AP 미적분학

AP Calculus AB/BC.

미국 칼리지 보드에서 주관하는 AP 과목 겸 시험이다. AB와 BC 두개의 레벨로 나뉘어져 있으며, BC 시험을 통과하면 보통 AB도 합격한 것으로 간주한다. 둘 다 극한 개념에서 시작해 AB는 보통 적분법과 극좌표계까지 다루고, BC는 수열과 고급 미적분 기술까지 가르치고 있다. AB 의 경우는 그렇게 어렵지는 않다, 수학의 정석 미적분1을 할 줄 알고, 그걸 영문으로 이해 가능하다면 문과생들에게도 5점은 그다지 어렵지 않다. 하지만 문제는 BC!! 많은 학생들 / 학원들이 수학의 정석 미적분2를 마스터하면 BC 5점은 껌으로 아는데, 전혀 아니다. 물론 이것은 어디까지나 BC 문제를 전부 맞추고 싶은 학생들에게 해당되는 부분으로, 고난이도 주관식 문제는 그 중 뒷부분의 1~2개 정도다. 자신의 학교에서 AP를 가르치지 않는데 AP 미적분학을 볼 예정이라면 문제 스타일도 익힐 겸 칼리지보드에서 배포하는 주관식 문제를 풀어보자. 착실하게 미적분2를 공부한 이과생의 경우 고난이도 문제를 제외하면 유형 정도만 알면 된다.

BC를 볼려는 학생은 정석+로피탈의 정리+테일러 급수+미분방정식+영어 스킬++공학계산기+자연상수의 성질 등등을 하면 된다. 불가능한 수준은 전혀 아니므로 수학에 자신 있는 학생은 도전해볼 것 근데 수학의 정석 미적분2를 보면 로피탈의 정리는 나와있다

일단 대학 과정이기 때문에 난이도가 만만치는 않다. 함수에 대한 폭넓은 이해가 필수적이기 때문에 Precal이나 삼각함수 등 이전과정을 제대로 못 이수하고 올라온 학생들은 상당히 어려움을 겪는다.그래서 선생이 중간중간 계속 복습을 해야 한다 복습하면 잘하는 학문중 하나 그나마 단순한 미분법은 외우면 되지만 응용과정으로 들어가면 망했어요가 절로 나오게 된다. 미적분이란게 함수와 식의 계산과는 다른 방식의 사고를 요하기 때문에 이걸 제대로 미국 수준의(...) 고등학생에게 이해시킬 수 있는 교사가 필요하고, 때문에 AP 미적분 교사들은 단순 교사 과정과 AP 인증 이외에도 수학 관련으로 특수 인증을 받은 분들인 경우가 많다. 근데 같은 수학 교사 가운데서도 따돌림 당하는 경우가 있다고 한다.(...)

시험 난이도는 AP 과목 기준으로 양호한 편이고, 일단 착실히 가르치는 것 따라가면 5점 만점도 어렵지 않다. 특히 BC의 경우 5점이 전체의 40% 이상을 차지한다고.(2015년에는 44%) 다만 AB는 2015년 기준 24.1%로 그 절반에 불과하다는 게 뭔가 신기한 점. 가끔씩 6문항으로 이루어진 주관식 부분에 괴랄한 난이도의 문제가 등장하는 경우가 있지만, 이럴 땐 칼리지보드가 새로운 유형의 문제를 시험하고 있다는 뜻이니 너무 당황하지는 말자. 다른 학생들도 못 푼다(...)
시험의 구성은 객관식 45문항 105분, 주관식 6문항 90분으로 이루어져 있다. 객관식과 주관식은 각각 다시 Part A와 Part B로 나뉘며 객관식 Part B와 주관식 Part A에서만 계산기 사용이 가능하다.

Calculus BC를 보면 Calculus AB 점수도 'sub-score' 로 나온다. 이 sub-score 은 AB를 보았을 떄의 예상점수를 알려주는 것으로, 이것도 대학에 낼 수 있다. 예를 들어 BC 4점, AB sub-score 5점이 나왔을 경우, 본인이 원하면 AB 5점을 대학에 낼 수도 있다. 3점 이상이므로 학점은 둘 다 얻을 수 있지만서도.

