- 관련 항목 : 동음이의어·다의어/ㄴ
목차
1 일반 명사
- 어떤 한도에 차고 남은 부분.
- 어떤 일을 하다가 마치지 못한 부분.
- 어떤 일의 결과.
2 나눗셈에서
Remainder
나눗셈에서는 피제수(被除數)를 제수로 나눴을 경우, 나누어 똑 떨어지지 않고 남은 수[1]를 말한다. 잉여(剩餘)라고도 하며, 7을 2로 나누면 몫이 3이고 나머지는 1이다. A를 B로 나눈 몫이 C이고 나머지가 R이면 A=BC+R이라는 식이 성립하며, 이 식으로 나눗셈을 검산할 수 있다. 예를 들어 앞의 나눗셈에서는 7=2×3+1이다.
2.1 특정한 나눗셈에서
- 어떤 수를 10, 100 등 10의 n제곱 꼴로 나타내어지는 수로 나눈 나머지는 쉽게 구할 수 있는데, 해당하는 자리 이상의 부분을 없애면 된다. 이를테면 235.79를 10으로 나눈 나머지는 십의 자리 이상의 부분을 없애 5.79이다. n이 음의 정수인 경우, 즉 0.1, 0.01 등으로 나눈 나머지를 구할 때도 성립한다. 십진법이 아닌 경우에도 유사하게 적용할 수 있는데, a진법에서 an 꼴로 나타내어지는 수로 나눈 나머지는 같은 방법으로 구하면 된다. 이를테면 2진법의 수 1100101(2)을 1000(2)으로 나눈 나머지는 101(2)이다.
- 제곱수, 세제곱수 등을 어떤 자연수 n으로 나눈 나머지의 가짓수는 한정되어 있는데, n가지가 아닐 수도 있다. 예를 들어 제곱수를 4로 나눈 나머지는 0 또는 1이고, 2나 3은 될 수 없다. 생각해 보면 제곱수를 4로 나누었을 때의 나머지가 2가 되지 않는 이유는 간단한데, 제곱수가 짝수여야 하므로 원래 수도 짝수여야 한다. 이때 그 수를 제곱하면 4의 배수가 되므로 4로 나눈 나머지는 0이다. 제곱수는 제곱수#s-3.1 참고. 세제곱수(k3)는 다음과 같다.
| n | 나머지 | k=1, 2, ...일 때의 나머지 | 주기 |
| 3 | 0, 1, 2 | 1, 2, 0 | 3 |
| 4 | 0, 1, 3 | 1, 0, 3, 0 | 4 |
| 5 | 0, 1, 2, 3, 4 | 1, 3, 2, 4, 0 | 5 |
| 6 | 0, 1, 2, 3, 4, 5 | 1, 2, 3, 4, 5, 0 | 6 |
| 7 | 0, 1, 6 | 1, 1, 6, 1, 6, 6, 0 | 7 |
| 8 | 0, 1, 3, 5, 7 | 1, 0, 3, 0, 5, 0, 7, 0 | 8 |
| 9 | 0, 1, 8 | 1, 8, 0 | 3 |
| 10 | 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 | 1, 8, 7, 4, 5, 6, 3, 2, 9, 0 | 10 |
- 세 자연수 k, p, n에 대하여 kp를 n으로 나눈 나머지는 k가 증가함에 따라 주기성을 갖는데, kp를 n으로 나눈 나머지와 (n+k)p=np+...+kp=n(np-1+...)+kp를 n으로 나눈 나머지는 서로 같으므로 나머지는 일반적으로 n을 주기로 반복된다는 것을 알 수 있다. 물론 예외도 있는데, k2를 4로 나눈 나머지를 k=1부터 나열하면 1, 0, 1, 0, ...으로 4가 아닌 2를 주기로 반복된다.
