체(대수학)

대수학
이론
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환(Ring)						가환대수학
체(Field)						갈루아 이론
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정리
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분야와 관심대상
대수학
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體
field
췌에. 왜 장(場)이 아닐까.

1 정의

체는 대수적 구조의 하나로, 간단히 말해 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈의 사칙연산을 집합 안에서 소화할 수 있는 집합을 의미한다. 가장 간단한 체의 예시로는 유리수의 집합 [math] \mathbb Q[/math], 실수의 집합 [math]\mathbb R[/math], 복소수의 집합 [math]\mathbb C [/math]가 있다. 그래서 이들이 체라는 것을 강조하고 싶을 때에는 각각 유리수체, 실수체, 복소수체라고 부르기도 한다.

그러나 정수의 집합 [math]\mathbb Z [/math]는 체가 되지 않는데, 정수 사이의 덧셈, 뺄셈, 곱셈까지는 언제나 원활하게 수행할 수 있지만 아무런 두 정수나 뽑아서 나눗셈을 하였을 때에는 나누어 떨어지지 않는 경우도 있기 때문이다. 물론 자연수의 집합 [math]\mathbb N[/math]의 경우에도 나눗셈은 커녕, 뺄셈조차도 불가능한 경우가 존재하므로 체가 되지 않는다.

어떤 집합 [math] F [/math]가 체가 되는 것을 엄밀하게 증명하기 위해서는 다음의 11가지 조건을 보이면 된다. 개노가다

• (A1) [math] F [/math]의 어떤 두 원소를 뽑아 더해도 다시 [math] F [/math]의 원소이다.
• (A2) 덧셈에 대해 교환법칙이 성립한다.
• (A3) 덧셈에 대해 결합법칙이 성립한다. 따라서 덧셈만 있는 식에는 괄호를 쓰지 않아도 된다.
• (A4) 덧셈의 항등원 [math] 0 [/math]이 존재한다.
• (A5) [math] F [/math]의 모든 원소 [math] a [/math]에 대해 역원 [math] -a [/math]가 존재한다. 따라서 뺄셈도 항상 가능하다.
• (M1) [math] F [/math]의 어떤 두 원소를 뽑아 곱해도 다시 [math] F [/math]의 원소이다.
• (M2) 곱셈에 대해 교환법칙이 성립한다.
• (M3) 곱셈에 대해 결합법칙이 성립한다. 따라서 곱셈만 있는 식에서도 괄호를 쓰지 않아도 된다.
• (M4) 곱셈의 항등원 [math] 1 [/math]이 존재한다.
• (M5) [math] F [/math]의 [math] 0 [/math]이 아닌 모든 원소 [math] a [/math]에 대해 역원 [math] a^{-1} [/math]가 존재한다. 따라서 0 이외의 수로는 항상 나누기를 할 수 있다.
• (D) 덧셈과 곱셈에 대해 분배법칙이 성립한다.

대수적인 언어로 압축해서 쓰면 ,[math]\left(F,+,\cdot\right)[/math]가 가환 나눗셈환(commutative division ring)이라는 뜻이다.
역대 수학 천재들의 목록을 나열해 본다면 절대로 빼놓을 수 없는 수학자가 바로 갈루아인데 이 분이 바로 이 체에 관한 이론을 연구하여 아벨이 기존에 증명하였던 것과는 다른 방식으로 5차 이상의 다항식에 대해서는 근의 공식이 존재하지 않는다는 것을 증명하였다. 갈루아는 체와 군 사이에 존재하는 미묘하고도 심오한 관계를 사용하여 증명을 할 수 있었다. 이에 관한 자세한 설명은 갈루아 이론을 참조하자.

2 예시

위에서 이미 언급한 유리수체, 실수체, 복소수체 이외에도 체가 되는 집합을 다양하게 만들어 낼 수 있다. 본 항목에서는 체의 예시 중 중요한 것들 몇 가지에 대해 간단히 설명한다.

