자연로그

(Ln에서 넘어옴)

1 개요

자연상수 e를 밑으로 한 로그. 대한민국의 고등학교 과정에서는 로그를 배울 때 상용로그(log10)를 log(x)로 쓰기 때문에 logex는 ln(x)라고 쓴다. 그러나 대학교 이상 과정에서 log(x)라고 하면 자연로그를 의미한다.[1] 이 자연로그는 고교/대학과정 이상의 미적분에서 빠질 수 없는 필수요소이다.

자연상수 e는 [math]\displaystyle \lim_{n-\gt\infty} {(1+1/n)^{n}} = \lim _{n-\gt0} {(1+n)^{\frac{1}{n}}}[/math]로 정의되고, 대략 e=2.7182818284590452353602874713527…… 의 근사값을 갖는다. 이 수가 무리수임을 보이는 것은 쉬우나 [2] 정수다항식의 근이 될 수 없는 초월수라는 것을 보이는 것은 훨씬 어렵다. 여러 ee 등의 숫자들은, 심지어 e+π마저도, 무리수인지 유리수인지 조차 확인이 안되고 있다.
자연상수는 [math] \exp i \pi +1=0[/math] 이라는 세상에서 가장 아름답다고 하는 식에 나오기도 한다. 더욱 자세한 것은 자연상수 항목 참조. 현재 자연로그의 경우 고교과정에서 자연계열에만 편성되어있다.

2 진실?

하지만 고교과정에서 가르치는 이 접근은, 자연로그의 본질을 한참 놓치고 있다. 여기까지 읽어본 대다수의 위키러들은 도대체 자연로그가 왜 자연스러운지 전혀 납득을 할 수 없었을 것이다. 자연로그의 가장 명료한 정의는 1/x의 정적분이다. [3] 그리고 이 정의만으로 자연로그가 로그함수의 성질, logc ab = logc a + logc b, logc 1 = 0을 만족한다는 것을 보일 수 있다.

사실 자연로그의 특수성은 e라는 숫자가 아니라, 이 단순한 성질에 기인하고 있다. 어찌 보면 숫자 e는 사실 단순히 '1부터 e까지 1/x를 적분해 1이 되는 숫자'에 불과한 것이다. 이렇게 쓰면 '1부터 e까지 1/x를 적분해 1가 되는 숫자' 따위의 심심풀이 말장난하는 것 같이 보이겠지만, 자연로그가 로그함수이니 e가 자연로그의 밑이라는 의미가 된다.[4] 또한 이 정의를 사용해 지수와 로그의 이론을 전개하면, 지수함수와 로그함수에 대해 처음부터 수직선과 1:1 대응하는 실수를 정의역으로 자연스럽게 생각할 수 있다. 그러면 고교과정에서 지수함수부터 먼저 가르치기 때문에(그리고 지수함수는 곱셈의 횟수에서 나오고) 유리수 정의역을 넘어서면서부터는 곱셈의 횟수로는 도저히 생각할 수 없어 어쩔 수 없이 실수의 연속성에 기대야 하는 단계상의 비약을 피할 수 있다(이것도 정당하기는 정당하다만).

이렇고 저렇고를 떠나서, 이 정의와 앞의 정의를 문장별로 비교해보자. 어느 것이 더 자연스러운지? 사실 대학수학임에도 그렇게 본질적인 탐구가 필요한 부분이 아니기 때문에, 과학고등학교[5] 교육과정의 고급수학 교과서에 바로 적혀있는 내용이기도 하다. 다만, 위에서 말했듯 로그함수부터 먼저 정의하면 이번엔 지수함수의 정의가 부자연스럽게 바뀐다...

3 자연로그의 값은 어느정도?

참고로 1부터 10까지의 자연로그의 값을 32자리수[6] 까지 나타내면 다음과 같다. 한자 문화권 에서는 만단위로 끊어 쓰므로 편의를 위해서 네자리씩 끊었다.

ln1 = 0
ln2 = 0.6931 4718 0559 9453 0941 7232 1214 5818
ln3 = 1.0986 1228 8668 1096 9139 5245 2369 2250
ln4 = 1.3862 9436 1119 8906 1883 4464 2429 1640
ln5 = 1.6094 3791 2434 1003 7460 0759 3332 2620
ln6 = 1.7917 5946 9228 0550 0081 2477 3583 8070
ln7 = 1.9459 1014 9055 3133 0510 5352 7434 4320
ln8 = 2.0794 4154 1679 8359 2825 1696 3643 7450
ln9 = 2.1972 2457 7336 2193 8279 0490 4738 4510
ln10 = 2.3025 8509 2994 0456 8401 7991 4546 8440[7]

그리고 lne = 1, lnπ = 1.1447 2988 5849 4001 7414 3427 3513 5310
  1. ↑ 위키페디아에서는 혼란을 막기 위해 ln으로 표기를 통일하고 있다. 울프럼알파에서는 log(x)를 입력하면 자연로그로 처리한 뒤 10을 밑으로 갖는 로그를 찾은 경우를 대비해 짧은 설명과 링크를 달아준다.
  2. ↑ 귀류법으로 e = m/n이라 하고, e*n!을 생각해보자.
  3. ↑ 엄밀히 말하면 ln x는 1부터 x까지의 dy/y의 정적분. 역으로 자연로그를 미분하면 1/x가 된다.
  4. ↑ 그런데 심지어 이렇게 정의해도, e = (1+1/n)^n^ 을 증명하는 것은 외려 훨씬 쉬워진다!
  5. ↑ 대부분 사립일 수밖에 없는 다른 특목고와 달리 과학고등학교는 그 명백한 이유 때문에 모든 과고가 공립이니 과고에는 교육과정이 분명히 정해져 있다.
  6. ↑ 1구분의 1 자리수 까지 표현한 것이다. 1구 = 10^32^ = 1경의 제곱인 크고 아름다운수
  7. ↑ 마지막 자리수가 0인 것은 소수 제33자리의 수가 4이하일때 사사오입을 했기 때문이다.