사면체

사면체의 모습.

四面體, Tetrahedron

한 개의 꼭짓점에 세 개의 면이 만나고, 네 개의 삼각형면으로 이루어진 다면체. 가장 적은 수의 면으로 구성된 다면체인 단체(simplex)로, 삼각뿔이라고도 불린다. 면들이 모두 정삼각형일 경우 정사면체라고 부른다. 정사면체 단독으로만은 정육면체와 같이 공간을 빈틈 없이 공간을 채울 수 없으나, 정팔면체의 면과 정사면체의 면을 이어붙이는 방식으로 함께 배열할 경우 공간을 빈틈 없이 채울 수 있다. 무게중심이 정육면체보다 아래에 있어서 더 안정적이다.

1 정사면체

정다면체중 하나인 정사면체의 모습.

정다면체
플라톤 다면체 볼록 정다면체			케플러-푸앵소 다면체 오목 정다면체
정사면체	정육면체, 정팔면체	정십이면체, 정이십면체	작은 별모양 십이면체, 큰 십이면체	큰 별모양 십이면체, 큰 이십면체

正四面體, Regular tetrahedron

면들이 모두 정삼각형인 사면체를 특별히 정사면체라고 부른다. 정사면체는 정삼각뿔의 일종이다.
정사면체 다섯 개로 4차원 도형인 정오포체를 만들 수 있다.

1.1 정사면체에 대한 정보

단위/특성	개수	비고
슐레플리 부호		{3,3}
꼭지점(vertex, 0차원)	4
모서리(edge), 1차원)	6
면(face, 2차원)	4	정삼각형
쌍대		정사면체 {3,3}
포함 관계 또는 다른 이름		정삼각뿔(Equilateral triangular Pyramid) 3-심플렉스(3-Simplex)

한 변의 길이가 [math]a[/math]인 정사면체가 있을 때
높이(height) = [math]\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{3}a[/math]
외접구의 반지름 = [math]\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{4}a[/math]
내접구의 반지름 = [math]\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{12}a[/math]
총 모서리 길이(total edge length) = [math]6a[/math]
겉넓이(surface area) = [math]\sqrt{3}a^2[/math]
부피(volume) = [math]\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{12}a^3[/math]

1.2 다른 정다면체들과의 관계

• 정사면체는 특이하게도 정사면체 자기 자신과 쌍대(Dual) 도형이다.
• 정사면체의 꼭지점에서 모서리들의 절반 지점에 있는 점들을 이은 4개의 면들로 잘라내면 정팔면체가 만들어진다.
• 정육면체의 8개 꼭지점 중에서 서로 이웃하지 않은 꼭지점을 이은 선분으로 이루어진 도형은 정사면체이다.
• 정사면체를 단위로 해서 만들 수 있는 4차원 도형로 정오포체, 정십육포체, 정육백포체가 있다.

1.3 여담

정다면체들 중에서 유일하게 안정적으로 세워놓았을 때 위를 향하는 면이 없다. 따라서 주사위를 만들었을 때 면이 아닌 꼭지점을 기준으로 숫자를 표기하기도 한다.

2 현실에서의 예시

• 방파제
• 사면체형 우유 팩. 국내에서는 커피포리가 유명하다.
• 메테인, 실레인(Silane), 암모니아, 암모늄, 포스핀, 아르신(Arsine) 이온 등 일부 4~5분자 화합물. 5분자 화합물의 경우 중심 원자를 제외한 나머지 원자들이 사면체 모양을 가진다.
• 피라밍크스
• 정사면체 주사위