2.1 체 확장(Field extension)

대한민국의 중, 고등학교에서 6년 동안 수학 공부를 해온 사람이라면 아마도 [math]a+b\sqrt 2[/math] (단, [math]a,b[/math]는 유리수) 꼴의 수라는 표현에 매우 익숙할 것이다. 아마 이러한 표현을 보는 순간, 무리수 상등이라는 단어도 같이 떠오를 것이다. 정의에 따라 이런 꼴의 수만 모아놓아 만든 집합도 체가 된다. 고등학생은 이미 [math] a+b\sqrt 2[/math] 꼴의 수를 서로 더하고, 빼고, 곱하여도 언제나 다시 똑같은 꼴의 숫자가 되지, 갑자기 [math] a+b\sqrt 3[/math] 꼴의 수가 튀어나올 수는 없다는 것을 이미 잘 알고 있다. 게다가 나눗셈을 하는 경우에도 아무런 문제가 없는데, 다음과 같이 역수를 취하여도 [math] (a+b\sqrt 2)^{-1}=(a-b\sqrt 2)/(a^2-2b^2) [/math] 여전히 [math]a+b\sqrt 2[/math] 꼴의 수가 되기 때문이다. 따라서 이러한 꼴의 수들을 모두 모아 놓은 집합은 체가 된다.

이제 이 집합에 이름을 붙여주고자 한다면 어떻게 하는 것이 좋을까? [math]a+b\sqrt 2[/math] (단, [math]a,b[/math]는 유리수) 꼴의 수들의 집합은 간단하게 생각해보면 유리수의 집합 [math]\mathbb Q[/math]에 새로운 원소 [math]\sqrt 2[/math]를 추가한 것과 같다. 물론, [math]\sqrt 2[/math]라는 원소 단 하나만을 추가해주었다면, 그건 체가 될 수 없다. 왜냐하면 체는 덧셈과 곱셈에 대해 닫혀 있어야 하므로, [math]\sqrt 2[/math]라는 원소를 체에 추가해 주려면, 동시에 [math]b\sqrt 2[/math] (단, [math]b[/math]는 유리수) 꼴의 수도 모두 추가해주어야 할 것이고, 따라서 [math]a+b\sqrt 2[/math] (단, [math]a,b[/math]는 모두 유리수) 꼴의 수를 모두 추가해야만 한다. 그러므로 우리가 설명하고자 하는 집합은 [math]\mathbb Q[/math]라는 체가 [math]\sqrt 2[/math]라는 원소를 포함하도록 확장하려고 할 때 자연스럽게 얻어지는 체라는 것을 알 수 있고, 이를 간단하게 [math]\mathbb Q(\sqrt 2)[/math]라고 표기할 수 있다.

이와 같이 새롭게 얻어진 체 [math]\mathbb Q(\sqrt 2)[/math]를 [math]\mathbb Q[/math]의 체 확장이라고 부른다. 이것을 알고 나면, 비슷하게 [math]\mathbb Q(\sqrt 3)[/math]이라는 체도 쉽게 생각할 수 있을 것이다. 더 나아가서, 원소를 여러 개 덧붙여 [math]\mathbb Q(\sqrt 2,\sqrt 3)[/math]이라는 체도 생각해볼 수 있다. 이는 [math]a+b\sqrt 2+c\sqrt 3+d\sqrt 6[/math] (단, [math]a,b,c,d[/math]는 모두 유리수) 꼴의 수들을 모두 모은 집합이 된다. 물론, [math]\mathbb R(i)[/math]는 [math]\mathbb C[/math]와 같다는 것도 어렵지 않게 이해할 수 있다.

2.2 분해체(Splitting field)

이제 조금 다른 방향에서 [math]\mathbb Q(\sqrt 2)[/math]를 생각하자. 이때의 키워드는 바로 다항식의 인수분해이다. [math]x^2-2[/math]라는 다항식을 생각해보자. 이 다항식의 해는 유리수가 아니므로, 이 다항식을 유리계수 일차다항식 두 개의 곱으로 인수분해하는 것은 절대로 불가능할 것이다. 이처럼 어떤 체에서 더 이상 인수분해할 수 없는 다항식이 있는 경우라면, 언제나 그 체를 확장하여 그 다항식의 해를 가지는 새로운 체를 만들어 낼 수 있다! 그런 체를 만드는 방법은 무엇일까? 바로 다항식의 나머지를 취하는 것이다.

