다면체

고른 다면체
정다면체준정다면체반정다면체
볼록 정다면체오목 정다면체오목 준정다면체아르키메데스 다면체각기둥엇각기둥오목 반정다면체
고르지 않은 다면체
존슨 다면체카탈랑 다면체다각뿔쌍각뿔엇쌍다각뿔

多面體/Polyhedron

1 개요

기하학에 등장하는 3차원 도형의 일종.

사전적 정의는 '평면 다각형으로 둘러싸인 입체도형'으로 평면위에 있지 않은 도형이다. [1]

현대 수학에서 상식적으로 다면체인 물건을 포괄할 수 있는 엄밀한 정의는 존재하지 않는다. 유클리드부터 시작해서 케플러, 푸앵소, 코시 등 시도한 수학자들은 많은데 결과는 영 좋지 않았다. 그래서 우리는 다행히도 직관적으로만 이해하면 된다.

다면체는 이들의 구성요소로 이루어진 도형이다.

  • 0차원: 꼭지점은 변이 끝나는 점이다.
  • 1차원: 변 또는 모서리는 꼭지점과 꼭지점을 연결하는 선이며, 면과 면의 경계선이기도 하다.
  • 2차원: 면은 변들로 둘러싸여 있으며, 대체로 다각형이라는 평면 도형의 형태를 취한다.
  • 3차원: 포(cell) 혹은 내부(body)는 면들로 둘러싸인 안쪽 부분을 말한다.

모든 변이 같은 정다각형이고, 꼭지점에 같은 수의 다각형이 모이는 다면체를 정다면체라고 한다. [2] 정다각형이 무한히 많은 것과 대비되게 정다면체는 다섯밖에 없다. 자세한 것은 항목 참고. [3]

반면에 일반적 다면체의 모양은 상상을 초월하도록 다양하게 나올 수 있다. 사면체는 각 면의 다각형의 수를 보았을때 한가지 형태만 있지만 오면체부터는 두개 이상이 있다. 육면체의 경우 정육면체나 직육면체를 잡아 늘린 도형, 오각뿔, 삼각쌍뿔의 세 종류이다. 이런 식으로 계속 올라가다보면 혐오(...)스러울 정도로 복잡한 다면체를 만날 수 있다.

다면체를 임의의 차원으로 확장한 폴리토프(Polytope)는 'n차원 공간 내에 존재하면서 오로지 (n-1)차원 공간의 면으로만 이루어진 도형'으로 생각할 수 있다. 웬만한 위키러들은 n이 4만 넘어가도 지끈지끈할 것이다.

고대부터 현재까지 정말로 많은 연구가 진행된 분야이며, 이건 입체기하학의 주요 주제 중 하나다.[4] 깊이 파고들면 매우 흥미로운 분야이다. 다른 수학분야보다 비교적 쉽고 간단해 덕질의 분야로 손색이 없다. 깊게 파려면 언어의 장벽을 해치워야 한다 여러 다면체에 대해 보고 싶다면 [1] 참고. 낱낱의 다면체들에 대한 정보를 알고 싶으면 영어 위키백과를 참고. 간단하게 개요를 알고 싶으면 50쪽 짜리 플라톤과 아르키메데스 입체를 추천한다. 위에 언급된 폴리토프까지 합해 제대로 알고 싶으면 H. S. M. Coxeter의 Regular Polytope 를 추천한다. 영어다

2 공통 성질

  • 말 그대로, 곡면이 없다.
  • 당연하다면 당연한 거지만 한 변엔 꼭짓점이 두 개고, 한 꼭짓점엔 변 두개가 있다. 볼록다면체 한정.
  • 오일러 지표 : 꼭지점- 모서리의 수 + 면의수 = 2라는 등식이 항상 성립한다.[5] 단 구와 같은 연결상태 한정. 다른 오목다면체로 가면 2가 아니라 안드로메다로 가는 경우도 많다.
  • 가향성(Orientability)
  • 꼭짓점 도형(Vertex figure) : 한 다면체의 한 꼭짓점과 연결되는 다른 모든 꼭짓점들을 연결해 만든 평면도형. 이 도형이 정다각형일 경우, 이 다면체는 정다면체다.

