삼각함수

(탄젠트에서 넘어옴)

1 개요

수학에서 사용하는 각에 대한 함수이다. 직각 삼각형의 한 예각 [math]\angle A[/math]의 크기에 의하여 결정되는 삼각비를 [math]\angle A[/math]의 함수로 보고 정의한 함수 및 이것과 대수함수 등과의 합성에 의해서 얻어지는 여러 함수를 말한다. 대표적인 초월함수이다.

중학교에서는 삼각비를 직각삼각형에 대해서만 정의하게 되므로 둔각에 대한 삼각함수의 정의가 이상하게 보일 수 있다(한 각이 둔각인 직각 삼각형은 존재하지 않으므로).

단위원을 이용한 정의나 급수, 미분방정식의 해(예를 들자면, 탄성력을 받는 물체의 위치가 [math]y[/math]라면, 훅의 법칙에서 [math]y''=-ky[/math]라는 식이 성립한다. 만약 [math]k=1[/math]로 두면, [math]y\left(0\right)=0[/math], [math]y'\left((0\right)=1[/math]이라면 [math]y=\sin t[/math]이다.) 등으로 삼각함수를 일반화하여 (정의역을 실수 전체 또는 복소수 전체로 확장하여)사용할 수 있게 됨을 알고 일반화한 것이다. 쓸모없는 거 너무 억지로 만드는 것 같아도 다 은근히 쓰이는 곳이 있다.주로 전문적인 영역에서 그렇다고 하는 게 맞기도 하지만 애초부터 천 명 중 한 명이 유용하게 사용할 가능성이 있다면 그것을 미리 만들어 두는 것이 수학이라고 할 수도 있다.

당신이 대학에 진학해서 수학을 계속 본다면 삼각함수를 애인처럼 옆구리에 끼고 살 확률이 은근히 높다.그리고 삼각함수는 예쁜데? 쉬운 예를 하나 들면 물결 모양의 곡선을 얻기 위해서는 삼각함수가 꼭 필요하다.하지만 고등학교에선 수포자 양산머신에 불과하지

약간 부연하면 이렇다. 기하학에서 원을 다루면서 직각이 나올 때가 많다는 점(예를 들어 반지름과 접선은 수직), 기하학적이면서 좀더 일반적인 정의가 단위원을 이용한다는 점 때문에, 기하학을 수식을 사용하여 접근하면서 원을 생각할 때 삼각함수는 빠짐없이 나오곤 한다. 그리고 위에서 언급했듯이 간단한 미분방정식에 관해서나, 함수 이론에서 삼각함수가 자주 이용된다.(삼각함수의 조합으로 임의의 주기적인 곡선을 표현한다든지. 이른바 푸리에급수이다.)

사인(sine)은 원래 아랍어 jiba에서 나온 것인데 jb라고 약칭된 것을 jaib로 착각하여 라틴어 sinus로 번역하게 된 것이 어원이다 신. 그리고 코사인은 sine의 complementary라는 뜻에서 cosine이 되었다(그래서 [math] \sin ({\pi \over 2} - \theta) = \cos \theta [/math] 이다)[1]. (많이 사용되지는 않지만) 한자로는 사인을 정현, 코사인을 여현이라 한다. tangent는 접한다(touching)는 뜻의 라틴어에서 유래하였다.

자매품으로 쌍곡함수(hyperbolic function)를 배우는데, 삼각함수가 원과 연관된다면 쌍곡 삼각함수는 쌍곡선과 연관되고, 둘 다 미분방정식, 함수 이론에서 쓰인다는 점도 비슷하고, 여러 가지 공식이나 성질도 비슷하다. 그리고 복소수를 배우면 더 연관된다. 특수 상대론에서 사용되는 기하학에서 쌍곡함수의 위상은 평범한 기하학에서 삼각함수의 위상과 비슷하다.

원래는 고등학교 1학년 과정에 삼각함수가 들어있었으나 그것이 2009 개정교육 과정 개편으로 이과용 과목인 미적분Ⅱ으로 넘어가 문과 수학에서 빠지고 말았다. 따라서 2014년 이후에 고등학교로 입학한 문과생들은 아예 삼각함수를 배우지 않게 되었다. 그러나 2015 개정 교육과정에서 삼각함수가 지수함수, 로그함수와 함께 수학Ⅰ에 포함되어 사실상 부활 예정.

