낸 기호들이지만, 보통 세계에서 쓰는 '행렬' 표시보다 더 편리하다는 강점을 가지고 있다.

먼저 순열과 조합은 한국수학올림피아드 4대 영역중 하나인 조합론에 해당하는 파트이다. 일반적으로 이론을 발견한 뒤에 적용하는 파트 아니라, 우리가 평상시 쓰고 있던 생활 속의 셈법을 어거지로 이론화시키면서 탄생된 것이다 보니 "개념 쉽고, 문제 헬파이어"가 연출 되는 것이다. 마치 화학Ⅰ의 양적 관계와 같은 메카니즘이랄까(...) 물2화2는 죄다 이렇다

조합론 자체가 아직까지 개발이 덜 된 이론이기 때문에 문제도 관점을 살짝 틀어만 줘도 굉장히 다양한 풀이가 나온다. 그래서 평가원 측에서는 의도를 명확히 하기 위해 문제 속에 제한 조건을 많이 걸어둔다. 그러다 보니 4점짜리 문제들 수준은 ㅎㅎ. ㅎㅎ 에서 느꼈다. 조합론이 얼마나 어려운지를...

최상위권 학생들을 살펴보면 자잘한 기호를 쓰지 않고 대개 조합기호나 곱셈 법칙만으로 수능 4점짜리 문제를 깔끔하게 풀어낸다. 실제로 문제에서는 자잘한 곱셈 기호를 무능화시켜버리는 경우가 많다. 본격 재능싸움

이전 교육과정보다 실제로 언어능력이나 상황 파악이 더 중요해진 이유는, 2009개정교육과정(현 교육과정)에 자연수의 분할과 집합의 분할(제2종 스털링 수)이 추가되었기 때문이다. 정확히 조상님들이나 재수생이 배웠던 적분과 통계에서는 공집합을 허용하는 범위 내에서 중복순열 및 중복조합을 배웠는데, 바뀐 교육 과정에는 공집합을 허용하지 않는 범위까지 확장됐다. 이전에 서로 다른 것, 서로 같은 것을 서로 구분하는 것조차 까다로워 했던 이과생은 이제 공집합 여부 조건까지 결합해 4가지 상황 파악을 제대로 구분해야 하기 때문에 더 부담이 커진 셈이다. 물론 1가지 상황밖에 몰라도 됐던 미적분과 통계 기본의 문과 조상님들은 죶망이다 자세한 설명은 생략한다. 그래서인지 1등급 재수생들도 간간이 기출문제를 풀다가 문제에서 시사하는 하나하나의 '단어'나 수식언, '맥락 뜻'을 파악하지 못해 짝대기를 긋는 상황이 종종 생긴다. 사실상 이러한 교육 과정 개정 탓에 제대로 배운 재학생(현역)들만 더 유리한 상황이 되었다. 이 부분을 잘 공부해놓아야 뒤의 확률 파트를 잘 할 수 있기 때문에, 어떻게 보면 확률과 통계 과목에서 가장 중요한 단원이기도 하다. 국어 못하면 얄짤없다.

경우의 수 대표적인 유형 중 하나인 '상자에 공을 넣는 가짓수 문제' 유형은 상자와 공의 구분가능 여부에 따라 풀이가 다르다. 서로 같은 혹은 다른 공 n개를 서로 같은 혹은 다른 상자 k개에 분배하는 방법의 수는 다음 표를 참고하자. 그러나 실제로 이 표를 달달달 외워봤자 소용없다. 아니 그럼 어쩌란 거야 그냥 문제를 많이 풀어보고 체화시키는 게 답이다.

	빈 상자 불가능		빈 상자 가능
	서로 같은 상자	서로 다른 상자	서로 같은 상자	서로 다른 상자
서로 같은 공	P(n,k)	kHn-k	P(n,1)+P(n,2)+...+P(n,k)	kHn
서로 다른 공	S(n,k)	k!·S(n,k)	S(n,1)+S(n,2)+...+S(n,k)	k^n

위에 순서쌍 문제처럼 고정된 유형으로 함수의 개수를 구하라는 유형이 있는데. 까다롭게 내면 순열조합 단원 내의 온갖 개념을 다 짬뽕해야 겨우 풀리는 악랄한 문제가 만들어진다.

