√2

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나무위키수학상수
01iπe√2√3√5φγB2, B4Gδ, α

목차


제곱하면 2가 되는 수. 무리수이다.

한변의 길이가 1인 정사각형의 대각선 길이와 같으며, x2 = 2 라는 방정식의 한 근이다. 피타고라스의 정리 참고.

√2 의 소수점 아래 50자리까지는 1.4142135623 7309504880 1688724209 6980785696 7187537694 ... 이다.
근사값으로 99/70 이 제시되는데, 소수점 4자리까지 맞을 정도로 유사한 값이다.

유클리드(=에우클레이데스) 는 귀류법을 이용하여 √2 가 유리수가 아니라는 것을 증명했다. √2 가 유리수라면 서로소인 정수 a,b 를 이용해서 √2 = a/b 로 표현할 수 있어야 하는데, 양변을 제곱하여 정리하다 보면 그런 수 a,b 가 존재할 수 없다는 결론이 나온다. 즉, 가정이 잘못되었으므로 √2 는 유리수가 아니다. 엄밀한 증명은 다음과 같다.

실수의 부분집합[math]S=\left\{x\in \mathbb{Q} | x^2\lt2\right\}[/math]를 정의하자. 그러면[math]S[/math]는 공집합이 아니고 위로 유계이므로 상한[math]c[/math]가 존재한다. 이때[math]0\ltc\notin S[/math]이므로[math]c^2\geq 2[/math]이다. 그런데[math]c^2\gt2[/math]라고 하면[math]\left(c-\varepsilon\right)^2\gt2[/math]인 양수[math]\varepsilon[/math]이 존재한다. 그러면 상한의 정의에 의해[math]c-\varepsilon[/math][math]S[/math]의 상계가 아니므로[math]c-\varepsilon\ltx[/math]인 양의 유리수[math]x\in S[/math]가 존재한다. 여기서[math]2\lt\left(c-\varepsilon\right)^2\ltx^2[/math]가 되어 모순이다. 따라서[math]c^2=2[/math]이고,[math]\sqrt{2}[/math]가 실수임을 알 수 있다.

[math]\sqrt{2}[/math]가 유리수라고 가정하자. 그럼[math]\displaystyle \sqrt{2} = \frac{a}{b}[/math]를 만족하는 자연수[math]a, b[/math]가 무수히 많이 존재한다. 집합[math]A[/math][math]\displaystyle A = \left\{b \in \mathbb{N} \, | \, \exists a \in \mathbb{Z}: \sqrt{2} = \frac{a}{b} \right\}[/math]로 정의하자. 자연수의 well-ordering 원리에 의해 집합[math]A[/math]에는 가장 작은 원소[math]b_0[/math]가 존재한다. 그럼 적당한 정수[math]a_0[/math]에 대해[math]\displaystyle \sqrt{2} = \frac{a_0}{b_0}[/math]이다. 양변을 제곱하여 정리하면[math]2b_0^2 = a_0^2[/math]이다. 여기서 만일[math]a_0[/math]가 홀수라면 좌변은 짝수이고 우변은 홀수이므로 모순. 따라서[math]a_0[/math]도 짝수여야 한다. 적당한 정수[math]c[/math]에 대해[math]a_0 = 2c[/math]라 하고 원래 식에 대입하면[math]b_0^2 = 2c^2[/math]이고 따라서[math]b_0[/math]도 짝수이다. 이제 적당한 자연수[math]n[/math]에 대해서[math]b_0 = 2n[/math]라 하면[math]\displaystyle \sqrt{2} =\frac{a_0}{b_0} = \frac{c}{n}[/math]이다. 그런데[math]n[/math][math]A[/math]의 원소이고[math]b_0[/math]보다 작다. 이는[math]b_0[/math]가 가장 작은 원소라는 가정에 모순된다. 따라서[math]\sqrt{2}[/math]는 유리수가 아니다.

유클리드 보다 시대적으로 앞선 피타고라스 시대에도 √2 가 유리수가 아니라는 것은 알고 있었을 것으로 추측하지만, 별다른 기록이 남아 있지는 않다. 오히려 그런 수의 존재를 부정했다는 기록은 남아 있다. 이와는 다르게 유클리드의 증명은 그의 저서 원론에 나와 있다.