2 정의

정의를 정확하게 아는 것이 중요하지

2.1 삼각비

중학교 수학 교육과정에서 정의하는 방법으로, 직각삼각형을 이용한 정의라고 한다. 다만, 직각삼각형의 특성상 정의역이 [math]\displaystyle 0 \lt A \lt {\pi \over 2} [/math][2] 로 제한되기 때문에, 정의역을 모든 실수로 정의하지 못한다는 단점이 존재한다.

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우측의 그림과 같은 직각삼각형에 대해 sine, cosine, tangent를 다음과 같이 정의한다.

  • [math]\displaystyle \sin A = {a \over h} [/math]
  • [math]\displaystyle \cos A = {b \over h} [/math]
  • [math]\displaystyle \tan A = {a \over b} [/math]

각 삼각비의 진로를 각각 s, c, t의 필기체처럼 그려놓고 외우는 암기법이 가장 성행한다 교과서에도 써져있다
영미권 학생들은 sin cos tan을 각각 SOH CAH TOA, sine = opposite over hypotenuse, cosine = adjasent over hypotenuse, tangent = opposite over adjacent 이렇게 외운다. 한국어의 OO 분의 OO와 영어의 OO over OO 어순이 달라서 그렇다. 쏘 카 토아 라고 외우면 된다[3]

그리고 이 함수들의 역수로서 cosecant, secant, cotangent 함수를 다음과 같이 정의한다.

  • [math]\displaystyle \csc A = {1 \over \sin A} = {h \over a} [/math]
  • [math]\displaystyle \sec A = {1 \over \cos A} = {h \over b} [/math]
  • [math]\displaystyle \cot A = {1 \over \tan A} = {b \over a} [/math]

2.2 단위원을 이용한 정의

2009 개정 교육과정 고등학교 미적분Ⅱ 과정[4]에서 정의하는 방법으로, 평면에 [math]O[/math]를 원점으로 하는 좌표평면에 대해 이 평면 위의 점의 좌표를 [math]\left(x,y\right)[/math]로 표시하고, x-축의 양의 방향에 대하여 각 [math]\theta[/math][5]를 만드는 사선 [math]OP[/math]를 그어 [math]O[/math]를 중심으로 하는 단위원과의 [math]P[/math]교점을 P라 하면 x좌표를 [math]\cos \theta[/math], y좌표를 [math]\sin \theta[/math], [math]OP[/math]의 기울기를 [math]\tan \theta[/math]로 정의한다.

  • [math]\displaystyle \tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}[/math]
  • [math]\displaystyle \csc\theta=\frac{1}{\sin\theta}[/math]
  • [math]\displaystyle \sec\theta=\frac{1}{\cos\theta}[/math]
  • [math]\displaystyle \cot\theta=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}[/math]

흔히 말하는 얼싸안고가 단위원 정의에서 생각해보면 당연한 것이다.[6] 단위원에서 x좌표가 양수인 부분이 1,4사분면, y좌표가 양수인 부분이 1,2사분면, 기울기가 양수가 되려면 1,3사분면을 지나야 한다.

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2.3 무한급수를 이용한 정의

  • [math]{\displaystyle \sin x=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\frac{x^{7}}{7!}+\cdots}[/math]
  • [math]{\displaystyle \cos x=1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\frac{x^{6}}{6!}+\cdots}[/math]

위와 같이 정의하고 tangent와 기타 함수들은 다른 정의와 마찬가지로 정의한다. x에 아무런 수를 넣어도 위의 무한합이 무한대로 발산하지 않는다는 것이 보장되어야 위의 정의가 유효할 텐데, 그 사실은 이미 수학적으로 보장되어 있으니까 마음껏 쓰면 된다.[7] 참고로 2016년 10월 실시한 교육청 모의고사에 이걸 써야되는 문제가 나왔다.

2.4 복소평면을 이용한 정의

오일러의 공식에 의해 [math]{\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}[/math]([math]i[/math]는 허수단위)이므로 이를 정리하면

[math]{\displaystyle \cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}}[/math]
[math]{\displaystyle \sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}[/math]
과 같은 함수가 유도된다. 그래서 [math]x[/math]에 복소수가 들어가게 되면 후술할 쌍곡함수로 바뀌게 된다.

