도박사의 오류

賭博師의 誤謬, (영어)gambler's Fallacy; Monte Carlo Fallacy

1 개요

도박사의 오류란, 서로 영향을 끼치지 않는 일련의 확률적 사건들[1] 에서 상관 관계를 찾아내려 하는 사고의 오류를 이야기한다. 즉,

  • 확률적 결과값을 갖는 어떠한 사건이
  • 동일한 실행 조건 하에 ( = 확률은 매번 같은 분포를 따른다.)
  • 두 번 이상 일어나며 ( = 반복 시행이다.)
  • 사건의 발생이 다른 사건에 미치는 영향이 없다. ( = 반복 시행의 확률은 서로 독립이다.)

고 전제된 상황에서 각 사건 간의 상관 관계를 찾아내려는 행위가 도박사의 오류에서 기인하는 행동이라고 볼 수 있다.

쉽게 얘기하자면,

  • 동전을 던질 경우 (똑바로 서지 않는 한) 앞과 뒤 중 하나만 나올 수 있다.
  • 즉, 동전을 던질 때의 확률은 1/2이다.
  • 위에서 정의된 확률에 영향을 끼칠 수 있는 다른 외부 요인이 없는 한, 동전을 던지는 사건의 결과값은 언제나 1/2이다.

라고 보면 된다.

예를 들어, 동전을 10번 던졌을 때 앞과 뒤가 7:3의 비율로 나왔다고 할 때, "앞이 많이 나왔으니 다음도 앞이 나올 것이다" 라든지, "뒤가 적게 나왔으니 다음에는 뒤가 나올 차례이다" 라고 해석하는 것은 모두 도박사의 오류라는 것. 11번째에 앞이나 뒤가 나올 확률은 각각 50:50이다.

2 상세

우연은 기억도 양심도 없다. 부부가 여섯번째 딸을 가질 확률은 여전히 1/2이다. 룰렛에서 붉은색이 나올 확률도 여전히 1/2이며,주사위에서 2가 나올 확률은 언제나 1/6이다. 바꿔말하자면, 동전을 던져서 앞뒤를 알아맞히는 게임에서 앞면이 계속해서 다섯 번이 나왔다고 할 때 여섯번째 시도에서도 앞면이 나올 확률은 그전과 다름없이 역시 1/2이다. 동전은 앞에 던진 결과를 기억하지 않는 것이다.

- 마틴 가드너 , '이야기 파라독스' 제5장 확률의 파라독스 - '도박사의 궤변'.

이 오류는 "모든 독립사건은 앞에서 일어난 사건과 독립적으로 일어난다"라는 확률 이론의 가정을 받아들이지 않는 데서 발생한다. 이전 판의 결과가 다음 판에 영향을 끼칠 거라 생각하는, 일종의 보상 심리라고도 할 수 있다. '이만큼 잃었으니 다음 판에는 운이 좋겠지'라고. 결국 독립사건을 종속사건이라고 해석한 것에 따른 오류가 된다.

룰렛에도 똑같이 적용되는데 나온 숫자를 체크하고 분석한 뒤 '이 쪽 숫자가 안 나온지 한참 됐으니 다음에는 이 숫자가 나오겠군!' 하는 행위를 의외로 심심찮게 볼 수 있지만 '주사위(동전, 룰렛)'에 기억력 따위는 없다. 동전이 계속 앞면이 나왔다고 동전이 이것을 기억해서 "계속 앞면만 나왔으니 이번에는 뒷면이 나오게 해야지!" 이럴리 없다는 것이다. 육면체 주사위에서 어떤 눈이 나올 확률은 1/6이므로 이 확률에 의해 계산하면 육면체 주사위를 30번 던지면 각 눈이 5번씩 나온다는 계산이 나오지만, 진짜로 30번 던져보면 모든 눈이 5번씩 딱 맞춰서 골고루 나온다는 보장이 없다. 주사위를 계속 던져 3이 가장 적게 나왔다고 주사위가 이것을 기억해서 "3이 가장 적게 나왔으니 이번에는 3이 나오게 해야지!" 이럴리 없기 때문이다. 이는 수많은 인간들의 돈을 빨아내 카지노의 배를 채워준 인간 심리의 오류이자 카지노의 은인이다.

