| 고른 다면체 | |||||||
| 정다면체 | 준정다면체 | 반정다면체 | |||||
| 볼록 정다면체 | 오목 정다면체 | 오목 준정다면체 | 아르키메데스 다면체 | 각기둥 | 엇각기둥 | 오목 반정다면체 | |
| 고르지 않은 다면체 | |||||||
| 존슨 다면체 | 카탈랑 다면체 | 다각뿔 | 쌍각뿔 | 엇쌍다각뿔 | |||
| 정다면체 | ||||
| 플라톤 다면체 볼록 정다면체 | 케플러-푸앵소 다면체 오목 정다면체 | |||
| 정사면체 | 정육면체, 정팔면체 | 정십이면체, 정이십면체 | 작은 별모양 십이면체, 큰 십이면체 | 큰 별모양 십이면체, 큰 이십면체 |
1 개요
-多面體/Kepler–Poinsot polyhedron/ solid
정다면체를 이루는 면의 개념을 오목 정다각형(또는 정다각별)[1]으로 확장시켜 얻어지는 다면체(1619년, 요하네스 케플러의 정의)와 면이 만나는 횟수를 분수번[2]으로 확장시켜 만들어지는 다면체(1809년 루이스 푸앵소가 발견). 모든 면이 합동이며, 모든 꼭지점에서 면이 만나는 개수가 같다는 점에서 정다면체의 성질을 가지고 있지만 다면체가 볼록하지 않고 오목하다는 점에서 다르다. 이 때문에 볼록한 정다면체와 구별하여 "오목정다면체"라고 부르기도 한다.
2 성질
1. 모든 면이 합동이다.
2. 모든 꼭지점에서 만나는 면의 개수가 같다.
3. 면의 형태가 5/2각형이거나 각각의 면이 한 꼭지점에서 5/2번 만난다.[3]
2.1 케플러-푸앵소 다면체
네 개의 케플러-푸앵소 다면체가 존재한다.
왼쪽부터 작은 별모양 십이면체, 큰 별모양 십이면체, 큰 십이면체, 큰 이십면체. (면의 형태를 보이기 위해 한 개의 면이 색칠되어있다.)
- 작은 별모양 십이면체 : 12개의 5/2각형(오각별)으로 이루어져 있다. 한 꼭지점에서 만나는 면의 개수는 5개. {5/2, 5}[4]
- 큰 별모양 십이면체 : 12개의 5/2각형(오각별)으로 이루어져 있다. 한 꼭지점에서 만나는 면의 개수는 3개. {5/2, 3}
- 큰 십이면체 : 12개의 정오각형으로 이루어져 있으나, 한 꼭지점에서 오각형이 분수번 만난다는 점에서 십이면체와는 다르다. 한 꼭지점에서 만나는 면의 개수는 5/2개. {5, 5/2}
- 큰 이십면체 : 20개의 정삼각형으로 이루어져 있으나, 분수번 만난다는 점에서 이십면체와는 다르다. 한 꼭지점에서 만나는 면의 개수는 5/2개. {3, 5/2}
2.2 쌍대 다면체
정다면체의 쌍대 다면체[5]가 정다면체[6]이듯, 케플러-푸앵소 다면체의 쌍대 도형도 케플러-푸앵소 다면체이다.
작은 별모양 십이면체 {5/2, 5} - 큰 십이면체 {5, 5/2}와
큰 별모양 이십면체 {5/2, 3} - 큰 이십면체 {3, 5/2}가 서로 쌍대 다면체 관계이다.
2.3 볼록 정다면체와의 관계
튀어나온 꼭지점들 중 가장 가까운 꼭지점끼리 이어 보면 정다면체가 만들어진다. 작은 별모양 십이면체, 큰 이십면체, 큰 십이면체의 경우 정이십면체가 만들어지고, 큰 별모양 십이면체의 경우 정십이면체가 만들어진다.
그 밖에도 케플러-푸앵소 다면체의 면이 겹쳐져 생기는 내부의 도형을 자세히 관찰하면 정십이면체나 정이십면체를 볼 수 있다.
3 연관항목
- ↑ 정오각별은 5/2각형이라고 불린다.
- ↑ 5/2번 만난다. 쉽게 말해 한 꼭지점에서 만나는 각각의 다각형이 별모양을 이루며 만나도록 한다는 의미이다. 5/2각형의 형태가 정오각별이라는 점을 참고하자.
- ↑ 위 1, 2번 설명을 참고하자. 잘 이해가 되지 않는다면 오른쪽 링크를 참고하자. [1]
- ↑ {a, b}는 a각형이 b번 만나는 형태의 다면체를 의미한다.
- ↑ 어떤 다면체의 꼭지점을 면으로, 면을 꼭지점으로 대체한 다면체를 쌍대 다면체라고 한다. 꼭지점을 면으로, 면을 꼭지점으로 바꾼 뒤 다시 같은 행동을 반복하면 원래의 도형이 나오기 때문에 쌍대 다면체는 서로 한 짝을 이룬다.
- ↑ 정사면체의 쌍대 다면체는 정사면체 자신이고, 정육면체-정팔면체, 정십이면체-정이십면체는 서로 쌍대 다면체이다.