3 주기

실함수 [math]f[/math]에 대하여 적당한 상수 [math]k\neq 0[/math]을 잡을 때, [math]f[/math]의 정의역에 속하는 임의의 [math]x[/math]에 대하여 [math]f\left(x\text+k\right)=f\left(x\right)[/math]가 성립하면, [math]f[/math]를 주기함수라 하고, [math]k[/math]를 [math]f[/math]의 주기라 한다. 양인 최소주기는 기본주기라고 한다. 삼각함수는 모두 주기함수이며, [math]\tan \theta[/math], [math]\cot \theta[/math]를 제외하면 기본주기는 [math]2\pi[/math]이다. [math]\tan \theta[/math], [math]\cot \theta[/math]의 기본주기는 [math]\pi[/math]이다.

한편, [math]\tan[/math], [math]\cot[/math], [math]\csc[/math], [math]\sec[/math] 함수는 특정 각도에서 [math]0[/math]으로 나누는 것처럼 되는 상황(점근선)이 생기는데[8] 점근선의 주기는 [math]\tan[/math]과 [math]\cot[/math]의 경우 [math]\displaystyle \frac{\left(2n-1\right)}{2}\pi[/math], [math]\sec[/math]와 [math]\csc[/math]의 경우는 [math]\pi[/math]마다 점근선이 생긴다.

4 극좌표

좌표평면 위에 원점 [math]O[/math]와 다른 점 [math]P[/math]를 취하고 벡터 [math]OP[/math]의 길이를 [math]r[/math], [math]OP[/math]가 x축의 방향에 대하여 만드는 각을 [math]\theta[/math]라고 할 때, 실수의 짝 [math]\left(r,\theta\right)[/math]를 점 [math]P[/math]의 극좌표(Polar Coordinate)라고 한다. 같은 점 [math]P[/math]의 직교좌표를 [math]\left(x,y\right)[/math]라면 [math]x=r\cos\theta[/math], [math]y=r \sin \theta[/math]이다. 원점의 극좌표는 [math]\left(0,\theta\right)[/math]([math]\theta[/math]는 임의의 각)라고 한다.

극좌표에 차원 하나를 더해서 z축 방향으로 잡아 늘리면 원통좌표계(Cylindrical Coordinate)가 된다. ([math]\left(x, y, z\right)[/math] => [math]\left(r,\theta,z\right)[/math], [math]x=r \cos\theta[/math], [math]y=r \sin\theta[/math], [math]z=z[/math].) 직교좌표를 극좌표로 만드는 것 처럼 극좌표에서 높이를 각도로 정의한 것은 구좌표계(Spherical Coordinate)가 된다.

수직으로 보기 좋게 떨어지는 직교좌표를 굳이 극좌표나 구좌표 같은 또다른 좌표계로 바꾸는 이유는 회전 운동이나 모든 방향으로 대칭적인 움직임/변화 등을 기술할 때 직교좌표를 쓰면 조금만 복잡해져도 기술하기가 지랄맞기 때문이다. 예를 든다면 지구 표면 근처에서의 위치를 직교좌표 3개로 쓰는 것보다는 위도, 경도, 고도로 표현하는 것이 편리하다는 것이 있다.

슬슬 "좌표"란 단어의 의미가 이정도로 붕괴하면 임의곡선모양의 축이라거나 모든 성분=0인 원점이 없고 기준점만 있는 좌표계도 있다니 곤란하다

5 거듭제곱

삼각함수는 일반적인 함수와는 달리, 지수가 동일함수 합성이 아닌, 결과값의 거듭제곱으로 쓰이므로 주의해야 한다.
[math]\sin^{2} x = (\sin x)^{2} = \sin x \sin x \neq \sin x \circ \sin x = \sin (\sin x)[/math]

6 삼각함수의 여러 공식

삼각함수에 관한 거지같은공식은 많으나 특히 중요한 것은 [math]\cos \theta[/math]와 [math]\sin \theta[/math]에 관한 공식들이다.[9] [math]i[/math]는 허수단위. [math]\exp x = e^x[/math] 이다.