다만 블랙잭의 경우 한정적으로 이 오류가 들어맞는 경우가 있는데[2] 이에 관련된 이야기는 영화 21의 원작 'MIT 천재들의 라스베가스 습격'이라는 책에 잘 나오고 픽션이 조금 가미되긴 했지만 굵직한 사건들은 전부 논픽션. 하지만 이 경우는 이들이 카지노 상대로 돈을 딴 수법은 단순하지만 확실하고 정교한 확률이론에 바탕하고 있으므로 도박사의 오류 따위와 비교할 순 없다. 그래봤자 카지노의 손 위에서 놀아난 거였지만 MIT 천재들도 카지노는 못이긴다

단 이론상으로는 자신이 블랙잭을 반복하면서 나온 카드만을 기억하고 이 방식을 적용하는 것도 가능하지만, 현실적으로는 다른 플레이어들의 카드란 변수가 존재하기 때문에 성공 확률이 그리 높지 않다. 때문에 앞서 언급된 블랙잭 플레이어들은 성공 확률을 높이기 위해 팀을 짜서 카지노를 공략, 다른 팀원들이 게임판에 달라붙어 카드 돌아가는 모양새를 미리 파악하고, 승산이 높다고 판단되면 그제서야 "크게 왕창 걸어줄" 핵심 인물을 끌어들이는[3] 수법을 주로 구사했다. 즉 다른 플레이어들의 게임 정보를 이용한다는 시점에서 사기 도박이라 할 여지가 남아있는 셈.

하지만 이 오류와 상관없이 카지노의 도박은 수학적 확률을 들이댈 수 없는 종목이 많다. 한 판에 수억이 왔다갔다 하는 빅 게임이 자주 보이는 거대 카지노일수록 그런데, 카지노들이 괴수 딜러를 고용하는 경우가 많기 때문. 특히 룰렛 딜러의 경우 이에 관한 도시전설도 있는데, 이들을 스나이퍼라 부른다.

재미있게도 이 도박사의 오류는 이기는 사람은 계속 이기고, 지는 사람은 계속 지는 결과를 낳기도 한다. 이기는 사람은 '이번엔 이겼으니 다음판은 좀 불안해'라며 안전한 선택지를 고르는 경향을 보이고, 지는 사람은 반대로 '이번엔 졌으니 다음엔 분명히 뜬다!' 내지 '이번엔 이겼으니 다음에도 분명히 이긴다!'며 좀 더 위험하고 과감한 선택지를 고르는 심리를 보인다고.

또한 게이머들도 이러한 도박사의 오류를 쉽게 저지르는 모습을 보이곤 하는데, 예를 들면 어떤 게이머가 실패의 위험이 높은 강화를 하다 날려먹고 전체 챗창에 'ㅇㅇㅇ유저가 +15강화에 실패하였습니다.'라는 말이 뜨면 '이번엔 내 차례다!!'라며 강화를 지르는(...)모습을 보이는 경우가 있다. 그리고 그 다음은... 말 할것도 없이 게임제작사가 확률장난을 치지 않는 이상 강화의 확률은 게임 전체의 수량을 조절하는게 아니라 개별 확률이다.

강원랜드에 가보면 바카라라는 게임의 결과를 일일이 기록하며 대박을 노리는 사람들이 굉장히 많은데, 사실 거기 있는 사람 대부분이 그렇다. 상술했듯 게임 결과를 아무리 열심히 기록해봐야 다음 판도 100% 랜덤이므로 이런 행동은 전부 무용지물이다. 그 모습을 보면 이 간단한 오류가 얼마나 많은 사람의 인생을 망칠 수 있는지 알게 되고 섬뜩해진다.