- 세 자연수 k, p, n(k<n, n≥2이고 k와 n은 서로소)에 대하여 kp와 (n-k)p을 n으로 나눈 나머지는 p가 짝수인지 홀수인지에 따라 서로 다른 특별한 성질을 갖는다. p가 짝수인 경우, 나머지가 서로 같다. (n-k)p=np±...+kp인데, 여기서 kp 항을 제외한 모든 항은 n의 배수이므로 나머지 항을 모두 제거하고 남은 kp를 n으로 나눈 나머지와 서로 같다. p가 홀수인 경우는 나머지를 합하면 n이 되는데, (n-k)p=np±...-kp가 되고 여기서도 마찬가지로 kp항을 제외하고 남은 부분은 모두 n의 배수이므로, mn>kp인 어떤 자연수 m에 대하여 mn-kp을 n으로 나눈 나머지와 같다. k와 n이 서로소이므로 mn-kp과 kp을 n으로 나눈 나머지는 모두 0이 아니며, (mn-kp을 n으로 나눈 나머지)+(kp을 n으로 나눈 나머지)=(0 또는 n)이므로 나머지를 합하면 0이 되는 것이다. 따라서 제곱수나 네제곱수 등에서는 (k2, (n-k)2), (k4, (n-k)4) 등 n으로 나눈 나머지가 서로 같은 수를 쌍으로 묶을 수 있으므로 n으로 나눈 나머지의 가짓수가 제한될 수밖에 없으며, 세제곱수나 다섯제곱수 등에서는 a3, a5(a는 a<n인 자연수)를 n으로 나눈 나머지를 각각 b, c라고 할 때 (n-a)3, (n-a)5를 n으로 나눈 나머지는 각각 n-b, n-c가 되는 등 'n/2를 기준으로 대칭'되는 꼴이기 때문에 n으로 나눈 나머지를 0을 제외하고 작은 수부터 나열하면 좌우 대칭형이 된다. 예를 들어 세제곱수를 8로 나눈 나머지는 위 표에서도 볼 수 있듯이 0, 1, 3, 5, 7인데, 0을 제외한 1, 3, 5, 7은 가운데인 4를 기준으로 좌우 대칭형이다.
- 2n, 3n 등 어떤 자연수의 n제곱을 특정 자연수 n'로 나눈 나머지의 가짓수는 n'가지가 아닐 수 있다. 예를 들어 2n 꼴의 자연수를 7로 나눈 나머지는 1, 2, 4뿐인데, 이는 2n을 7로 나눈 나머지를 n=1일 때부터 나열하면 2, 4, 1, 2, 4, ... 식으로 1, 2, 4가 반복되기 때문이다.
- 세 자연수 k, m, n에 대하여 kn을 n'=km으로 나눈 나머지는 n의 값에 따라 0, k, k2, ..., km-1 중 하나가 된다. 나머지가 0인 상태에서 지수를 1씩 계속 늘려도 나머지는 여전히 0이다. 예를 들어 3n을 34으로 나눈 나머지를 n=1일 때부터 나열하면 3, 9(=32), 27(=33), 0, 0, ...이 되므로 나머지의 집합은 {0, 3, 9, 27}이다.
- 어떤 자연수의 n(n은 자연수)제곱을 해당 수와 서로소가 아닌 자연수 a로 나눈 나머지의 가짓수는 a가지가 아닐 수 있다. 예를 들어 2의 n제곱을 100으로 나눈 나머지의 가짓수는 2, 4, 8, 12, 16, ..., 96에서 20의 배수를 제외한 것들인데, n이 2 이상이면 2의 n제곱은 4의 배수이고, 따라서 100으로 나눈 나머지도 4의 배수이기 때문이다. 어떤 자연수 a의 n제곱을 자연수 b(b>1이며, a, b는 서로소)의 배수로 나눈 나머지는 n에 관계없이 b의 배수가 될 수 없다. 만약 나머지가 b의 배수라면, b의 배수로 나누었을 때의 나머지이므로 그 수 역시 b의 배수이다. 그러나 a와 b는 서로소이므로 an은 b의 배수가 될 수 없으므로 모순이다. 앞의 2n을 100으로 나눈 나머지를 대표적인 예시로 들 수 있다.