  • [math]\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta = 1[/math] [10]
  • [math]\displaystyle \sin (\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta [/math]
  • [math]\cos (\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta[/math] (삼각함수의 덧셈정리)[11]
    • [math] \sin (\alpha \pm i \beta) = \cos \alpha \cosh \beta \mp i \sin \alpha \sinh \beta[/math]
  • [math] \exp i \theta = \cos \theta + i \sin \theta [/math] (오일러의 공식)
    • [math] \exp i \pi + 1 = 0[/math] (오일러의 등식)
    • [math] (\exp i \theta)^{n} = (\cos \theta + i \sin \theta)^{n} = \cos n \theta + i \sin n \theta[/math] (드무아브르의 정리)
  • [math]\displaystyle \sin \alpha \pm \sin \beta = 2 \sin {\alpha \pm \beta \over 2} \cos {\alpha \mp \beta \over 2}[/math]
  • [math]\displaystyle \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos {\alpha + \beta \over 2} \cos {\alpha - \beta \over 2}[/math]
  • [math]\displaystyle \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin {\alpha + \beta \over 2} \sin {\alpha - \beta \over 2}[/math] (삼각함수의 합차공식)
  • [math]\displaystyle \sin \alpha \cos \beta = {\sin (\alpha + \beta) + \sin (\alpha - \beta) \over 2}[/math]
  • [math]\displaystyle \cos \alpha \sin \beta = {\sin (\alpha + \beta) - \sin (\alpha - \beta) \over 2}[/math]
  • [math]\displaystyle \cos \alpha \cos \beta = {\cos (\alpha + \beta) + \cos (\alpha - \beta) \over 2}[/math]
  • [math]\displaystyle \sin \alpha \sin \beta = {-\cos (\alpha + \beta) + \cos (\alpha - \beta) \over 2}[/math] (삼각함수의 합차공식의 역)

7 미분

  • [math]\displaystyle {\frac{d}{dx}\sin x=\cos x}[/math]
  • [math]\displaystyle {\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x}[/math]
  • [math]\displaystyle {\frac{d}{dx}\tan x=\sec^{2}x}[/math]
  • [math]\displaystyle {\frac{d}{dx}\sec x=\sec x \tan x}[/math]
  • [math]\displaystyle {\frac{d}{dx}\cot x=-\csc^{2}x}[/math]
  • [math]\displaystyle {\frac{d}{dx}\csc x=-\csc x \cot x}[/math]
  • [math]\displaystyle {\frac{d}{dx}\arcsin x}[/math]=[math]\displaystyle {{1 \over \sqrt{1-x^{2}}}}[/math]
  • [math]\displaystyle {\frac{d}{dx}\arccos x}[/math]=[math]\displaystyle{-{1 \over \sqrt{1-x^{2}}}}[/math]
  • [math]\displaystyle {\frac{d}{dx}\arctan x}[/math]=[math]\displaystyle{{1 \over {1+x^{2}}}}[/math]
  • [math]\displaystyle {\frac{d}{dx}\text{arccsc}\; x}[/math]=[math]\displaystyle{-{1 \over |x|\sqrt{x^{2}-1}}}[/math]
  • [math]\displaystyle {\frac{d}{dx}\text{arcsec}\; x}[/math]=[math]\displaystyle{{1 \over |x|\sqrt{x^{2}-1}}}[/math]
  • [math]\displaystyle {\frac{d}{dx}\text{arccot}\; x}[/math]=[math]\displaystyle{-{1 \over {1+x^{2}}}}[/math]

7.1 삼각함수 미분의 육각형

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마주보는 꼭지점이 서로
역수관계인 것이 특징.

위 삼각함수 미분 공식을 쉽게 주입시키기외우기 위해서 고안된 육각형이다. 마주보는 꼭지점이 서로 역수관계이다. ([math]\csc x=1/\sin x[/math], [math]\sec x=1/\cos x[/math], [math]\cot x=1/\tan x[/math]) 가운데에 그어진 선은 +,- 경계선이다.

이 육각형을 사용하려면 먼저 미분하려는 함수가 속해 있는 +,- 부호를 확인한다. 그리고 미분하려는 함수에서 시작하는 화살표로 가는 함수를 모두 곱한다. (이때 이중선은 제곱하라는 뜻이다.) 이 과정을 그림으로 예를 들어 보이면 다음과 같다.