같은 맥락에서 로또 등 여러 복권의 당첨 확률을 분석한다는 사람들도 많지만 이 역시 무익한 행위이다. 물론 그런 커뮤니티에 가보면 정말로 당첨되었다는 사례가 많지만... 조금 더 생각해보면 알 수 있는 것이 당첨이 안 된 자는 말이 없다. 보통 이런 '로또 당첨 확률을 높인다!'고 홍보하는 커뮤니티는 으레 사람이 몰리게 되어있으니 정비례해서 당첨되는 사람 수도 늘어나게 되어있다. 즉 커뮤니티가 대단해서 당첨되는 사람이 많이 나오는게 아니라 단지 사람이 많이 모이니 당첨되는 사람이 많이 나오는거다(...). 복권 당첨 확률은 추첨기계를 조작하지 않는 한 매번이 전부 동일하니 의미없는 뻘짓은 자제하도록 하자. 같은 자금으로 당첨률을 높이고 싶다면 꾸준히 사는 것보단 돈을 모아뒀다가 한번에 여러장을 사는 것을 추천한다.

이로한 도박사의 오류에 빠져있는 사람들의 대부분은 자기의 예상이 틀려도 자기가 잘못 생각한다고 인정하지 않는다.

예를 들어 룰렛의 경우

- 적색 숫자가 5연속 나왔으니 다음엔 흑색 숫자가 걸릴거야

- 홀이 5연속 나왔으니 다음엔 짝이 나올거야
- 이번에 '0(제로)'가 나왔으니 다음엔 '0'가 나오지 않을거야
- 오늘 하루종일 '21'이 나오지 않았으니 이제 나올때가 됐어

등의 착각을 하고 예상이 틀리면 다른 돌발 변수때문에 틀린것으로 생각한다.

- 하필이면 '00'가 터지는바람에 흐름이 바뀌어버렸어

- 마지막에 구슬이 튕겨서 들어갈데에 안들어가고 딴데에 들어갔어
- 딜러가 바뀌어서 판세가 달라졌어
- '34'도 가능성이 높은 거였는데 깜빡 못봤었네. 내가 왜 이 이걸 생각 못했을까?

이런식으로 여러가지 이유로 합리화하다가

- 이번에도 짝이 나오다니...이젠 홀이 나올가능성이 더 높아졌어. 꼭 나올꺼야.

이런식으로 추가적인 도박사의 오류에 빠지기도 한다.

3 적용상의 주의

이러한 예시에는 여러가지 가정이 전제되었기 때문에 가능하며, 현실에서는 100% 적용되지 않는다. 어디까지나 하나의 예시로만 받아들이자.

  • 주사위를 처음 던질 때 각 눈이 나올 확률은 1/6이다.
제조상의 이유나 마모, 던지는 이의 습관이나 손의 형태 등등 수치화 하기 힘들 정도로 미미한 부분 때문에 1/6에서 극히 미미하게 +-된다.
  • 주사위와 테이블은 절대로 마모되지 아니한다.
위의 가정만 있다해도 1회 던질 때마다 주사위와 테이블이 아주 미미하게 마모되기 때문에 1/6에서 극히 미미한 가감이 발생한다. 게다가 몇번 정도가 아니라 무한히 반복하게 되면 그것이 가시화 된다. 실제로 세상의 모든 주사위가 멀쩡하게 생겼을 리는 없으므로, 오랜 시행을 거쳤는데도 특정 숫자만 계속해서 여러번 나오는 주사위는 무게중심이 잘못 잡혀 있어 특정한 수가 나오는 빈도가 더 높게 설정되어 있는 등 문제가 있을 가능성이 높다. 표준 편차 등으로 이를 검증 가능하다.
  • 딜러는 속임수나 기타 기술을 사용하지 아니한다.
주사위에 특수한 가공을 했다거나, 딜러에게 주사위 눈을 조작하는 기술이 있다면 1/6이란 것 자체가 성립하지 않는다. 대놓고 이런걸 쓴다면 더더욱 말할 것도 없고
  • 확률이 변하지 않는다.
덱에서 첫번째 카드가 조커일 확률과, 첫번째가 틀렸을 때 두번째가 조커일 확률은 같지 않다. 첫번째는 2/54, 두번째는 2/53. 굉장히 복잡해서 어떤 과정인지 이해하기 힘든 게임이거나, 어떤 과정으로 뽑는지 공개되어 있지 않다면, 각각의 시행이 독립시행인지 아닌지 주의 깊게 살펴볼 필요가 있다.

