각뿔

고른 다면체
정다면체준정다면체반정다면체
볼록 정다면체오목 정다면체오목 준정다면체아르키메데스 다면체각기둥엇각기둥오목 반정다면체
고르지 않은 다면체
존슨 다면체카탈랑 다면체다각뿔쌍각뿔엇쌍다각뿔
삼각뿔사각뿔오각뿔육각뿔오각별뿔[1]

1 개요

角뿔, Pyramid

다각형을 밑면으로 삼고, 다각형의 모든 변을 다각형이 존재하는 평면 밖의 한 점(정점, 頂點)과 이은 입체 도형.

밑면 하나와 밑면의 변의 개수만큼의 삼각형 옆면으로 이루어져 있다. 삼각뿔의 경우 밑면도 삼각형이므로 밑면과 옆면을 구분할 수 없다. 모든 면이 정다각형인 볼록 다각뿔은 유클리드 공간에서 오직 3개(정삼각뿔, 정사각뿔(J1), 정오각뿔(J2))만 존재한다.[2]

각뿔의 밑면과 평행한 모든 단면은 밑면과 닮음이다.

2 일반적인 다각뿔에 대한 정보

각기둥 밑면의 넓이를 [math]A[/math], 밑면의 둘레를 [math]\ell[/math], 높이를 [math]h[/math]라고 할 때

부피(volume) = [math]\displaystyle\frac{1}{3}Ah[/math]

2.1 정n각뿔에 대한 정보

단위/특성개수비고
슐레플리 부호()∨{n}[3][4]
꼭지점(vertex, 0차원)n+1
모서리(edge), 1차원)2n
면(face, 2차원)n+1정n각형, 삼각형×n
쌍대정n각뿔[5]

3 확장된 의미

2차원 다각형의 변을 한 점과 이어 3차원 도형인 각기둥을 만들 수 있듯이, n차원의 도형들을 한 차원 더 높은 차원의 어느 한 점과 이어 초각뿔(hyperpyramid)을 만들 수 있다. 슐레플리 부호는 ()∨P[6]로 3차원 다각뿔과 같다.

밑면의 초넓이가 A[7], 높이가 h인 초부피의 높이 t에서의 단면은

[math]\displaystyle A\left(\frac{h-t}{h}\right)^{n-1}[/math]

이므로, 높이 0~h까지 적분하면

[math]\displaystyle\int^{h}_{0}A\left(\frac{h-t}{h}\right)^{n-1}\, dt[/math]
[math]=\,\displaystyle-A\frac{h}{n}\left[\left(\frac{h-t}{h}\right)^n\right]^{h}_{0}[/math]
[math]=\,\displaystyle\frac{1}{n}Ah[/math]

따라서 밑넓이 A, 높이 h인 n차원 초각뿔의 부피는 [math]\displaystyle\frac{1}{n}Ah[/math]이다.
  1. ↑ 이게 왜 다각뿔에 해당하는지 궁금할 수도 있으나, 슐레플리 부호로 ()∨{5/2}인 오목 정다각뿔이다. 자세한 내용은 정n각뿔에 대한 정보에서 슐레플리 부호를 참조.
  2. ↑ 정삼각형이 6개 모이면 각도가 360º가 되고, 이는 평면도형으로 축퇴되며, 당연히 이보다 많은 정삼각형은 한 점에 모을 수 없다.
  3. ↑ 슐레플리 부호에서 ()는 점을 의미하며, ∨는 한 지점으로 도형을 잇는다는 연산자이다.
  4. ↑ 참고로 {}는 선분을 의미하고, ()∨{}는 선분의 양 끝을 한 점과 이은 도형, 즉 삼각형을 의미한다.
  5. ↑ 밑면과 옆면을 꼭지점으로 치환하고 다시 이어도 똑같은 모양이 된다.
  6. ↑ 단, P는 n-1차원 도형
  7. ↑ n차원 초입체를 이루는, n-1차원 도형. 면처럼 취급한다.