단원의 특성상 문제를 보자마자 '아 이건 중복조합이네'와 같이 곧바로 어떤 단원에서 배웠던 건지 떠올리기가 힘들다. 그래서 아예 직접 세어 보면서 규칙을 찾는 풀이법도 많다. (사실 억지로 공식을 사용하는 것 보다는 그냥 세는게 나을 때도 있다.) 실제로 4점짜리가 이러한 창의적인 구성법을 요구하기도 한다. 역대 가장 어려웠다던 2011수능 근처쪽 기출문제를 풀어보면 알겠지만 주로 이러한 고난도 IQ테스트를 가장한 수학 문제가 상당히 많았다. 문제가 어려워질수록 빼야하는 경우의 수가 많아지는데, 어떻게 빼야할 지 당연히 알려줄 리 없기 때문에 그로 인해 고전하는 경우도 많다. 문제를 많이 풀어서 다양한 유형을 접하며 감각을 익혀야 이 단원에 익숙해질 수 있다. 역량평가적 성격은 국어영역과 비슷한 측면이 있다. 결국 순열과 조합부분은 수능 수학중에서 기하와 벡터의 공간도형과 더불어 IQ의 영향이 가장 크다고 볼 수 있다.

수학 30번에 이 단원이 출제된다면 그야말로 최악의 상황. 평가원이 작정하고 사고력/아이디어로 변별력을 가르겠다는 의도와 다름 없다. IQ가 높은 사람만을 서울대에 보내겠다는 의도입니다. 노력? 그딴 거 없어. 그냥 96점 맞아.

• 이항정리

아직까지 어렵게 나오지 못한다. 아무튼 (1+x)ⁿ의 전개식을 활용하는 문제 유형도 종종 나온다. 가끔 경우의 수 문제로 위장(?)하고 있는 이항정리 문제도 있으니 주의할 것. 이항정리는 나중에 통계를 응용한 문제에서도 사용되는데, 거기서는 이전과는 반대로 전개된 것을 합치는 것을 요구한다. 그러니 전개된 것을 합치는 연습도 게을리하지 않길 바란다.

2.2 Ⅱ. 확률

• 확률의 뜻

1단원을 못한다면 두번째 헬게이트인 곳. 여기서부터는 개념이 똥꼬쇼를 일으키면 큰일나는 부분이다. 사실 통계 단원으로 갈수록 더 그러한 경향이 두드러진다. 개념이나 기출을 몇 바퀴 돌린 최상위권 학생들은 확률 용어에 대한 베이스를 제대로 다져놓고 1단원으로 회귀하는 휘황찬란한 공부 루트를 타기도 한다. 실제로 사건은 어떤 한 집합인데 표본 공간의 부분집합의 원소의 개수가 경우의 수이기 때문이다. 확률의 뜻과 정의는 용어 확인만 거치면 된다. 집합 개념과 꽤 유사하기 때문에 수학Ⅱ에서 집합을 제대로 익혔다면 익숙하게 잘 이해할 수 있을 것이다.

• 조건부확률

곱셈정리, 조건부확률, 독립시행 등의 상세한 용어가 등장한다. 역시나 고난도 문제는 앞의 순열과 조합에서 가져와 확률로 변형시키는 경우가 많다. 대표적으로 2011학년도 9월 평가원 24번 문항이 역대급으로 어려운 확률과 통계 문제였다. 아무튼 수능이나 모의고사 문제로는 조건부확률 문제가 가장 많이 출제된다. (물론 2017년도부터는 다를 수도 있겠다. 하지만 조건부확률이 현재까지는 출제빈도가 높으니 잘 알아두도록 하자.)

2.3 Ⅲ. 통계

• 확률변수와 확률분포

통계 파트는 용어 정리 학습이나 기호 인식이 더욱 중요한 파트인지라 다소 탐구 영역적 성격을 지니고 있다. 탐구영역 핵폭발의 기조에 맞춰 2017 EBS 수능특강에 별 개그지같은 문제들이 이번에 많이 수록되었다. 그러니 만만하다고 여기지 말고 꼭 풀어보도록 해라. 통계에서 킬러를 낼 수 있다면, 고정된 확률이 주어지지 않은 독립시행을 이항분포와 짬뽕 시킨 문항 정도이다. 구성을 다 따져 가면서 확률로 변환해야 하기 때문에 실제로 문제 풀 때 꾸준히 연습하지 않으면 털리기 농후한 단원이다. 교육과정 지침상 뒷부분(정규분포~통계적 추정)에서 절대 시험 문제를 어렵게 낼 수 없다는 특징도 있다. 앞서 언급했듯이 통계는 살짝 과학탐구와 사회탐구를 짬뽕시킨 수학같은 부분이기도 하다.

확률분포 파트에서는 이산확률변수와 이항분포,평균와 분산에 대해서 공부하다보면 중학교 때 했던 그 바보같은 짓들이 공식 하나로 깔끔하게 해결한다는 것에 허탈감이 들 수도 있다. 여기서는 절대 시그마로 표현된 수열의 합으로 이미지를 기억하면 더 헷갈리니 주의하고, 그냥 우리말로 자동으로 번역할 수 있을 정도로 자신만의 팁을 만드는 것이 좋다.