다만 어느 수의 확률이 얼마나 변형됐는지 도저히 모른다면 1/6이라고 봐도 좋다. 위와 같은 조작은 딱히 어느 수를 선호할 리가 없으므로. 확률과 통계 선생님한테 일일히 이런거 묻지말자 혼난다.

4 기타

역으로 학자들(주로 경제학자)의 뒤떨어지는 현실감각을 비판할 때 '도박사의 오류'에 대한 믿음을 예로 드는 사람도 있다. 블랙 스완에서 저자 나심 탈레브는 "똑똑하신 학자들은 100번 던져 앞면이 100번 나온 동전을 다시 한 번 던질 때 또 앞면이 나올 확률을 자신 있게 2 분의 1 이라 하겠지만 현실 감각 있는 사람들은 동전에 무슨 장난을 쳤다는 것을 곧바로 눈치챌 것이다."라는 말을 남겼다.[4] '도박사의 오류'가 틀렸다는 게 아니라, 경제학자들의 탁상공론을 비판하는 이야기이므로 오해하지는 말 것.

특정 MMORPG 유저 일부가 철석같이 믿으면서 경험을 통한 통계라며 옹호하는 '강화제물' 또한 대표적인 도박사의 오류라고 할 수있다. 단, 강화와 관련한 프로그래밍에서 변수가 존재하지 않는 단순사이클을 채택한 일부 게임의 경우 강화제물이 진짜로 필요한 경우가 있다. SD건담 캡슐파이터 온라인이 대표적.[5]

참고로 요즘 대부분의 온라인 게임은 게임내 경제조절을 강화로 조절하는 경우가 많다. 그래서 수많은 대한민국의 온라인 게임은 강화 실패시 장비가 파괴되거나 강화 수치를 떨어뜨려 가치를 낮춘다. 당연히 이 확률은 서버상에서 실시간으로 조절이 가능하고 게임내 화폐를 관리하는 경제팀은 데이터를 토대로 강화률을 올리거나 낮춘다. 다만 사람이 일일히 계산할 순 없으므로 당연히 프로그램이 계산하고 그때그때마다 조절한다. 때문에 확률도 있지만 이러한 점도 고려해야 한다. 그러므로 재물은 몇몇게임에선 동일한 가치를 가진 물건의 강화 확률이 수시로 변한다는 점도 알고 있어야 한다.

또 다른 예로 AOS 게임에서의 크리티컬 확률이 있다. 크리티컬이 뜰 확률이 가령 a%로 정해져있다면, 100발을 쏘면 항상 a발 정도가 크리티컬이 뜨도록 프로그래밍 되어 있는 것이다. 그래서 한번 크리티컬이 터지면, 도통 크리티컬이 터지지 않고 반대로 크리티컬이 안 터지면 다음 평타에 크리티컬이 터질 실질확률이 올라간다. 잘 생각해보면 이게 왜 필요한지 알 수 있다. 예를 들어 리그 오브 레전드의 경우, 어떤 원딜 플레이어가 치명타 확률 룬을 5%를 박고 플레이한다고 가정해보자. 만약 저런 보장이 없다면, 정말로 무작위로 크리티컬이 터질 수 있는데, 그러면 400판에 한번으로 라인전에서 상대에게 첫타와 둘째타를 연이어 크리티컬을 먹일 확률이 있다는 소리다. 그런데 만약 그런 경우가 나오면, 그 판은 무조건 유리하게 가져갈 수 밖에 없으므로, 실력 싸움이 아니라 누가 다이스 갓의 가호를 더 많이 받느냐 게임이 되어버릴 것이다. 반면 이런 식으로 구성되어있기 때문에 어떤 플레이어들은 미니언 몇 타당 딜교환 한 번 등의 제물시행으로 실질 크리티컬 확률을 높이려고 한다. 크리티컬 확률이 순수 랜덤함수가 아니기 때문에 생각해볼 수 있는 행위다.