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cos 미분tan 미분csc 미분
cos이 속한 부호 : -tan가 속한 부호 : +csc가 속한 부호 : -
화살표 : sin화살표 : sec, sec화살표 : csc, cot

8 적분

  • [math] \displaystyle {\int \sin x \ dx = -\cos x + C} [/math]
  • [math] \displaystyle {\int \cos x \ dx = \sin x + C} [/math]
  • [math] \displaystyle {\int \tan x \ dx = -\ln \left\vert \cos x \right\vert + C} [/math]
  • [math] \displaystyle {\int \sec x \ dx = \ln \left\vert \sec x + \tan x \right\vert + C} [/math]
  • [math] \displaystyle {\int \csc x \ dx = -\ln \left\vert \csc x + \cot x \right\vert + C} [/math]
  • [math] \displaystyle {\int \cot x \ dx = \ln \left\vert \sin x \right\vert + C} [/math]

참고로, 교과서에서는 삼각함수의 부정적분을 위 미분 공식을 거꾸로 한 형태만 가르친다. 즉, 사인과 코사인의 적분을 제외하고는 교과서에서는 찾아볼 수 없는 공식들이다. 하지만 나머지 네 개 모두 치환적분을 이용하여 쉽게 증명할 수 있으니 미적분 II를 공부한다면 한 번 해보자. 물론 문제로도 자주 나온다.

8.1 다양한 적분 공식

기본적인 여섯 개의 삼각함수 적분법은 위와 같지만, 적분에서는 미분에서의 Chain Rule과 같은 사기적인 정리가 존재하지 않기 때문에, 삼각함수를 적분하는 수많은 공식이 존재한다. 물론 그래봤자 계산기가 다 해주겠지 더 다양한 공식들을 아는 사람들은 추가바람.

  • Reduction Formula

하나의 삼각함수가 여러 번 거듭제곱된 식을 적분하는 공식.[13]

  • [math] \displaystyle {\int \sin^n x \ dx = -\frac{\cos x \sin^{n-1} x}{n} + \frac{n-1}{n} \int \sin^{n-2} x \ dx } [/math]
  • [math] \displaystyle {\int \cos^n x \ dx = \frac{\sin x \cos^{n-1} x}{n} + \frac{n-1}{n} \int \cos^{n-2} x \ dx } [/math]
  • [math] \displaystyle {\int \tan^n x \ dx = \frac{\tan^{n-1} x}{n-1} - \int \tan^{n-2} x \ dx} [/math]
  • [math] \displaystyle {\int \sec^n x \ dx = \frac{\sin x \sec^{n-1} x}{n-1} + \frac{n-2}{n-1} \int \sec^{n-2} x \ dx } [/math]
  • [math] \displaystyle {\int \csc^n x \ dx = -\frac{\cos x \csc^{n-1} x}{n-1} + \frac{n-2}{n-1} \int \csc^{n-2} x \ dx } [/math]
  • [math] \displaystyle {\int \cot^n x \ dx = -\frac{\cot^{n-1} x}{n-1} - \int \cot^{n-2} x \ dx } [/math]

부분적분 공식을 이용하면 모두 증명 가능한 공식들이다. 관심있는 위키러들이라면 증명해보는 것도 괜찮을 듯.

  • 사인과 코사인의 정적분 공식

사인함수와 코사인함수를 거듭제곱한 꼴의(자연수 한정) 식을 0부터 [math] \displaystyle {\frac{\pi}{2}} [/math]까지 정적분하는 공식. 계산량을 상당히 줄여준다. 학생들에게 도움이 될.. 지도? 이 식은 초구의 초부피를 초구면 좌표계 형식으로 구하는 방법에도 효과적으로 쓰인다

  • [math] \displaystyle {\int^{\frac{\pi}{2}}_{0} \sin^n x \ dx = \frac{2 \times 4 \times \cdot \cdot \cdot \times (n-1)}{1 \times 3 \times \cdot \cdot \cdot \times n}} [/math] (단, n은 홀수)
  • [math] \displaystyle {\int^{\frac{\pi}{2}}_{0} \sin^n x \ dx = \frac{1 \times 3 \times \cdot \cdot \cdot \times (n-1)}{2 \times 4 \times \cdot \cdot \cdot \times n}} \times \frac{\pi}{2} [/math] (단, n은 짝수)

위 두 식은 코사인의 거듭제곱에도 완벽히 동일하게 적용된다.

9 역삼각함수

이 문단은 역삼각함수 · 아크사인 · 아크코사인 · 아크탄젠트(으)로 검색해도 들어올 수 있습니다.