- a, m, n이 자연수일 때, an을 am-1로 나눈 나머지는 n이 어떤 값을 갖는지에 관계없이 1, a, a2, ..., am-1이다. 예를 들어 3의 n제곱을 32-1=8로 나눈 나머지는 1, 3이 반복된다.
- a, m, n이 자연수일 때, an을 am+1로 나눈 나머지는 n이 어떤 값을 갖는지에 관계없이, n이 1씩 증가함에 따라 1, a, a2, ..., am, am+1-a, am+1-a2, am+1-am-1이 반복된다. 예를 들어 2의 n제곱을 24+1=17로 나눈 나머지는 1, 2, 4, 8, 16, 15, 13, 9가 반복되는 형태이다.
- 어떤 자연수의 n제곱을 자연수 b로 나누었을 때의 나머지를 n=1일 때부터 나열할 때, n=k일 때의 나머지를 r라 하고 n>k이면서 나머지가 r인 n을 k'라 하면 나머지가 반복되는 주기는 k'-k이며, n=1일 때의 나머지가 이 '반복 주기'에 속하면 n≥1일 때의 나머지의 가짓수도 k'-k가지라고 할 수 있다. n=a(a는 어떤 자연수)일 때의 나머지가 r일 때, n=a+1일 때의 나머지는 하나로 정해지기 때문이다. 예를 들어 2의 n제곱을 10으로 나누었을 때의 나머지는 2, 4, 8, 6, 2, 4, ...가 반복되는 형태인데, 앞의 2와 그 바로 뒤의 2 사이의 '간격'이 4이고, 2가 반복 주기인 2, 4, 8, 6에 속하므로 n≥1일 때의 나머지의 주기와 가짓수는 4가지이다.
- 소수 p를 1<n<p인 자연수 n으로 나누면 소수의 정의에 의해서 나머지가 생긴다.
- 두 자연수 m, n에 대하여 m<n일 때, m을 n으로 나눈 나머지는 m이다.
- 세 자연수 k, n, p에 대하여 k를 n으로 나눈 나머지가 n-1일 때, p×k(p<n)를 n으로 나눈 나머지는 n-p이다. 마찬가지로 n으로 나눈 나머지가 n-n'일 때, p×k(p<n/n')를 n으로 나눈 나머지는 n-pn'이다. 예를 들어 47을 8로 나눈 나머지는 7(=8-1)이므로, 47×2=94를 8로 나눈 나머지는 8-2=6, 47×5=235를 8로 나눈 나머지는 8-5=3이다. 또한 34를 12로 나눈 나머지는 10(=8-2)이므로, 34×4=136을 12로 나눈 나머지는 4<12/2이므로 12-4×2=4이다.
- 나머지는 자연수 및 정수 군에서만 정의되고, 유리수 체 이상의 수 체계에서는 나머지는 무조건 0으로 정의된다. 군과 체라는 용어에서 눈치챘겠지만 수 체계 내의 모든 원소에서 나머지가 나오지 않는다는 조건을 만족해야 체가 될 수 있다.
- 1+2+...+n, 즉 1부터 n까지의 자연수의 합을 특정한 자연수 p로 나눈 나머지는 다음과 같다. 이는 1+2+...+n=n(n+1)/2로 n에 관한 이차다항식이기 때문이며, 제곱수와 마찬가지 이유로 나머지의 가짓수가 한정되어 있다고 할 수 있으며, 각각의 p에 대하여 n을 작은 수부터 나열할 때 일정 주기로 반복되는 주기성을 갖는다.