참고로 2015년 11월에 실시한 고2 전국연합평가 영어 지문에서 이 내용이 빈칸문제로 나왔다.

누구나 일상에서 써먹을 수 있도록 실용적인 측면에서 접근해보자. 수학이랑 친하지 않으면서, 실제로 게임이나 도박을 하는 플레이어들의 입장에서 말이다. 도박(뽑기)이란 '많이 시도하면 한 번 시도한 사람보다는 뽑힐 가능성이 높다'고 하는데 상식적으로 이는 분명 옳다. 그리고 1%의 뽑기를 100번 하더라도 뽑힐 가능성이 1에 가까워질 뿐 절대 1이 못 된다는 것도 모두가 안다. 하지만 한 번 시도하나 100번 시도하나 '시도한 순간'의 확률은 같다는 도박사의 오류를 잘못 이해하게 되면, 1번 뽑은 사람이나 100번 뽑은 사람이나 1번이라도 뽑힐 가능성은 동일하다고 착각하게 될 수 있다.

1/100의 당첨률을 가진 뽑기를 100번 뽑는다면 1 - (99/100)^100 = 0.63396765873 이 되므로 대략 63.3%의 확률로 1번은 뽑힐 거라 기대할 수 있다. 물론 이는 수학적으로 빈틈이 없는 계산이라기보다는, 비전공자의 입장에서 단순하게 '내가 뽑기를 몇 번 했는데 이게 뽑힐 확률이 얼마나 될까' 라는 생각을 그대로 풀어낸 계산이다. 즉 도박사의 오류 이야기는 도박을 시도할 때의 확률이 이전의 결과와 무관하다는 의미일 뿐, 시도 횟수가 도박의 결과에 영향을 미치지 않는다는 의미는 아니다. 말하자면 언젠가는 나오겠지다음에야말로 나오겠지의 차이.

5 예문

한 환자영 좋지 않은 곳에 총알을 맞고 의사양반을 찾아갔다. 의사양반 왈, "이 수술의 성공률은 약 1/10입니다." 환자는 한숨을 쉬면서 "아니 그러면 저도…" 의사양반 또 왈, "하지만 걱정하지 마십시오. 당신은 틀림없이 완치됩니다." 환자는 생기를 띠면서 "아니 그건 어째섭니까?" "이제까지 내 손에서 9명이 고자가 됐거든요" 라고 의사양반이 대답했다.[6]
어느 프로게이머는 지금까지 연속으로 준우승만 해왔다. 이번엔 분명 우승 할 때가 된 것 같다. 우승에 걸어보자!왜 두번째일까
지금까지 나는 단 한번도 로또 복권에 당첨되지 못했다. 그러므로 당첨될 기회가 점점 더 많아지고 있다고 볼 수 있다. 아마도 금년 내로 당첨될 수도 있을 것이다. 자. 대박의 희망을 갖자.
당첨이 많이나온 로또 판매점에서는 로또의 당첨 확률이 더 높을 것이다.
재작년과 작년 크리스마스에 눈이 오지 않았으니 올 크리스마스에는 눈이 꼭 올 것이다.
윷놀이판에서 지금 모가 세 번 연속으로 나왔다. 이번에 던지면 분명히 모가 안 나오고 다른 게 나올 것이다.
도박묵시록 카이지에 나오는 지하 친치로에서 미요시란 캐릭터는 이 오류를 믿고 그 동안 나온 결과를 기록했다. 카이지는 이 오류를 믿진 않았지만, 그 기록에서 뭔가 수상한 점을 발견해서 속임수 주사위를 잡아낼 수 있었다.
어떤 게임의 어떤 무기의 치명타 확률은 10%다. 즉, 이 무기는 10번 공격시 1번은 치명타가 터질것이다.
이 모바일 게임 랜덤박스에서 최고 등급이 나올 확률은 약 1%. 그러나 수도없이 계속 실패했다. 이제껏 쭉 꽝만 뽑았으니 그 다음은 분명 나올것이다. 더도말고 조금만 더 질러보자!!
1카 1카 7번이나 터트렸다. 제물은 충분하니 다음 강화는 붙겠지!
어느 축구클럽은 10년간 한 번도 챔스권에서 떨어지지 않았으니 다음 시즌에도 챔스 진출에 성공할 것이다.[7]

