상용로그

1 개요

Common logarithm. 자연수 10을 밑으로 한 로그. log10x를 말한다. 인류가 10진법을 기본으로 하여 발전해왔기 때문에 밑이 다른 로그들과 구분하여 사용한다. 교과과정에서는 사용상 편의를 위해 밑을 생략하고 logx와 같이 나타낸다. 그리고 로그의 단원에서 한 부분으로 특별취급되고 있다. 만약에, 인류가 12진법, 20진법등을 사용한다면, 12나 20을 밑으로 한 로그가 상용로그가 될 것이다.
상용로그는 우리가 10진법을 쓰기 때문에 여러 손계산을 하는데 편한 점이 있다. 예를 들면 14417×56723을 계산하고 싶을 때 그냥 계산하려면 머리 아프지만 먼저 이것의 상용로그인 log1014417+log1056723을 상용로그표를 이용해서 계산하고 이제 그 구한 값이 얼마의 상용로그인지 다시 상용로그표에서 찾으면 끝. 이러면 여러번 곱하고 더해야 하는 곱셈을 더 간단한 덧셈과 상용로그표 찾기로 바꿀 수 있다. 이렇게 편리하게 계산할 수 있기에 옛날에는 이런 방법으로 여러가지 계산을 했다. 괜히 로그로 천문학자의 수명이 배나 늘어났다고 말하는 게 아니다.[1][2] 그렇기 때문에 상용로그는 옛날에는 log만 써도 log10으로 쳐주는 등 여러가지 면에서 특별취급을 받았으나 결국 컴퓨터의 막강한 계산력 앞에서 무릎을 꿇고 지금은 일부 분야 아니면 안 쓰이게 되어버리면서 자연스럽게 logx라는 표기도 자연로그한테 빼앗겨버리고 상용로그는 대부분의 분야에서 log10으로 쓰이거나 아예 logx/log10으로 쓰인다…….[3]덕분에 자연로그의 표기는 예전에 상용로그하고 구분하기 위해서 썼던 lnx나 상용로그한테서 빼앗은 logx 둘 중 아무거나 써도 되게 되었고.

2 교과상에서의 상용로그

현행 교육과정인 2009 개정 교육과정에서는 고등학교 1학년 2학기때 사용하는 수학 II의 4단원 "지수와 로그" 부분에서 다룬다. 상용로그표는 교과서나 참고서 맨 뒤에 실려있다. 지표와 가수는 교육과정에서 완전히 삭제되었으며, 이에 따라 대학수학능력시험에서는 볼 일이 없게 되었다.

대부분 소수점 4자리수 (만분의 1 자리까지)까지 표기한다. 일부 참고서는 비례부분도 나와있어서, 로그표에서는 없는 값도 비례식이나 방정식등을 이용하여 구할 수 있다. 현실적으로는, 고교과정에선 상용로그표를 알려주고, 그 이후에는 계산기를 두들기면 되기 때문에 굳이 암기할 필요 없다. 2~9까지 자연수의 상용로그 값을 외워두면[4] 특정한 로그값을 봤을 때 대충 첫째자리 숫자가 어느정도 되나 가늠하는 용도로 써먹을 수 있지만, 그 이상은 완벽한 뻘짓. 어? 그럼 삼각비는??

3 상용로그의 값은 어느정도 일까

1부터 10까지의 상용로그 값을 32자리수로 표현하면 다음과 같다.
즉, 로그 값의 1구(溝)분의 1자리까지 표현한 것이다.

log1 = 0
log2 = 0.3010 2999 5663 9811 9521 3738 8947 2449
log3 = 0.4771 2125 4719 6624 3729 5027 9032 5512
log4 = 0.6020 5999 1327 9623 9042 7477 7894 4899
log5 = 0.6989 7000 4336 0188 0478 6261 1052 7551
log6 = 0.7781 5125 0383 6436 3250 8766 7979 7961
log7 = 0.8450 9804 0014 2568 3071 2216 2585 9264
log8 = 0.9030 8998 6991 9435 8564 1216 6841 7348
log9 = 0.9542 4250 9439 3248 7459 0055 8065 1023
log10 = 1

추가로 loge = 0.4342 9448 1903 2518 2765 1128 9189 1661
logπ = 0.4971 4987 2694 1338 5435 1268 2882 9090

근데 log2, log3, log7의 값만 알면 1부터 10까지 자연수들의 상용로그 값은 다 구할 수 있잖아[5] 사실 소수 (prime number)들의 상용로그 값만 알면 모든 자연수의 상용로그 값을 구할 수 있다.[6]

4 상용로그의 성질

logx = a+n (a는 정수, n은 0≤n＜1인 실수) 에서, a를 지표(characteristic), n을 가수(mantissa)라고 한다.[7][8] 지수 가표
logx, logy 이렇게 서로 다른(x≠y) 두 수가 있다고 치고, 서로 비교를 할때,

4.1 logx와 logy가 지표가 같고, 가수가 다르다면

지표는 같고 가수가 다르다면 x와 y는 같은 자리수의 숫자이다.
例) log875 ≠ log256 이고, 3=log1000, 2=log100이므로 2<log875<3 , 2<log256<3
∴ log875와 log256의 지표는 2로 같다.