| p | 나머지 | n=1, 2, ...일 때 나머지의 나열 | 주기) |
| 2 | 0, 1 | 1, 1, 0, 0 | 4 |
| 3 | 0, 1 | 1, 0, 0 | 3 |
| 4 | 0, 1, 2, 3 | 1, 3, 2, 2, 3, 1, 0, 0 | 8 |
| 5 | 0, 1, 3 | 1, 3, 1, 0, 0 | 5 |
| 6 | 0, 1, 3, 4 | 1, 3, 0, 4, 3, 3, 4, 0, 3, 1, 0, 0 | 12 |
| 7 | 0, 1, 3, 6 | 1, 3, 6, 3, 1, 0, 0 | 7 |
| 8 | 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 | 1, 3, 6, 2, 7, 5, 4, 4, 5, 7, 2, 6, 3, 1, 0, 0 | 16 |
| 9 | 0, 1, 3, 6 | 1, 3, 6, 1, 6, 3, 1, 0, 0 | 9 |
| 10 | 0, 1, 3, 5, 6, 8 | 1, 3, 6, 0, 5, 1, 8, 6, 5, 5, 6, 8, 1, 5, 0, 6, 3, 1, 0, 0 | 20 |
- p가 짝수인 경우에는 2p를, 홀수인 경우에는 p를 주기로 한다는 것을 알 수 있다. 먼저 짝수인 경우, n(n+1)/2와 (n+2p)(n+2p+1)/2를 p로 나눈 나머지를 비교해 보면 (n+2p)(n+2p+1)/2=(n2+4np+4p2+n+2p)/2=p(4n+4p+2)/2+(n2+n)/2=(2n+2p+1)p+n(n+1)/2이므로 서로 같다는 것을 알 수 있다. 홀수인 경우, n(n+1)/2와 (n+p)(n+p+1)/2를 p로 나눈 나머지를 비교해 보면 (n+p)(n+p+1)/2=(n2+2np+p2+n+p)/2=p(2n+p+1)/2+n(n+1)/2이고, 여기서 p+1은 짝수이므로 (2n+p+1)/2는 정수이고, p(2n+p+1)/2는 p의 배수이므로 나머지가 서로 같음을 알 수 있다.
- 또한 여기서도 나머지가 좌우 대칭 형태인 것을 알 수 있다. 짝수인 경우 주기가 2p이고 n(n<2p)번째 항과 (2p-n-1)번째 항이 서로 같은데, n(n+1)/2와 (2p-n-1){(2p-n-1)+1}/2를 p로 나눈 나머지를 비교하면 (2p-n-1){(2p-n-1)+1}/2=(4p2-4pn+n2-2p+n)/2=p(2p-2n-1)+n(n+1)/2이므로 나머지가 서로 같음을 알 수 있다. 홀수의 경우 주기가 p이고 n(n<p/2)번째 항과 (p-n-1)번째 항이 서로 같은데, 마찬가지로 n(n+1)/2와 (p-n-1){(p-n-1)+1}/2를 p로 나눈 나머지를 비교하면 (p-n-1){(p-n-1)+1}/2=(p2-2np+n2-p+n)/2=p(p-2n-1)/2+n(n+1)/2이고 p가 홀수이므로 p-2n-1은 짝수이다. 따라서 p(p-2n-1)/2는 p의 배수이므로 나머지가 서로 같다.
- 공차가 자연수 d(<n)인 등차수열의 각 항을 n으로 나눈 나머지에 대해 생각해 보면 다음과 같다.
- n과 d가 서로소인 경우 : 0, d, 2d, ..., kd-n, (k+1)d-n, ..., n-2d, n-d (k는 자연수) 순으로, 나머지가 반복되는 한 '주기'당 항의 개수는 n개이고, d씩 증가하면서 n 이상이 되어 n만큼 빼는 것이 d회이다. 예를 들어 공차가 3인 등차수열의 각 항을 14로 나눈 나머지는 0, 3, 6, 9, 12, 1(=15-14), 4, 7, 10, 13, 2(=16-14), 5, 8, 11로, 한 주기당 항의 개수가 14개이고, 14 이상이 되어 14만큼 빼는 것은 12→1, 13→2, 11→0의 3회이다. 0~n-1까지의 모든 정수가 나머지가 될 수 있다.