6 예외

한 번호를 찍었을 때의 형평성을 고려해 모든 숫자의 비율을 거의 비슷하게 조정하므로 자신의 정답률이 80% 이상일 경우라면 모르는 문제는 별로 안나온 번호를 찍는 게 더 유리하다. 물론 지금까지 푼 문제가 맞았다는 가정 하에서... 수학영역 객관식 1문제 남았는데 나머지 20문제 번호 비율이 다 똑같다면 어떨까?[8] 물론 이런 심리를 역이용, 가끔 답을 3연속 같은 번호로 만드는 악랄한 출제위원들도 있다. 시험에서 1번이 하나도 없었어[9] 12 문제 중 3번 8개 4번 3개 5번 1개인 시험도 있었어. 진짜로.
  1. 통계적으로 말하자면 i.i.d. (= Independent and identically distributed random variables) 조건이라 할 수 있다.
  2. 플레잉 카드를 1덱(즉 카드 한 통)만 사용하는 경우.블랙잭 자체가 카드를 많이 쓰지 않기 때문에 몇 판을 연속으로 한 뒤에 셔플을 하는 식이라 앞 게임에서 쓴 카드가 나중에 안 나오는 식으로 영향을 주게 된다. 셔플할 때 까지를 한 판으로 보면 그 사이에 했던 몇 게임들이 독립사건이 아닌 종속사건이 된다.
  3. 별 쓰잘데기없는 잡담을 벌이면서 슬며시 신호를 보내는 식으로.
  4. 동전이 멀쩡하다면 동전 던지기를 n번 반복하면서 모두 앞면이 나올 확률은 1/2^n, 위의 예에서는 10^-30이다.이는 동전이 이상할 확률보다도 훨씬 낮은 것으로 따라서 정말 똑똑한 학자들은 동전이 이상하다는 것을 눈치챌 것이다.
  5. 하지만 어차피 완전한 랜덤이란 프로그래밍에선 없으므로 영향을 주긴 줄 것이다. 그렇지만 그건 계산할 수 없기에 어차피 확률은 변함이 없다.
  6. 이 이야기는 버젼이 수두룩한데 오래전 어느 수학 교과서에서는 일반환자를 진료한 의사가 이 병은 생존률이 1/100이라고 하면서 당신은 완쾌될겁니다! 환자가 어째서요? 라고 하자 "그동안 이 병으로 나에게 진료받은 다른 99명 환자가 죽었으니까요."
  7. 바둑리그마냥 시즌 끝날때마다 전면 드래프트로 새로 팀을 구성하는게 아니고서야 이게 도박사의 오류의 사례라고 보기는 어렵다. 한 시즌에 전력을 잘 꾸려놓으면 줄부상이나 팀의 재정적 문제가 터진게 아니라면 다음 시즌에도 좋은 전력을 유지하는 것이 당연하므로 매 시즌의 성적은 독립시행이 아니다. 이 축구 클럽의 경우는 10년간이나 꾸준한 전력을 유지하는데 대한 찬사와 그러면서도 우승 한번을 못하는 데 대한 비아냥으로 하는 말이다. 10%의 찬사와 90%의 비아냥
  8. 실제로 수학은 1번부터 20번까지 각 번호가 4개씩 똑같이 나오는 경우가 많다. 그래야 가장 어려운 21번을 찍어서 맞추기가 힘들기 때문.
  9. 분포가 어떻게 되어 있을지는 모르지만, 총 개수만 헤아려 보면 전국 모의고사 같은 시험은 보기 1번부터 5번까지 비교적 균일한 수를 가진다. 그러나 학교 내신 시험에선 그런 경향이 좀 더 떨어지기 때문에 함부로 이 방법을 써선 안 될 것이다.