연속확률변수 및 확률밀도함수 파트는 이전보다 축소된 감이 있다. 여기서 확률밀도함수의 폐구간 [a, b]에 대한 확률 P(a≤X≤b)를 간혹가다 정적분으로 정의하는 참고서가 많다. 정적분을 직접적으로 활용하는 문제가 나올 가능성은 적지만 자연계의 경우 부정적분으로 정의된 함수로 간접출제될 수 있으니 참고하길 바란다. 또 이전에는 연속확률변수의 평균, 분산구하는 내용을 정적분을 이용해서 다룬 적이 있었지만 미적분Ⅰ이 독립되면서 삭제할 수밖에 없게 되었다. 그러나 바뀐 교육과정 학생들이 이에 대해 다소 아쉬워할 이유는 없다. 어차피 연속확률변수의 평균과 표준편차도 이산확률변수처럼 E(X²)-{E(X)}²로 분산을 구하고, 확률변수와 확률값 곱한 것들의 합으로 평균을 구하는 등 메카니즘이 똑같다. 그러니까 뭘 덜 배운다고 자존심 상해하지 말고 하는 것만 해라. 괜히 이상한 연구하다가 1년 더 한다.

정규분포부터 난이도가 확 떨어지기 때문에 아예 정줄을 놓고 이 파트를 소홀히 하는 사람이 있다. 정규분포 문서를 보면 알겠지만 증명도 하지 않고 얼렁뚱땅 넘어가는 부분도 꽤 많다. 특히 정규분포에 대한 함수 자체가 자연계 학생들만 배우는 e가 포함되어 있기 때문에 정규분포에 관한 함수는 본질적으로 다룰 수 없다. 함수의 극한 구할 때 최종병기인 로피탈의 정리처럼, 여기서도 만능표준화주의로 가는 경향이 있다. 실제로 아직까지 표준화만으로 안 풀리는 문제가 없었지만, 표준화를 못 쓰게 하는 문제도 만들 수 있다면 얼마든지 만들 수 있으니 주의할 것.

• 통계적 추정

앞 내용과 완전히 다른 방식으로 접근해야 한다. 그냥 다른 과목이 시작되었다고 깔고 가는 게 더 편할 것이다. 겉으로 서술된 것만 보면 이게 뭐야...하며 대뜸 겁을 먹게 되는데 마치 물리Ⅱ 교과서를 보고 데꿀멍 당하는 것과 비슷한 포지션. 그러나 그냥 겁주기용에 불과하고 통계 단원 중에서도 가장 쉬운 파트이다. 아주 작정하고 불수능으로 냈던 2011학년도 수능 모비율 문제를 제외하고는 4점짜리 문항도 아주 쉬운 편에 속한다. 그냥 문제를 많이 풀어보기 보다는 정확한 개념의 이해와 암기가 훨씬 중요하다며 짙게 강조하는 파트다.

2.4 이전 교육 과정과의 비교

기존 교육과정에서의 고등수학에 있었던 경우의 수(직순열과 기본적인 조합), 적분과 통계에 있었던 중복순열, 원순열, 같은 것이 있는 순열, 중복조합, 이항정리와 기존의 확률(2단원), 통계(3단원)가 합쳐져 한 권으로 구성되어 있다. 문과 입장으로 보면 더 늘어난 셈이다. 집합의 분할, 자연수의 분할 관련 내용이 조합 다음 단원에 추가되었고, 연속확률변수의 평균, 분산 구하는 내용이 사라졌다. 대신 문과 입장에서는 모비율의 추정 파트가 하나 늘어났다. 이 부분은 이과만 배웠던 부분이다.

더 이전인 제7차 교육과정 시절에는 이 확률과 통계라는 교과서의 내용 모두가 수학 Ⅰ에 있었다! 다만, 당시 수학Ⅰ은 지수와 로그(現 수학Ⅱ), 행렬(現 고급 수학Ⅰ), 수열(現 수학Ⅱ), 수열의 극한(現 미적분Ⅰ), 지수함수와 로그함수(現 미적분Ⅱ), 순열과 조합(現 확률과 통계), 확률(現 확률과 통계), 통계(現 확률과 통계)로 총 8개의 대단원으로 구성되어 있었으며, 문과생이든 이과생이든 고등학교 2학년 때 배웠다. 여담으로 당시 1학년 때 배우는 수학은 수학10-가/나(10이라는 숫자는 10학년을 의미. 초등학교 6학년부터 중학교/고등학교 없이 카운팅을하면 고1때 10학년이다.)라는 과목명이었는데, 현재의 수학Ⅰ과 수학Ⅱ로 대체되고 있다.