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  • 쌍대성(Duality) : 모든 다면체는 원래 다면체와 같은 개수의 모서리를 갖고, 원래 다면체의 꼭짓점 자리에 면이 있으며 같은 오일러 쌍대다면체가 존재한다. 위 사진에서 정육면체의 쌍대는 정팔면체고, 정팔면체의 쌍대는 정육면체다.

3 용어

  • 점추이(Isogonal, Vertex-transitive) : 쉽게 말하자면 한 점에 모인 면들의 개수와 종류가 일정하다는 것. 예를 들어 한 꼭짓점에 정사각형, 정삼각형, 정오각형 각각 한개씩 모이면 다른 꼭짓점에도 똑같은 배치로 한 개씩 모여있다면 점추이.
  • 변추이(Isotoxal, Edge-transitive) : 똑같이, 한 변에 모인 면의 크기, 종류와 배치가 일정한 것. 한 변에 삼각형, 오각형이 모여있으면 다른 변에도 같은 배치로 모여있다면 변추이. 여기서 toxal이란 말은 그리스어로 원호라는 뜻.
  • 면추이(Isohedral, Face-transitive) : 한 면에서 모이는 면의 순서와 종류, 배치가 같은 것을 면추이라고 한다.

3.1 슐레플리 부호

  • 정다면체는 {p, q}로 표시한다. p는 한 면에 있는 변의 개수, q는 한 꼭짓점에 있는 면의 개수를 의미한다. 예로 정사면체는 {3, 3}, 정육면체는 {4,3}이다.
  • {p, q}의 쌍대는 묘하게도 {q, p}가 된다.
  • 준정다면체는 8a937511ddf5e03ed13bb8859817f10b.png 로 표시하는데, p와 q 각각 두 쌍대 {p, q}와 {q, p}의 알파벳을 의미한다. 즉 준정다면체는 두 쌍대다면체 한쌍이 합쳐진 꼴.
  • 더 자세히 들어가면 q는 다면체의 꼭짓점 도형의 변의 개수. 오목한 다면체에서는 이렇게 정의한다.
  • 각기둥은 {n} × { }, 엇각기둥은 { } ⨂ {n}로 표시하는데, 여기서 { } 는 이각형 또는 선분을 의미한다.