- 서로소가 아닌 경우 : m을 n과 d의 최대공약수라 할 때, 한 주기당 항의 개수가 n/m이고, n 이상이 되어 n만큼 빼는 것은 d/m이다. 한마디로 주기가 원래의 1/m으로 줄어들었다고 할 수 있다. 예를 들어 공차가 4인 등차수열의 각 항을 18로 나눈 나머지는 0, 4, 8, 12, 16, 2(=20-18), 6, 10, 14이고, 4와 18의 최대공약수는 2이므로 한 주기당 항의 개수는 18/2=9이다. 또한 18 이상이 되어 18만큼 빼는 것은 한 주기당 4/2=2회이다. 0~n-1까지의 정수들 중 일부만이 나머지가 될 수 있다.
2.1.1 피보나치 수열과 나머지
피보나치 수열의 각 항을 특정한 자연수로 나눈 나머지는 주기성을 띤다. n번째 항과 n+1번째 항에 대한 나머지에 말미암아 n+2번째 항에 대한 나머지가 결정되고, 따라서 서로 다른 두 n에 대한 n번째, n+1번째 항에 대한 나머지가 서로 같으면 나머지는 주기성을 띠게 되고, 언젠가는 이웃한 두 항에 대한 나머지가 서로 같은 경우가 생길 것이기 때문이다.
p번째, p+1번째 항을 n으로 나눈 나머지가 각각 a, b라고 하면 계산하는 방법은 다음과 같다.
- a+b<n일 때, p+2번째 항을 n으로 나눈 나머지는 a+b이다.
- a+b≥n일 때, p+2번째 항을 n으로 나눈 나머지는 a+b-n이다.
예를 들면 다음과 같다.
| n | 주기 | n=1, 2, ...일 때 나머지의 나열 |
| 2 | 3 | 1, 1, 0 |
| 3 | 8 | 1, 1, 2, 0, 2, 2, 1, 0 |
| 4 | 6 | 1, 1, 2, 3, 1, 0 |
| 5 | 20 | 1, 1, 2, 3, 0, 3, 3, 1, 4, 0, 4, 4, 3, 2, 0, 2, 2, 4, 1, 0 |
| 6 | 24 | 1, 1, 2, 3, 5, 2, 1, 3, 4, 1, 5, 0, 5, 5, 4, 3, 1, 4, 5, 3, 2, 5, 1, 0 |
| 7 | 16 | 1, 1, 2, 3, 5, 1, 6, 0, 6, 6, 5, 4, 2, 6, 1, 0 |
| 8 | 12 | 1, 1, 2, 3, 5, 0, 5, 5, 2, 7, 1, 0 |
| 9 | 24 | 1, 1, 2, 3, 5, 8, 4, 3, 7, 1, 8, 0, 8, 8, 7, 6, 4, 1, 5, 6, 2, 8, 1, 0 |
| 10 | 60 | 1, 1, 2, 3, 5, 8, 3, 1, 4, 5, 9, 4, 3, 7, 0, 7, 7, 4, 1, 5, 6, 1, 7, 8, 5, 3, 8, 1, 9, 0, 9, 9, 8, 7, 5, 2, 7, 9, 6, 5, 1, 6, 7, 3, 0, 3, 3, 6, 9, 5, 4, 9, 3, 2, 5, 7, 2, 9, 1, 0 |
위 결과를 보면, 피보나치 수열에 있는 임의의 수를 선택했을 때 그 수가 특정 자연수 n의 배수일 확률이거나, 자연수 n으로 나눈 나머지가 특정 수일 확률이 상식적으로 생각하기 쉬운 결과인 1/n과는 다름을 알 수 있다. n=2인 경우만 따져 봐도 짝수일 확률은 1/2가 아닌 1/3이고, 홀수일 확률은 2/3이다. 특히 n=8의 경우, 나머지가 4, 6인 경우는 존재하지 않는다. 또한 n이 커짐에 따라 일반적으로 주기도 증가하지만 추세일 뿐이며, n=6, 7일 때 등 특정한 n과 n+1에 대해서는 성립하지 않는 경우도 있다.