우선, 모든 유리계수 다항식을 모아놓은 집합은 [math]\mathbb Q[x][/math]라고 표기한다. 그리고 인수분해하고자 하는 다항식은 바로 [math]x^2-2[/math]이다. 이제 우리는 [math]\mathbb Q[x][/math]의 원소들 중, [math]x^2-2[/math]로 나눈 나머지가 같은 원소들은 그냥 서로 동일한 것이라고 생각한다. 예를 들어, [math]x^2+x+1[/math]을 [math]x^2-2[/math]로 나눈 나머지는 [math]x+3[/math]이므로, [math]x^2+x+1\equiv x+3[/math]으로 취급한다. 그렇게 하고 나면, 어떤 다항식이든 2차다항식으로 나눈 나머지는 1차 이하의 다항식이므로, [math]\mathbb Q[x][/math]의 모든 원소를 어떤 1차 이하의 다항식 [math]a+bx[/math] (단, [math]a,b[/math]는 유리수)과 동일한 것이라고 생각할 수 있다. 이 다항식 사이의 덧셈, 뺄셈은 그냥 평범한 다항식의 덧셈, 뺄셈을 사용한다. 두 다항식 사이의 곱을 하고 나면 2차 다항식이 만들어질 수도 있는데, 그 경우에는 다시 [math]x^2-2[/math]로 나눈 나머지를 취한다. 즉, [math]x \times x[/math]는 [math]x^2-2[/math]로 나눈 나머지가 2이므로 [math]x[/math]라는 다항식을 제곱하면 그것은 2가 된다. 마지막으로 나눗셈을 하는 방법을 알아야 하는데, 이것은 조금 복잡하다. 그렇지만 [math]x^2-2[/math]라는 다항식이 [math]\mathbb Q[/math]에서는 인수분해가 불가능하였다는 사실을 잘 사용하면 어떤 다항식의 역수에 해당하는 다항식을 찾아내는 것도 가능하다. 예를 들어, [math]1/x\equiv x/2[/math]이다. 이 식을 잘 정리하면 [math]x^2-2\equiv 0[/math]를 얻을 수 있고, 양변은 [math]x^2-2[/math]로 나눈 나머지가 동일하므로 맞는 식이라는 것을 확인할 수 있다. 따라서, 이렇게 [math]\mathbb Q[x][/math]에서 [math]x^2-2[/math]으로 나눈 나머지가 같은 다항식은 같다고 선언한 집합(기호로는 [math]\mathbb Q[x]/(x^2-2)[/math]라고 쓴다.)은 사칙연산이 잘 정의되므로, 체가 된다. 길게 설명했지만 사실 이 체는 위에서 설명한 [math]\mathbb Q(\sqrt 2)[/math]와 동일한 것이다. 왜냐하면 [math]x^2-2[/math]로 나눈 나머지 다항식들의 곱셈과 나눗셈에서 [math]x[/math]라는 기호는 마치 [math]\sqrt 2[/math]처럼 작용하기 때문이다. 우리는 이미 위에서 [math]x\times x\equiv 2[/math]라던지 [math]1/x\equiv x/2[/math]라던지 하는 식으로부터 [math]x[/math]라는 기호가 실은 [math]\sqrt 2[/math]처럼 작동하는 것을 이미 확인하였다. 정리하자면, 우리는 [math]\sqrt 2[/math]라는 수의 존재를 전혀 알지 못하고도, [math]x^2-2[/math]라는 다항식이 해를 가지는 [math]\mathbb Q[/math]의 체 확장을 이야기함으로써, [math]\mathbb Q(\sqrt 2)[/math]를 만들어낼 수 있다. 이렇게 새로운 체에서는 [math]x^2-2[/math]를 분해할 수 있으므로, [math]\mathbb Q[x]/(x^2-2)[/math]를 [math]x^2-2[/math]의 분해체라고 부른다.

어떤 다항식이 그 체에서 인수분해되지 않는다는 것만 확인한다면 동일한 일을 반복할 수 있다. 예를 들어, [math]x^2+x+1[/math]라는 다항식이 해를 가지는 [math]\mathbb Q[/math]의 체 확장을 만들고 싶다면, 유리 계수 다항식을 모두 모아놓고, [math]x^2+x+1[/math]로 나눈 나머지가 같은 다항식은 서로 동일하다고 선언만 하면 된다. 그렇게 얻어지는 체는 물론 [math]x^2+x+1[/math]의 해인 정석에서 많이 본 [math]\omega=(-1+\sqrt 3 i)/2[/math]를 지니고 있을 것이므로 [math]\mathbb Q(\omega)[/math]와 동일한 체가 될 것이다. 그렇지만 이 체를 구성하기 위해 우리는 [math]\omega[/math]에 대해 알 필요도 없다.