예를 들어 2008년도 BC급 시험 주관식 6번은 특히 악명이 높다. 언젠가부터 BC급 시험 6번은 무조건 테일러 급수 문제가 나온다. 살려줘요(번역이 매끄럽지 못한 부분은 수정바람)

6. dy/dt = y/8 (6-y)는 로지스틱 미분방정식이다. y = f(t)가 이 방정식의 특수해라 가정할 때, f(0) = 8이다.
a) 이 방정식의 기울기장이 아래에 주어져 있다. (3,2)와 (0,8)을 지나는 가능한 해의 곡선을 스케치하여라.
b) 오일러 방법을 이용하여 f(1)을 추정하여라. t=0을 초기값으로 하고 2개의 동일한 크기의 스텝을 사용할 것.
c) t=0 주변 f의 2차 테일러 다항식을 구하여라. 또한 다항식을 이용하여 f(1)을 추정하여라.
d) t>0일 때 f의 공역은 무엇인가?

보다시피 한 문제를 푸는 데 로지스틱의 적분과 오일러 방법, 테일러 급수까지 아주 고루 사용해야 한다.(...) 보통 로지스틱과 오일러는 한 문제에 같이 출제되지만 테일러는 따로 나오는데 이뭐;;; 그나마 다행으로, 이 해에는 극좌표계 주관식 문제가 출제되지 않았다.

2010년 5월 5일 시행된 2010년도 BC급 시험에서도 6번 문제가 수많은 학생들의 발목을 잡았다.(편의상 문체를 약간 요약함과 동시에, 대괄호와 정적분 등 제대로 나타낼 수 없는 기호는 따로 표기하였다.)

f(x)는 미분 가능한 함수이며 x=0일 때 f(x) = -1/2, x=0이 아닐 때 f(x) = (cos x - 1)/x^2로 정의되어 있다. g를 g(x) = 1 + ∫ f(t) dt (0, x)로 정의하자.
a) x=0 주변 cos x의 테일러 급수 중 처음 3개의 항과 일반항을 구하여라. 또한 이 급수를 이용하여 x=0 주변 f의 테일러 급수 중 처음 3개의 항과 일반항을 구하여라.
b) 위에서 구한 f의 테일러 급수를 이용하여 x=0에서 f가 극대값 또는 극소값을 갖는지 혹은 둘 다 갖지 않는지의 여부를 구하여라.
c) x=0 주변 g의 5차 테일러 다항식을 구하여라.
d) x=0 주변 g의 테일러 급수에 x=1을 대입하면 각 항의 0에 대한 절대값이 감소하는 교대급수가 된다. x=0 주변 g의 3차 테일러 다항식를을 이용하여 g(1)의 값을 추정하여라. 또한 왜 이 추정값이 g(1)의 실제 값과 1/(6!)이하의 차이를 갖는지 설명하여라.

5차 테일러 급수에 마음이 급해지고 마지막 Lagrange Error에 머리가 새하얘진다.이 문제가 출제된 날, 안 그래도 전국적으로 AP 장난 기간이던 미 고교생들은 2010년 테마인 "카니예 웨스트 사건"에 맞춰 "Yo Calculus BC testers, I'm real happy for you and Imma let you finish, except I'm really not because FRQ #6 is hard as f*ck"등의 드립을 신나게 쳐댔다.(......)

여담으로, 고교과정을 초월하기 때문에 한국 고등학교에서도 공식적으로 가르치지 않는 로피탈의 정리를 AP 미적분 BC에서는 버젓이 잘 사용하거라 하면서 가르쳐준다. 증명 과정은 그냥 겉핥기로 나와있을 뿐.

5월 5일에 치뤄진 2016 International BC FRQ는 역대급으로 쉬운 난이도를 자랑하였다. 앞서 서술된 문제들과 다르게 2016년 문제들은 대체로 복합적으로 풀 필요가 없었으며 개념별로 각개격파가 가능하였다. 때문에 5점 비율은 48.4%다