나머지의 나열을 자세히 살펴보면 (n, 0, n, n) 꼴이 주기적으로 반복되는 것을 알 수 있는데, (n, 0, n, n)의 반복 주기에 전체 주기에서의 n의 가짓수를 곱하면 전체 주기가 나온다. 예를 들어 피보나치 수열의 각 항을 10으로 나눈 나머지의 경우, (n, 0, n, n)은 15개마다 반복되며, n은 1, 3, 7, 9의 총 네 개이므로 전체 주기는 15×4=60이다.
2.2 다항식의 나눗셈에서
다항식의 나눗셈에서도 나머지를 정의할 수 있는데, 다항식 A를 다항식 B로 나눌 때의 나머지는 실수 또는 다항식이며, 이를 C라고 할 때 C의 최고차항의 차수는 B보다 작다. 예를 들어 x3+2x+1을 x2로 나누면 x3+2x+1=x(x2)+2x+1이므로, 몫은 x 나머지는 2x+1이다.
다항식의 나눗셈에서 나머지에 관칙 법칙들을 대표할 만한 것으로 나머지 정리가 있다.
2.2.1 예시
- a는 상수, n은 자연수일 때, (x+a)n을 x로 나눈 나머지는 (x+a)n=xn+...+an=x(xn-1+...)+an이므로 an이다. (x+1)n을 x로 나눈 나머지는 여기에 a=1을 대입하여 1이며, (x-1)n을 x로 나눈 나머지는 a=-1을 대입하여 (-1)n이므로 n이 짝수일 때 1, 홀수일 때 -1이다. 정수의 나눗셈과 의미가 상당히 유사하지만, x로 나누는 다항식의 나눗셈의 나머지는 무조건 상수이므로 x와 a의 크기를 비교할 필요가 없다는 것이 결정적인 차이점이다. f(x)=(x+a)n으로 보고 나머지 정리를 이용하여 구할 수도 있다.
- x, x2 등 미지수의 제곱으로 나누는 경우의 나머지는 그 미만의 차수에 해당하는 부분이므로 쉽게 구할 수 있다. 예를 들어 x3+2x2+3x+4를 x2로 나눈 나머지는 상수항과 일차항의 합인 3x+4이다.
2.3 음수 나눗셈에서
10을 3으로 나누면 몫이 3 나머지가 1이다. 즉 10 = 3*3 + 1이다. 그러면 -10을 3으로 나누면 어떻게 되느냐?라는 문제가 있다. 이를 두 가지 나눈 해석이 있다.
- 첫 번째는 -10 = (-3)*3 +(-1) 로 봐서, 몫이 -3이고 나머지가 -1이 되는 것이다. 이는 피젯수를 양수로 변환한 뒤 나눗셈을 계산하고 다시 음수로 변환한 것이다. 몫은 일반적인 양수의 나눗셈과 동일하기에 문제가 없지만, 나머지 값이 음수로 나타난다는 문제가 있다.
- 두 번째는 -10 = (-4)*3+2로 봐서 몫이 -4, 나머지가 2가 되는 것이다. 몫의 계산은 직접 계산한 결과와 조금 달라지지만, 나머지는 언제나 0 또는 양수로 유지된다. 이는 합동식(mod) 관점에서 해석하기에는 유용하다. 예컨대 8을 3으로 나누면 나머지가 2고, 8에서 3을 뺸 5의 경우도 나머지가 2이며, 또 3을 뺀 2도 나머지가 2다. 2에서 또 3을 빼면 -1 이 되는데, 이 역시 나머지 2로 판단하는 것이다. -4, -7, -10 모두 나머지를 2로 생각하는 것이다.