2차 다항식의 경우에는 한 번의 체 확장으로 분해체를 얻을 수 있지만, 고차 다항식이 주어진 경우에는 이러한 체 확장을 여러 번 해야 할 수도 있다. 그렇지만 매번 해를 1개씩만 구하여도 최대 n번만 이 과정을 반복함으로써 어떤 다항식이든 일차다항식의 곱으로 인수분해하는 새로운 체를 구성할 수 있다. 그렇게 얻어지는 체를 그 다항식의 분해체라고 한다.

2.3 유한체(Finite field)

지금까지 설명한 체의 예시는 모두 무한집합이었다. 왜냐하면 지금까지 말한 체는 모두 유리수의 집합 [math]\mathbb Q[/math]를 부분집합으로 갖는데, [math]\mathbb Q[/math]가 무한집합이기 때문이다. 그렇지만 [math]\mathbb Q[/math]와는 별개의 근원으로부터 출발한다면 유한집합이 되는 체도 만들 수 있다. 그 별개의 근원이란 다름 아닌 정수의 집합 [math]\mathbb Z[/math]이다. [math]\mathbb Z[/math] 자체는 나눗셈이 항상 잘 떨어지지 않으므로, 그 자신이 체가 될 수 없다는 것을 이미 알고 있다. 따라서 [math]\mathbb Z[/math]를 이용하여 새로운 체를 만들어 낸다는 발상은 꽤 놀라운 것이라고 할 수 있다. [math]\mathbb Z[/math]로부터 체를 만들어내는 방법은 바로 소수 [math]p[/math]로 나눈 나머지를 관찰하는 것이다.
여기에서는 예시를 들기 위해 [math]p=7[/math]인 경우만을 생각해보자. 이제 정수의 집합 [math]\mathbb Z[/math]의 원소를 모두 모아놓고, 이들 중 7로 나눈 나머지가 같은 것은 그냥 같은 것으로 취급한다! 예컨데, 15를 7로 나눈 나머지와 8을 7로 나눈 나머지는 모두 1이므로, 그냥 15와 8은 같은 수라고 생각하는 것이다. 그리고 이를 표기하기 위해서는 [math]15\equiv 8\text{ (mod }7)[/math]이라고 쓴다. 한편, 5와 9는 7로 나눈 나머지가 다르므로 [math]5\neq 9\text{ (mod }7)[/math]이라고 쓸 수 있다. 이렇게 하고 나면, 정수를 7로 나눈 나머지는 0~6의 7가지만 가능하므로, 원래의 [math]\mathbb Z[/math]는 무한집합이었지만, 이제는 [math]\{0,1,2,3,4,5,6\}[/math]이라는 유한집합이 되어버렸고, 이를 [math]\mathbb Z_7[/math]이라고 표기한다. (물론, [math]p[/math]가 다른 소수인 경우에도 [math]\mathbb Z_p[/math]라고 표기한다.)
이제 [math]\mathbb Z_7[/math]이 체가 된다는 것을 확인하자. 앞서 말했듯이 어떤 집합이 체가 되는지를 확인하려면 덧셈, 뺄셈, 곱셉, 나눗셈이 잘 이루어지는가를 확인하면 된다. [math]\mathbb Z_7[/math]의 덧셈은 [math]\mathbb Z[/math]에서 원래 쓰던 것을 그냥 가져올 것이다. 예를 들어, [math]15+8\equiv 23\text{ (mod }7)[/math]과 같이 덧셈을 할때에는 평범한 정수를 더하듯이 더해주면 된다. 뺄셈과 곱셈의 경우도 마찬가지로 원래 정수 [math]\mathbb Z[/math]에서 하던 뺄셈과 곱셈을 [math]\mathbb Z_7[/math]에 이식하는 것이 가능하다.
이렇게 해서 [math]\mathbb Z_7[/math] 위의 덧셈, 뺄셈, 곱셈은 어렵지 않게 할 수 있다는 것을 확인하였다. 이제 마지막으로 남은 것은 이 위에서 나눗셈을 잘 할 수 있는지를 확인하는 것이다. 그런데 이것은 전혀 쉬운 일이 아니다. 왜냐하면 [math]\mathbb Z_7[/math]의 근원이 되는 [math]\mathbb Z[/math] 자체에, 덧셈, 뺄셈, 곱셈만 있었지, 나눗셈은 없었기 때문이다. 나눗셈을 하는 방법은 우리가 새롭게 정의해주어야 하는데, 이때 사용되는 것이 확장된 유클리드 알고리즘(Extended Euclidean algorithm)이다. 