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[math]\cos \theta[/math]의 치역은 구간 [math]\left[-1,1\right][/math]인데 임의의 [math]x\in\left[-1,1\right][/math]에 대하여 [math]\cos \theta=x[/math]가 되는 [math]\theta[/math] 값은 무수히 많다. 그러나 [math]\theta[/math]의 범위를 [math]\left[0,\pi\right][/math]로 제한하면, [math]\cos \theta=x[/math]을 만족하는 [math]\theta[/math]는 꼭 하나로 정해진다. 이 [math]\theta[/math]를 [math]\theta=\arccos x=\cos^{-1}x[/math]로 나타내고 함수 [math]x\longmapsto \theta[/math]를 역코사인함수라 한다. 역사인함수와 역탄젠트함수도 마찬가지로 정의된다.

10 쌍곡선함수

쌍곡선함수에는 [math]\sinh[/math], [math]\cosh[/math], [math]\tanh[/math], [math]\text{csch}[/math], [math]\text{sech}[/math], [math]\coth[/math]가 있다. 뒤에 붙은 h는 hyperbolic의 약자이다. [math]\sinh[/math], [math]\cosh[/math], [math]\tanh[/math]의 정의는 다음과 같다.

[math]{\displaystyle \cosh x=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}}[/math]
[math]{\displaystyle \sinh x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}}[/math]
[math]{\displaystyle \tanh x=\frac{\sinh x}{\cosh x}}[/math]

[math]\sinh[/math]는 [math]\sin[/math]처럼 기함수(원점대칭)이며 [math]\cosh[/math]는 [math]\cos[/math]처럼 우함수(y축대칭)이다. [math]\text{csch}[/math], [math]\text{sech}[/math], [math]\coth[/math]도 삼각함수처럼 각각 [math]\sinh[/math], [math]\cosh[/math], [math]\tanh[/math]의 역수이다.

보이다시피 쌍곡선함수는 삼각함수는 아니고 지수함수로 만들어진 함수이다. 하지만 삼각함수와 상당히 유사한 성질을 지닌다. 삼각함수의 이복동생이다 일례로, 쌍곡선함수의 미분을 보면 삼각함수와 비슷하다는 점을 알 수 있다.[14]

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쌍곡선함수의 미분쌍곡선함수 미분의 육각형

때문에 쌍곡선함수 미분의 육각형도 위 항목의 삼각함수 미분의 육각형과 매우 흡사하다. 유일한 차이점은 삼각함수 미분의 육각형에서 +,- 경계선이 시계방향으로 60도 기울었다는 점이다.
생각보다 고등학교 교육과정에서 많이 묻는 함수이다. 미적분2, 기하와 벡터에서 자주 볼 수 있다.

11 역쌍곡선함수

위 함수들의 역함수들이다.

12 야코비 타원함수

카를 구스타프 야코프 야코비가 삼각함수를 기반으로 만든 2변수 함수로, 다음과 같이 정의한다.
[math]\displaystyle u = \int_{0}^{\phi} {d \theta \over \sqrt{1 - m \sin^2 \theta}},[/math]
[math]\displaystyle \text{sn}(u;m) = \sin \phi,[/math](야코비 사인)
[math]\displaystyle \text{cn}(u;m) = \cos \phi,[/math](야코비 코사인)
[math]\displaystyle \text{dn}(u;m) = \sqrt{1 - m^2 \sin^2 \theta}[/math](야코비 탄젠트)
여기서 m = 0일 때 야코비 타원함수는 삼각함수가 되고, m = 1에서 쌍곡선 함수가 되는 특징이 있다.
이게 무슨 소리야[15]

이 함수는 이름대로 타원을 다룰 때 사용되며, u가 0인 경우 삼각함수로, m이 1인 경우 쌍곡함수로 변한다.

13 삼각방정식과 부등식

삼각함수의 그래프를 이용하여 정해진 값에 해당되는 미지수의 값을 구하면 된다. 사인과 코사인이 같이 주어지는 경우 공식을 이용해 한 종류의 삼각함수로 고쳐야 하는데 그게 상당히 복잡하다.

