정이십면체

정다면체
플라톤 다면체 볼록 정다면체			케플러-푸앵소 다면체 오목 정다면체
정사면체	정육면체, 정팔면체	정십이면체, 정이십면체	작은 별모양 십이면체, 큰 십이면체	큰 별모양 십이면체, 큰 이십면체

정다면체중 하나인 정이십면체의 모습.

1 개요

正二十面體, Icosahedron

한 개의 꼭짓점에 다섯 개의 정삼각형이 만나고, 총 스무 개의 면으로 이루어진 다면체. 정다면체들 중 가장 많은 수의 면을 가졌다.

정이십면체에서 두 면이 이루는 이면각은 $$\displaystyle\sin^{-1}\frac{-\sqrt{5}}{3}\approx138.19^\circ$$ 로, 3개의 정이십면체가 한 모서리에서 만난다고 가정하면 414.57º로 360º를 초과하기 때문에 4차원 볼록 정다포체를 만들 수 없다.

2 정이십면체에 대한 정보

단위/특성	개수	비고
슐레플리 부호		{3,5}
꼭지점(vertex, 0차원)	12
모서리(edge), 1차원)	30
면(face, 2차원)	20	정삼각형
쌍대		정십이면체 {5,3}
포함 관계 또는 다른 이름		비틀어 늘린 맞붙인 오각뿔 (Gyroelongated bipyramid) 다듬은 사사면체 (Snub Tetratetrahedron) 다듬은 정팔면체 (Snub octahedron) 다듬은 엇정삼각기둥 (Snub triangular antiprism)

한 변의 길이가 $$a$$ 인 정이십면체가 있을 때

외접구의 반지름 = $$\displaystyle\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}a$$
내접구의 반지름 = $$\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{12}(3+\sqrt{5})a$$
총 모서리 길이(total edge length) = $$30a$$
겉넓이(surface area) = $$5\sqrt{3}a^2$$
부피(volume) = $$\displaystyle\frac{5}{12}({3+\sqrt{5}})a^3=\frac{5\varphi^2}{6}a^3$$

2.1 다른 정다면체들과의 관계

• 정이십면체는 정십이면체와 쌍대(Dual) 도형이다.
• 정팔면체의 12개 모서리들을 잘 황금분할하여 서로 이으면 정이십면체가 된다.

3 현실에서의 예시

• 수많은 바이러스
  • 박테리오파지
  • 아데노바이러스
• 감마-붕소(γ-boron)
• 골프공
• 지오데식 돔
• 정이십면체 주사위