확장된 유클리드 알고리즘이란, 두 정수 [math]a,b[/math]가 주어졌을 때, 두 수의 최대공약수가 [math]g[/math]라고 하면, [math]am+bn=g[/math]가 되는 정수 [math]m,n[/math]을 언제나 빠르게 찾아낼 수 있는 알고리즘이다. (사실 저러한 정수 [math]m,n[/math]이 항상 존재한다는 사실부터가 충격과 공포다.) 그러면 이제 [math]\mathbb Z_7[/math] 위에서 나눗셈을 할 수 있다. 나눗셈은 역원을 곱하는 것이므로, 0 이외의 수가 항상 역수를 가진다는 것을 보이면 그것이 곧 나눗셈을 할 수 있다는 것을 보이는 것과 같다. 0이 아닌 원소 1, 2, 3, 4, 5, 6에 대해서 각각 역원을 찾으려면 어떻게 해야할까? 1~6은 모두 7보다 작은 자연수이고, 7은 소수이므로, 1~6은 모두 7과 서로소이다. 즉, 최대공약수가 1이다. 따라서 이 중 3의 역원을 계산하고자 한다면, 3과 7을 확장된 유클리드 알고리즘의 입력으로 넣어준다. 3과 7의 최대공약수는 1이므로, 알고리즘은 [math]3m+7n=1[/math]이 되는 정수 [math]m,n[/math]을 반환해준다. 그러면 이때의 [math]m[/math]이 바로 3의 역수가 된다. 왜냐하면 [math]3m\equiv 3m+0n\equiv 3m+7n\equiv 1\text{ (mod }7)[/math]이기 때문이다! 실제로 계산을 해보면 3의 역수는 기분이 이상하지만 5가 되는 것을 알 수 있다. [math]3\times 5\equiv 15\equiv 1\text{ (mod }7)[/math]이기 때문이다.
따라서 [math]\mathbb Z_7[/math]는 체가 된다. 그리고 이는 위에서 예시로 보여주었던 체들과는 달리 유한집합이다. 이와 같이 유한집합이 되는 체를 유한체 또는 갈루아 체라고 부른다. 유한체는 이미 수학자들에 의해 완벽한 분류(classification)가 이루어져 있다. 보다 자세히 말하자면, 유한체의 원소의 개수는 모두 [math]p^n[/math] (단, [math]p[/math]는 소수)의 꼴로 표현되고, 원소 수가 [math]p^n[/math]개인 체는 오직 하나가 존재한다는 사실이 증명되어 있다. 즉, 원소 수가 7개인 체는 위에서 밝혀낸 [math]\mathbb Z_7[/math] 하나 뿐인 것이다. 위에서 설명한 방법을 사용하면 원소의 개수가 [math]p[/math]인 체는 모두 만들어낼 수 있는데, 어떻게 하면 [math]p^n[/math]개의 원소를 가지는 체를 만들어낼 수 있을까? 이는 조금 더 복잡하지만 정수를 소수로 나눈 나머지를 생각하는 대신, [math]\mathbb Z_p[/math]의 원소를 계수로 가지는 다항식을 [math]n[/math]차 기약다항식으로 나누는 방법을 사용하여 만들 수 있다.

유한체의 분류 문제가 완벽하게 해결되었다고 해서, 유한체는 비교적 단순한 대상이라는 오해가 있을 수도 있다. 전혀 그렇지 않다. 예를 들어, 유한체 위에서 곱셈이 잘 정의되기 때문에, 실수에서의 로그와 비슷한 것을 생각하여 [math]\mathbb Z_p[/math] 위에서의 로그를 생각해볼 수 있다. 예를 들어, [math]\mathbb Z_7[/math] 위에서 생각한다면 [math]\log_3 6\equiv 3[/math]이다. 이는 [math]3^3\equiv 27\equiv 6\text{ (mod }7)[/math]이기 때문이다. 그렇지만 이렇게 로그를 계산하는 것은 소수 [math]p[/math]가 50자리 이상의 큰 수가 되고 나면 더 이상 쉬운 문제가 아니다. 이와 같은 것을 이산 로그 문제(DLP)라고 하는데, 양자컴퓨터를 사용하지 않고서는 빠르게 계산하는 방법이 전혀 밝혀지지 않았기 때문에, 심지어는 이를 응용하여 암호 시스템을 만들 수 있을 정도이다!