14 참고

  1. ↑ 오히려 사인과 코사인을 삼각비로 정의한 다음에 사인과 코사인 사이에는 이러한 관계가 있다는 식으로 표현을 많이 하지만, 이 식에서 코사인이 태어나게 되었다.
  2. ↑ 90˚
  3. ↑ 아닌 게 아니라 이 별것 아닌 것 같지만 도저히 적응 안 되는 어순 때문에 한국인들은(사실 일본나 다른 나라도 많이 겪는 현상이긴 하다) khan academy나 OCW 같은데서 영미권 수학강의를 처음 들으면 본인의 영어나 수학 실력에 관계없이 뭐라 표현할 수 없는 아스트랄함을 느끼게 된다. 눈높이 구몬 할 때부터 분모 먼저 쓰고 분자 쓰라고 배웠건만 양놈들은 왜 분자 먼저 쓰고 분모를 쓴단 말인가! 단순히 분수 읽고 쓰는 것을 넘어 미분적분, 물리 용어 같은 데서 나비효과가 벌어지는데, 언어가 사소한 사고방식에도 영향을 끼치는 사례라 할 수 있다. 이런 현상은 의외로 대학 고학년생들도 겪는 문제로, 한국에서 아무리 영어 원서를 독파해도 이런저런 식을 '영어로' 어떻게 읽는지는 유학을 가거나 외국인 교수에게 배우지 않고는 모르는 경우도 많다.
  4. ↑ 2018년 고교 입학생(2015 개정 교육과정)의 경우 수학Ⅰ(2015)에서 다룬다. 시기가 맞춰지면 수정 바람.
  5. ↑ 여기서 [math]\theta[/math]의 단위는 일반적으로 사용하는 ˚도가 아니라 rad 라디안이다. 1rad의 정의는 부채꼴의 호와 반지름이 같을 때의 내각이다.
  6. ↑ "오스타킹", 올산타크로스, 올스타크래프트 등의 암기 방법도 있다.
  7. ↑ 물론 수학을 전공한다면 어떻게 보장되는지를 알아야 할 것이다. 사실 대학 1학년 때 테일러 급수만 배워도 다 알지만.
  8. ↑ [math]0[/math]으로 나누는 상황이 아니다. 상식적인 사칙연산을 유지한다면 [math]0[/math]으로 나누는 것은 불가능해야 하고, [math]0[/math]으로 나누는 것을 생각한다면 그것은 상식적인 사칙연산이 아닌 새로운 연산을 도입한다는 의미가 된다. 그런 게 유용한 상황이 없지는... 않겠지만 흔히 있는 경우는 아니다. 대체로 기하학적인 연산을 새로 도입해서 활용하려고 할 때 [math]0[/math]으로 나누는 것을 도입해 보곤 한다. 이 때의 연산은 사칙연산과는 약간 다른 연산.
  9. ↑ 아마 학창시절에 학원이나 학교에서 '사코코사'등의 명칭으로 외운 사람들이 많을 것이다.
  10. ↑ 증명은 피타고라스의 정리와 삼각함수의 정의로부터 바로.
  11. ↑ 삼각함수의 합차 공식을 포함한 여러 공식이 이로부터 유도되기에, 공식들을 기억하려고 한다면 적어도 얘는 기억하자.
  12. ↑ 참고로 [math]\cos 1=0.54\ldots[/math], [math]\cos 4=-0.6\ldots[/math]라 원래 맞는 말이긴 하다.
  13. ↑ 사실 Reduction Formula는 삼각함수가 아니더라도 각종 함수의 거듭제곱 형태를 적분하는 모든 공식을 포함한다.
  14. ↑ [math]\cosh x[/math]를 미분하면 [math]\sinh x[/math]가 나온다. 일반 삼각함수인 [math]\cos x[/math]를 미분하면 [math]-\sin x[/math]가 나오는과 비교하면 마이너스가 붙지 않는 차이가 있다. 이 외에도 [math]sech x[/math]를 미분하면 [math]-\sech x tanh x[/math]로 나오는데, 이것 또한 일반 삼각함수에선 [math]\sec x[/math]를 미분시 [math]\sec x tan x[/math]가 나온다. 역시 마이너스가 없는데 붙었다. 이 외에 다른 4가지는 모두 일반 삼각함수와 모두 같은 결과가 나온다.
  15. ↑ 왜 이렇게까지 하냐면 타원에 관한 함수는 대부분 부정적분을 찾을 수가 없기 때문이다(타원의 정확한 둘레 역시 알 수 없다)