케플러-푸앵소 다면체

고른 다면체
정다면체		준정다면체		반정다면체
볼록 정다면체	오목 정다면체	오목 준정다면체	아르키메데스 다면체		각기둥	엇각기둥	오목 반정다면체

고르지 않은 다면체
존슨 다면체	카탈랑 다면체	다각뿔	쌍각뿔	엇쌍다각뿔

정다면체
플라톤 다면체 볼록 정다면체			케플러-푸앵소 다면체 오목 정다면체
정사면체	정육면체, 정팔면체	정십이면체, 정이십면체	작은 별모양 십이면체, 큰 십이면체	큰 별모양 십이면체, 큰 이십면체

1 개요

-多面體/Kepler–Poinsot polyhedron/ solid

기하학에 등장하는 3차원 도형의 일종.

정다면체를 이루는 면의 개념을 오목 정다각형(또는 정다각별)으로 확장시켜 얻어지는 다면체(1619년, 요하네스 케플러의 정의)와 면이 만나는 횟수를 분수번으로 확장시켜 만들어지는 다면체(1809년 루이스 푸앵소가 발견). 모든 면이 합동이며, 모든 꼭지점에서 면이 만나는 개수가 같다는 점에서 정다면체의 성질을 가지고 있지만 다면체가 볼록하지 않고 오목하다는 점에서 다르다. 이 때문에 볼록한 정다면체와 구별하여 "오목정다면체"라고 부르기도 한다.

2 성질

1. 모든 면이 합동이다.
2. 모든 꼭지점에서 만나는 면의 개수가 같다.
3. 면의 형태가 5/2각형이거나 각각의 면이 한 꼭지점에서 5/2번 만난다.

2.1 케플러-푸앵소 다면체

네 개의 케플러-푸앵소 다면체가 존재한다.

왼쪽부터 작은 별모양 십이면체, 큰 별모양 십이면체, 큰 십이면체, 큰 이십면체. (면의 형태를 보이기 위해 한 개의 면이 색칠되어있다.)

• 작은 별모양 십이면체 : 12개의 5/2각형(오각별)으로 이루어져 있다. 한 꼭지점에서 만나는 면의 개수는 5개. {5/2, 5}
• 큰 별모양 십이면체 : 12개의 5/2각형(오각별)으로 이루어져 있다. 한 꼭지점에서 만나는 면의 개수는 3개. {5/2, 3}
• 큰 십이면체 : 12개의 정오각형으로 이루어져 있으나, 한 꼭지점에서 오각형이 분수번 만난다는 점에서 십이면체와는 다르다. 한 꼭지점에서 만나는 면의 개수는 5/2개. {5, 5/2}
• 큰 이십면체 : 20개의 정삼각형으로 이루어져 있으나, 분수번 만난다는 점에서 이십면체와는 다르다. 한 꼭지점에서 만나는 면의 개수는 5/2개. {3, 5/2}

2.2 쌍대 다면체

정다면체의 쌍대 다면체가 정다면체이듯, 케플러-푸앵소 다면체의 쌍대 도형도 케플러-푸앵소 다면체이다.

작은 별모양 십이면체 {5/2, 5} - 큰 십이면체 {5, 5/2}와
큰 별모양 이십면체 {5/2, 3} - 큰 이십면체 {3, 5/2}가 서로 쌍대 다면체 관계이다.

2.3 볼록 정다면체와의 관계

튀어나온 꼭지점들 중 가장 가까운 꼭지점끼리 이어 보면 정다면체가 만들어진다. 작은 별모양 십이면체, 큰 이십면체, 큰 십이면체의 경우 정이십면체가 만들어지고, 큰 별모양 십이면체의 경우 정십이면체가 만들어진다.
그 밖에도 케플러-푸앵소 다면체의 면이 겹쳐져 생기는 내부의 도형을 자세히 관찰하면 정십이면체나 정이십면체를 볼 수 있다.

3 연관항목

• 정다면체
• 요하네스 케플러
• 루이스 푸앵소