4.2 logx와 logy의 지표가 같지 않고, 가수가 같다면

이 경우, logx 와 logy의 자리수는 다르지만 숫자의 배열은 같다.
例) logx = 3+log1.909, logy = 1+log1.909 로 표현하면, 로그의 성질에 의해, logx=log103 +log1.909=log 1.909×103 =log1909, logy=log101 +log1.909=log1.909×101 =log19.09
∴x=1909, y=19.09

4.3 logx와 logy의 지표와 가수가 서로 같다면

logx=n+a이고, logy=m+b라 할때, n=m이고, a=b이면, n+a=m+b이므로, logx=logy. ∴x=y
例) log909 = 2 + log9.09, logy=a+n (a는 지표, n은 1미만의 양의 소수)라 하면, 2 = a, n = log9.09 ⇔ logy = 2 + log9.09 ⇔ ∴y = 909

5 상용로그의 응용법

여기서 열거한 상용로그의 값을 잘 알고 있고, 로그의 법칙을 잘 숙지하고 있다면, 이를 이용한 합성수의 로그값을 구할 수 있음은 물론, 그 합성수를 밑으로 하는 로그의 값을 구할 수 있다. 그러나, 위의 열거한 숫자들로 이루어진 합성수 이외는 만들 수가 없다. 왜냐하면, 1~10까지의 소수는 2,3,5,7이나, 11이상의 소수는 다시 컴퓨터의 힘을 빌려서 나타내야 되고, 결정적인 것은, 서로 다른 두 소수 a,b의 곱셈과 나눗셈으로는 a,b와 또다른 소수 c를 나타낼 수 없기 때문이다.

게임 프로그래밍에서도 요긴하게 쓸 수 있는데, 대미지 숫자 표기 시 이미지 좌표 계산할 때 쓰인다. 대미지값에 상용로그를 씌워 몇 자리인지 간단하게 나오기 때문. 물론 대미지가 0이 나오는 상황[9]인 경우를 대비해서 따로 조건문을 만들어 둬야 하는 것은 기본.
  1. ↑ 로그가 나오기 전에는 먼저 곱하는 두 수를 모두 1 이하가 되도록 적당히 10의 음의 정수 제곱을 곱하고 (14417×56723=10^-4^ ×10^-4^ ×0.14417×0.56723)이렇게 만든 1 이하의 두 수에 해당되는 삼각비를 구한다. (0.14417=sin8.289˚, 0.56723=sin34.56˚)그리고 삼각함수의 곱을 합으로 고치는 공식으로 합으로 고쳐서 계산해주고 (sin8.289˚×sin34.56˚=-1/2(cos42.849˚-cos26.271˚)) 처음에 곱했던 10의 거듭제곱으로 나눠서…… 구했다. 그래프를 그려보면 알겠지만 삼각함수가 로그함수보다 근사시키기 어려운 고로 정확한 값을 얻기 힘들다.
  2. ↑ 로그함수의 시초는 네이피어가 계산을 좀 더 편리하게 하려고 만든 자연로그였다. 상용로그는 브리그스가 자연로그를 계산하기 좀 더 편하게 변형한 거
  3. ↑ 계산기처럼 지금도 상용로그를 logx라고 쓰는 분야도 있다.
  4. ↑ 그리고 고등학교 과정에서 토나오도록 로그 계산을 하다보면 7을 제외한 모든 숫자의 상용로그값을 대충 외우게 된다. 2와 3의 로그값을 알면 7을 제외한 모든 10이하 자연수의 상용로그 값을 계산할 수 있는데, log2와 log3은 정말 지긋지긋하게 나오기 때문.
  5. ↑ log5는 로그의 성질에 따라 log2+log5=log(2×5)=log10=1이므로 log2만 알면 된다. 마찬가지로 log4=log2+log2, log6=log2+log3, log8=log2+log2+log2, log9=log3+log3또한 성립한다.
  6. ↑ 산술의 기본정리(Fundamental theorem of arithmetic)에 따라 1을 제외한 모든 자연수 n은 적당한 소수 p1,……,pk하고 자연수 e1,……,ek가 있어서 n=p1^e1^ ……pk^ek^ 꼴로 소인수분해 할 수 있고, 그러므로 logn=e1logp1+e2logp2+...+eklogpk이기 때문. 똑같은 방법으로 n번째 소수를 qn이라고 하면 qn+1이 나오기 전까지의 자연수들의 상용로그를 q1(=2)부터 qn까지의 소수들로 구할 수 있다.
  7. ↑ 보면 알겠지만 바닥함수(고등학교까지는 가우스함수라고 배우는 그것)에 logx를 넣으면 지표가 나온다. 가수는 (logx)-a로 계산하면 되고.
  8. ↑ 현재 고1 교육과정에서는 a를 정수부분, n을 소수부분이라고 쉬운 단어로 가르친다.
  9. ↑ 당연하지만 0이 아닌 수를 제곱해서 0이 나오는 것은 불가능하기 때문에 log 0은 정의되지 않는다.