- 좀 더 수학적인 표현으로 쓰면 [math] 8 \equiv 5 \equiv 2 \equiv -1 \equiv -4 \equiv -7 \equiv -10 (mod 3)[/math] 이 되는데, 이를 풀어서 쓰면 다음과 같다.
| 8 = 2 * 3 + 2 5 = 1 * 3 + 2 2 = 0 * 3 + 2 -1 = (-1) * 3 + 2 -4 = (-2) * 3 + 2 -7 = (-3) * 3 + 2 -10 = (-4) * 3 + 2 | 8 ≡ 2 (mod 3) 5 ≡ 2 (mod 3) 2 ≡ 2 (mod 3) -1 ≡ 2 (mod 3) -4 ≡ 2 (mod 3) -7 ≡ 2 (mod 3) -10 ≡ 2 (mod 3) |
- 그외에도 피젯수가 아니라 젯수가 음수인 경우에도 해석의 차이가 존재한다. 실제 수학 교육과정에서는 이런 혼란 때문에 제대로 다루지 않고 그냥 유리수로 넘어가 버린다. 그러다가 대학 수학에서 정수론을 본격적으로 배울 때 그제야 등장해서 헷갈리게 만든다. 또한, 컴퓨터 프로그래밍 언어에 따라서 나눗셈 연산자와 나머지 연산자가 이 둘 중 어느 것을 고르냐에 따라서 결과가 달라진다는 점을 유념해야 한다.
2.3.1 Microsoft Excel에서
- A / B 를 하면 실수의 나눗셈 연산을 한다. "= -10 / 3" 의 결과는 -3.3333... 이다.
- QUOTIENT(A, B)를 하면 정수형 나눗셈을 하는데 첫번째 방식으로 몫을 계산한다. "= QUOTIENT(-10, 3)" 의 결과는 -3 이다. 그리고, TRUNC(A/B) 를 하면 QUOTIENT 함수와 동일한 결과가 나온다.
- 첫번째 방식으로 나머지를 계산하는 함수는 별도로 제공하지 않지만, A - B * QUOTIENT(A, B) 라는 식으로 계산할 수 있다. 즉 "= (-10) - (3) * QUOTIENT(-10 , 3)" 의 결과는 -1 이다. TRUNC 함수는 QUOTIENT 와 동일한 결과가 나오므로 이를 써도 된다.
- INT(A/B) 를 하면 두번째 방식으로 몫을 계산한다. 즉, "= INT(-10/3)" 의 결과는 -4 이다.
- MOD(A, B) 를 하면 두번째 방식으로 나머지를 계산한다. 즉, "= MOD(-10, 3)" 의 결과는 2 이다.
엑셀에서 제공하는 정수형 나눗셈 연산자(QUOTIENT)와 나머지 연산자(MOD)가 계산방식이 다르기 때문에, 음수를 취급할 때는 신경써서 사용해야 한다.
2.4 기타
- 한셀은 Excel 과 마찬가지로 나눗셈의 나머지를 구하는 함수는 MOD이다. =MOD(A, B)를 입력하면 A를 B로 나눈 나머지를 알려 준다.
- C언어 등 많은 프로그래밍 언어에서는 %를 나머지 연산자로 사용한다. 예를 들어 20 % 3 = 2이다. 참고로 C 언어의 / 와 % 연산자는 음수에 대한 정확한 규정은 없으나, 컴파일러 대개는 첫 번째 방식으로 동작한다.
3 관련 문서
- 나눗셈
- 합동식 - 나머지의 다양한 성질에 대해서는 해당 문서의 '성질' 문단을 참고하면 된다.
- 몫
- 배수(수학)
- 짝수, 홀수 - 정수를 2로 나누었을 때의 나머지에 따라 구분한다.
- 소수(수론)
- 소인수분해
- 낙타 나누기
- ↑ 나머지는 제수를 넘을 수 없다.