한편 7차 당시에도 확률과 통계라는 과목이 별도로 있었으며 수리 가형의 수능 선택 과목이었다. 내용은 분할이 없다는 점과 연속확률변수 부분을 아예 다루지 않았다는 점을 제외하면 지금과 동일하다. 구 7차 교육과정 당시에 문과 고교 내신과목(고3용)으로 많이 채택되었던 선택과목이었는데, 이 과목은 당시 수학Ⅰ에 있던 확률과 통계 단원의 시즌2 취급이었다.(...) (고3 선택과목이었기에 실제 내신 시험출제는 수능 나형 대비용이랍시고 수학Ⅰ 전 부분을 내는 편이었다.) 당시 수학Ⅰ에 있던 확률과 통계 단원과 거의 중복되었기 때문. 이것 때문에 그런지 선택률은 이산수학과 마찬가지로 매우 낮은 편이었다. 참고로 그 시절 확통 교과서는 국정교과서였다.

3 대학수학능력시험 수학 영역

추가 및 수능 관련 서술 분리 바람.

4 2015 개정 교육과정

2015 개정 교육과정 고등학교 수학 (18'~ 高1)
공통	수학
일반	수학Ⅰ	수학Ⅱ	확률과 통계	미적분
진로	경제수학	기하	실용수학	수학과제탐구

2018학년도에 고등학교생이 되는 대부분의 2002년생들에게 적용되는 2015개정교육과정의 일반선택과목이다. 주로 2학년 때 배운다.

2007개정교육과정 때처럼 합의 법칙, 곱의 법칙, 수형도, 순열(직순열), 조합 등의 기초적인 경우의 수 내용이 고등학교 1학년에 배우는 수학으로 내려갔다. 2015개정교육과정 때도 한 번 더 다루기는 하지만, 주로 중복순열, 중복조합, 같은 것이 있는 순열, 원순열, 이항정리 등의 심화적인 내용이 중추적인 역할을 할 것으로 보인다.

단원명	개정 후
「순열과 조합」	▶ 합의 법칙과 곱의 법칙, 순열, 조합이 수학(2015)로 이동하고, 자연수 분할, 집합의 분할이 삭제된다.
「확률」	▶ 이전과 똑같은 상태로 유지
「통계」	▶ 기존 교육과정과 매우 흡사하며 '모비율의 추정'은 삭제

5 여담

• 순열과 조합 단원인 '조합론' 파트는 세계 수학올림피아드 기준으로 우리나라 사람들이 가장 못하는 영역이라고 한다.
• 위에 올려진 설명대로 개념이 워낙 쉽지만 문제는 헬파이어라서 현우진이 말하길 2017년도 수능 수학에서 수학 2나 이 과목만큼 두려움이 가득한 과목은 없을 것이라고 한다.
• 2018학년도 고등학교 1학년부터 적용되는 2015 개정 교육과정에서 개편 작업에 따라 '수포자'를 줄인다는 명분으로 '분할'과 '모비율'이 삭제된다. 즉, 2020학년도 수능시험까지는 유지되며, 이후에는 빠지게 된다. 아니 삭제한다고해서 수포자가 줄어들까??? 이 과목에서 그나마 제일 쉬운부분이 사라진다..
• 기존에 이수한 과목의 개념을 잘 모르면 버벅댈 수 있는 미적분에 비해 앞에서 배운 과목들과의 연관성이 낮다. 경우의 수와 확률은? 사실상 별개의 과목으로 봐도 될 정도이다. 지금까지 그런 문제가 나온 적은 없지만, 앞으로는 기존에 배운 개념을 응용한 문제가 나올 수 있다. 그 이유로 이 과목은 개인차에 따라 점수를 올려줄 수도, 점수를 오히려 깎아먹을 수도 있다.
• 교육과정이 개정될수록 비중이 늘어나는 과목으로 6차 교육과정까지만 해도 확률과 통계는 수학Ⅰ의 일부분이었으며 수능 기준으로 문과 시험에서는 2~3문제, 이과 시험에서는 겨우 1~2문제 나오는 정도의 미미한 비중이었다. 특히 당시 이과 시험에서는 확률과 통계의 최종보스급인 순열과 조합이 아예 출제되지 않았던 사태가 나기도 했다. 7차로 넘어가면서부터 야금야금 비중이 늘어나더니 2017 수능부터는 문이과 공통으로 30문제 중 10문제가 출제되는 미친 존재감을 자랑하게 되었다.
• 수학이 당연히 그렇지만 특히 이 확통이란 놈은 주관식 문제에서 그 위력이 더욱 강해진다. 객관식은 답이 안 나오면 내가 어디서 개념을 잘못 썼나 어디서 계산을 잘못했나 확인이 가능하지만 주관식에선 답이 네자리가 나오거나 확률에 숫자 곱했는데 분수가 뜨지 않는 이상 그걸 확인할 수가 없으니.
• 2016학년도 10월 고3 전국연합학력평가 수학 가형 나형모두 30번에 확통이 출제되었다.