프랙털 이론

1 정의

프랙털은 수학, 기하학 연구 분야 중 하나로서, 자기유사성을 갖는 기하학적 구조를 뜻한다. 자기 닮음 도형이라고도 표현한다. 쉽게 말하면 어떤 도형의 작은 일부를 확대해 봤을 때 그 도형의 전체 모습이 똑같이 반복되는 도형에 관한 연구이다.

2 역사 및 의의

프랙털(Fractal)이라는 용어는 1975년 브누아 만델브로트(Benoit Mandelbrot)의 The Fractal Geometry of Nature에서 처음으로 이 단어를 사용하면서 명명되었다. 다만 프랙털의 개념 자체는 이전부터 인지되고 있었다. 그 어원은 라틴어 frangere에서 유래 되었으며 그 뜻은 "부수기 위한"이다.^[1]

프랙털 이론은 1975년 만델브로 집합(최초로 발견된 프랙털 도형)을 연구하면서 시작되었으며, 그 이후로 많은 사례들이 발견되었다. 그 후 자연계가 통계적인 프랙털^[2] 모양을 하고 있다는 사실이 밝혀지면서 카오스 이론과 접목시켜서 자연을 모델링 하는데에 굉장히 유용하게 사용된다. ~~학교 수학 과제 주제로도 유용하다~~

고사리의 잎 윤곽이나 나무가 가지를 뻗는 양상, 리아스식 해안선의 모양 등 많은 것들이 자기유사성을 가지고 있다. 심지어 주식의 변동곡선도 하루 동안의 변화, 한 주 사이의 변화, 한 달, 1년 사이의 변화가 비슷한 형태로 나타나는 자기유사성을 띠고 있으며 프랙털 공간은 정수 차원이 아닌 소수 차원을 갖는다.

이러한 프랙털의 자기복제적인 특징들은 아주 간단한 법칙도 되먹임하면 복잡한 양상을 이끌어낼 수 있음을 보여주고 있다. 이것은 전술한 대로 혼돈 이론을 묘사하는 도구 중 하나일 뿐 아니라, 진화론상의 빈틈을 메꿔줄 도구로 사용될 수도 있다. 즉, 생물이 나타내는 복잡한 구조가 반드시 기적적인 우연을 필요로 하는 것은 아닐 수 있다는 주장이다.

파일:Attachment/프랙탈~1.gif
<프랙털 항구>

컴퓨터상으로 몇 가지 간단한 재귀함수를 통해 구현할 수 있다. 예를 들면 이런 것.

$Animated_fractal_mountain.gif$
<프랙털 이론을 응용하여 산의 모습을 만드는 과정>

어디서 많이 보던 형상이 아닌가? 바로 3D 모델링 방법 중 그 유명한 테셀레이션이다. 기술발전이 미미하던 과거에는 프리렌더링용 기법이었지만 다이렉트X11 이후 리얼타임으로도 구현이 되어 간단한 도형가지고도 복잡한 모델을 구현할 수 있게 되었다.

프랙털 도형의 면적을 구하는 문제가 매년 대학수학능력시험에 출제되고 있으며, 이 경우 무한등비급수의 성질을 이용해 계산하는 문제로 나온다.

3 차원

프랙털 이론에서는 차원이라는 단어를 약간 다른 의미로 쓴다. ~~쉽게 얘기하자면 손오공의 분신술을 생각하자~~

프랙털 이론에서 말하는 차원은 자기복제를 하는데 필요한 도형의 숫자로 정의된다.

수식(...)을 동원하면, 어느 도형의 길이를 x배 크게 만들었을 때 그 도형의 면적(혹은 부피)이 n배 증가한다고 가정하면, [math]log_x n[/math] 이 그 도형의 차원인 것이다.^[3] 예를 들면, 정사각형을 모아서 길이가 두 배인 정사각형을 만들면 정사각형의 면적이 4배로 증가한다. 고로 정사각형의 차원을 수식으로 구하려면 4 = 2의 d제곱 -> 따라서 2차원이라고 할 수 있다.

몇 가지 예를 더 들면,

정사각형의 길이를 3배로 만들면 면적은 9배가 되기 때문에 9 = 3의 d제곱 -> 역시 2차원 정육면체의 한 변의 길이를 2배 크게 만들면 부피는 8배가 되기 때문에 8 = 2의 d제곱 -> d=3이므로 3차원 직선을 5배 크게(=길게) 만들면 길이는 5배가 되기 때문에 5 = 5의 d제곱 -> 1차원

...이와 같이 정의된다.

이 정의로는 정수가 아닌 소숫점 차원이 존재할 수 있으며, 위 그림이 그 예이다. 이 도형은 정삼각형을 정삼각형 4개로 나누고, 중간 부분을 제거한 후 또 새로 생긴 작은 정삼각형을 나누고 중간 부분을 제거하는 것을 무한히 반복한 도형으로 '시에르핀스키의 삼각형(시어핀스키 삼각형)' 이라 한다.

이 도형의 길이를 2배로 만들면 위와 같이 3개의 기존 도형으로 이루어진다.(빨간색, 노란색, 파란색의 3개.)

따라서 이 도형의 차원은 log3 / log2 = 대략 1.585차원(...) 이 된다.

또한 이 시에르핀스키의 삼각형은 어느 부분을 무한히 확대하더라도 처음 모습과 같은 도형이 등장하며, 외곽선의 길이는 무한하지만 면적은 유한하기 때문에 기존의 기하학 이론으로는 설명하기 힘든 특성이 있다. 이러한 것을 설명하기 위해 등장한 것이 바로 이 프랙털 이론이다.