4 다면체의 종류

  • 볼록 다면체 : 볼록. 모든 면끼리 교차하지 않는다. 오일러 지표가 2다.
  • 오목 다면체 : 오목. 면들이 교차하기도. 오일러 지표가 제멋대로다. 한 꼭짓점에 들어가는 면들의 내각의 합이 360도 이상.
  • Regular Polyhedron : 영어로 정다면체를 의미한다. 하지만 한국에서 사용하는 의미의 정다면체랑 약간 다른데, 정다면체라는 건 모든 면이 정다각형이며 합동이고, 한 꼭짓점에 들어오는 면의 개수가 같은 것을 의미하는데 별 정다면체의 경우 역시 한 면이 다른 면과 교차한다고 보는 것. 그리고 다각형 항목에 보면 정다각형에 또 펜타그램같은 도형이 포함되어있다. 그 결과로 이 두가지 볼록하고 오목한 두 다면체 분류가 하나로 나온 것이다. 점추이, 면추이, 변추이다. 재밌는 건 이 다면체의 쌍대는 이중의 다른 다면체라는 것.
    • 정다면체(Platonic solids) : 정다면체. 모든 면이 합동이며, 한 꼭짓점에 들어가는 면의 개수가 같다. 그리고 결정적으로 볼록하다. 서양에서는 플라톤 다면체란 말로 별 정다면체와 구분하고 있다. 모든 정다면체의 개수는 5개이다. 유클리드는 각각의 다면체가 하나의 원소를 나타낸다고 생각했다. 다시말해 4원소설.[6]
      • 정사면체({3, 3})
      • 정육면체({4, 3})
      • 정팔면체({3, 4})
      • 정십이면체({5, 3})
      • 정이십면체({3, 5})
    • 별 정다면체(Kepler-Poinsot Polyhedron) : 정다면체는 정다면체인데, 오목하게 들어가는 정다면체이다. 즉 오일러 지표가 2가 아니다. 영어는 케플러-푸앵소 다면체로 플라톤 다면체와 구별하고 있다. 총 4가지가 있다. 2개는 케플러가, 2개는 푸앵소가 발견.
      • 작은 별모양 십이면체
      • 큰 십이면체
      • 큰 별모양 십이면체
      • 큰 이십면체
  • 준정다면체(Quasiregular Polyhedron) : 변추이인 다면체. 이 정의로 자연스럽게 모든 면이 정다각형이다. 준정다면체는 위에서 알 수 있듯이 쌍대인 정다면체 1쌍이 합쳐진 꼴이다.
  • 반정다면체(Semiregular Polyhedron) : 점추이지만 변추이와 면추이는 아니고 모든 면이 정다각형인 것들. 이것도 정의가 두가지인데, 어떤 사람들은 변추이와 면추이는 아니라는 사람이 있고, 어떤 사람은 '아닌' 게 아니라는 사람도 있다. 안그래도 복잡한데
    • 아르키메데스 다면체(Archimedean solid) : 기둥들을 뺀 모든 볼록 반정다면체들. 이중 2개는 준정다면체도 겸한다. 여기서 알 수 있듯이 아르키메데스가 연구를 시작했고 르네상스때 재발굴되어서 케플러가 연구를 끝냈다.
    • 각기둥(Prism)과 엇각기둥(Antiprism) : 위아래가 정다각형이고 옆면이 모두 직사각형인게 각기둥, 위아래가 정다각형이며 뒤틀리게 꼬인 각기둥이 엇각기둥.
  • 고른 다면체(Uniform polyhedron) : 정다각형을 면으로 가지며 점추이인 다면체.
  • 귀족 다면체(Noble polyhedron) : 점추이이고 면추이이지만 변추이는 아닌 특이한 다면체.

5 준정다면체? 반정다면체?

사실 원래 준정다면체는 반정다면체가 되어야 하고 반정다면체는 준정다면체가 되어야 하는데 한국에 이 지식을 처음 들여올 때 일본에서 번역해 들어오다가 어딘가가 뒤틀려 순서가 바뀌어버렸다. 그리하여 현재 준정다면체는 반정다면체가 되고 반정다면체는 준정다면체가 되어버렸다. 공통점은 이름이 그때그때 달라진다는 거. 게슈탈트 붕괴

6 확장

다면체가 3차원이라는 것을 보면, 수학적으로 이를 확장할 수도 있다. 즉 다면체를 뭉쳐서 새로운 차원의 도형으로 만들어야 하는 것인데 이를 초(超)다면체 또는 다포체라고 한다. 이를 제대로 표현하려면 차원의 개념이 4차원 이상으로 넘어가야 하는데, 여기서부터는 일반적으로 접할 수 있는 '도형'의 범주를 벗어난다. 멘탈붕괴

7 관련 항목

  1. ↑ 그렇기에 일면체부터 삼면체까지는 3차원 공간에서 존재할 수 없다. 전문 용어로는 축퇴된다(degenerate)고 하기도 한다.
  2. ↑ 꼭지점에서 만나는 다각형의 수가 다른 경우에는, 예를 들어 정사면체를 두개 붙인 도형 등은, 인정하지 않는다.
  3. ↑ 정의에 따라 오목한 정다면체 4개가 들어갈 수 있다.
  4. ↑ 물론 거의 모든 연구가 끝났지만 이제 위상수학으로 옮겨가고 있다?
  5. ↑ 초등학교에서 잠깐 배우고 바로 까먹다가 나중에 나오면 뒤통수치는, 위상수학에서도 중요한 개념이다.
  6. ↑ 정사면체는 불, 정육면체는 흙, 정팔면체는 공기, 정이십면체는 물, 그리고 정십이면체는 우주라고 생각했다.