톰슨 램프

철학자 제임스 톰슨의 이름을 딴 패러독스의 하나. 제논의 역설의 아류작이다.

초부하(超負荷) 문제라고도 한다.

톰슨의 램프는 1분 동안 켜져 있다가 1/2분 동안은 꺼지고, 다시 그 다음 1/4분 동안은 켜지고… 하는 식으로 깜박인다. 이 과정은 2분이 지나면 끝나는데, 과연 이 시간이 지났을 때 램프는 켜져 있을까? 꺼져 있을까?

1+(1/2)+(1/4)+...는 무한급수의 합을 계산해보면(고등학교 수학의 기억을 떠올려볼 것.) 2가 되고, 그 와중에 램프는 무한번 꺼졌다 켜졌다 해야될 것이다.

비슷한 문제로 매번 이전보다 2배의 속도로 원주율의 자릿수를 말하는 기계(pi machine)이 있다.(이 역시 맨 처음 자릿수를 말하는데 걸린 시간의 2배만 지나면 이 기계는 원주율의 모든 자릿수를 말하게 될거다.)

"실제로 이런 램프는 불가능하잖아?"라는 반론이 있을 수 있겠지만 논리적으로는 아무 문제가 없기 때문에 골치가 아파지는 문제.

이 역설에 대한 답은 역설적이게도 "실제로 이런 램프는 불가능하다."라는 것.(...) 만약 전기를 끊고 연결할 스위치가 있다면 이 스위치는 2분에 가까워지면 광속을 넘을것이고 이는 물리법칙상 불가능하다. 이외에 어떤 방식으로도 이를 현실세계에 구현할 수 없다.

뭔가 핵심을 벗어난 답안같지만 이 것은 '슈퍼태스크(supertask)'라고 해서 논리학적으로 생각해볼만한 문제다. 구현하는데 무한한 노력이 드는 거라면 그건 구현할 수 없는 것이란 뜻. 뭔가 TYPE-MOON/세계관에서 마법의 정의같다.(...)

수학에서는 증명론에서 (사실 수학이 아니라 메타수학이지만) 유한 과정으로 모든 증명이 가능한가라는 질문과 조금 관련은 있다. NP 문제와도 약간 관련은 있다. 역시 큰 관련은 없다.

사실 톰슨 램프는 "가장 큰 자연수는 짝수인가 홀수인가?"와 논리적으로 똑같은 문제이다. 이게 말이 안된다는건 누구나 다 알지만 적절한 포장을 통해 그럴듯하게 만들어 놓은것 뿐.