사원수

1 개요

四元數 Quaternion

해밀턴 회로를 발견한 윌리엄 로원 해밀턴이라는 수학자의 물건. 복소수가 허수 단위 [math]i[/math]를 도입했듯 새로운 단위 [math]j[/math], [math]k[/math]를 도입한 것이다. 복소수를 도입할때 [math]x^{2} = -1[/math]이라는 대수 방정식의 해로 허수 [math]i[/math]를 정의했다. 그렇다면 관점을 살짝 다르게 하여 「허수라고 [math]i^{2}=-1[/math]이라는 수를 새로 만들었는데, 그럼 [math]i[/math]와는 다르지만 [math]j^{2}= -1[/math]인 수도 만들면 되지 않나?」 이러한 관점에서 출발한 것이 사원수군이다.

신기하게도 [math]i[/math], [math]j[/math]만 있는 삼원수는 없다. 이는 [math]1[/math], [math]i[/math], [math]j[/math] 만으론 환이 형성되지 않기 때문이다. 즉, [math]a+bi+cj[/math] 라는 삼원수를 제곱하면 [math]ij[/math] 와 [math]ji[/math]라는 새로운 단위가 나오기 때문에 이를 나타내기 위한 또 다른 단위 [math]k[/math]가 필요하게 되어 필연적으로 사원수가 만들어진다.

여기서 다음의 허수단위가 정의된다.

[math]i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1[/math]

당연히 [math]i, j, k[/math]가 서로 같지 않다는 조건도 추가로 필요하다.

[math]i \neq j, j \neq k, k \neq i[/math]

[math]j[/math], [math]k[/math] 도 [math]i[/math]와 같이 제곱하면 [math]-1[/math]이지만 [math]i[/math]와는 다른 단위이며 곱셈의 교환 법칙이 성립하지 않는다. 아래와 같은 식이 성립된다.

[math]jk = -kj = i , ki = -ik = j , ij = -ji = k[/math]

사원수를 나타내는 집합은 고안자의 이름을 따서 ℍ로 표현한다. ℚ는 이미 유리수(Quotient) 집합 표현으로 이미 쓰고 있는지라(...) 어쩔 수가 없다.

2 응용

[math]\left\{1, i\right\}[/math]의 복소수로 좌표를 쓸 수 있듯 사원수군의 원소들을 이용해 좌표처럼 쓸 수 있다.
복소수와 마찬가지로 [math]a+bi+cj+dk[/math]로 표현한다. (위의 사원소군의 경우에는 정의되는 연산이 곱셈뿐이지만 여기서는 덧셈과 곱셈을 가지는 환(ring) 구조를 가진다; 덧셈에 대해서는 교환법칙이 성립하며, 덧셈과 곱셈 모두 결합법칙이 성립하고, 분배법칙이 있다.) 또한 실수 상수곱(scalar multiplication) 이 당연한 방법으로 정의되며 다른 두 연산과 서로 순서를 바꾸어 계산해도 결과가 같으므로, 이는 실수 체 위의 (1을 갖는) 대수(algebra)가 된다.
[math]R[/math](실수 체)-위의 사원수 대수는 대표적인 central division algebra이며, 19세기 후반(!)에 Frobenius는 이미 실수 체 위의 central division algebra가 실수 체 [math]R[/math]과 사원수 대수 [math]H[/math] 둘 뿐임을 (유식하게는 Brauer group [math]\text{Br}\left(R\right)[/math]을 [math]Z/2Z[/math]로 이해할 수 있음을) 보였다. 이는 실수 계수 이차 형식(quadratic form)을 연구하는 데도 도움이 된다.[1]

또한 복소수가 평면에서의 회전을 나타내는데 쓰이는 반면[2] 사원수는 공간에서의 회전을 나타내는 데 쓰인다.[3] 구체적인 공식은 다음과 같다.

[math]u = ai+bj+ck[/math] 가 공간상의 단위벡터이고 (즉 [math]a^{2}+b^{2}+c^{2}=1[/math])

[math]v= v_{1}i+v_{2}j+v_{3}k[/math] 가 공간상의 벡터이면
[math]q = \cos\left(t/2\right) + \sin\left(t/2\right)u[/math] 및 [math]q^{-1} = \cos\left(t/2\right) - \sin\left(t/2\right)u[/math]에 대해
[math]q v q^{-1}[/math] 는 [math]v[/math]를 [math]u[/math]를 축으로 [math]t[/math]만큼 회전한 결과이다.[4]

실제로 벡터가 수학계에 등장하기 전까지 3차원 공간시스템을 가장 제대로 설명할수 있었던 유일한 해결책이었고, 이를 제대로 이용한 곳은 이드 소프트웨어였다. 물론 벡터가 나왔다고 사원수가 사장된 건 아니고, 사원수 자체가 벡터의 일종이기 때문에 범위를 확장했다 보면 된다. 실제로도 두 사원수의 벡터곱을 연산하면 행렬이 나온다. 그리고 이 개념이 컴퓨터에 쓰이면서 이 행렬연산만을 전문으로 하는 카드, 즉 그래픽 카드가 탄생하게 되었다. CUDA, OpenCL 등의 GPGPU는 이런 사원수 연산을 3D 연산에서 일반 연산으로 확장시킨 것.

사원수 [math] a + bi + cj + dk [/math]는 당연히 4차 실행렬로도 표현이 가능하다.

[math]\left(\begin{array}{cccc}a \quad b \quad c \quad d \\ -b \quad a \quad -d \quad c \\ -c \quad d \quad a \quad -b \\ -d \quad -c \quad b \quad a\end{array}\right)[/math]
2차 복소행렬로도 가능하다.
[math]\left(\begin{array}{cc}a+bi \quad c+di \\ -c+di \quad a-bi\end{array}\right)[/math]
혼돈의 카오스

3 사원수군

[math]Q_{8}=\left\{\pm 1, \pm i,\pm j\pm k\right\}[/math]는 원소의 개수가 8개인 비가환군[5]이 된다.

4 외부 링크

5 확장

사원수는 복소수의 확장이듯이, 사원수도 더 확장하여 팔원수를 만들 수 있다.

그런데, 팔원수로 확장되면 이제는 곱셈의 결합법칙이 성립되지 않는다. 즉, [math]\left(ab\right)c = a\left(bc\right)[/math] 라고 쓸 수 없다. 도대체 이 따위것을 어디다가 써먹냐 하겠지만, 대수학에서 나타나는 구조들, 예컨대 몇몇 단순 리 대수(simple Lie algebra)를 표현할 때 쓰이기도 한다. 이 때문에 끈이론 같은 최신 물리에서 쓰이기도 한다 카더라.

16원수, 32원수, 64원수 등등 이론상 무궁무진(…)하게 만들어낼 수도 있지만, 어디까지나 수학적으로 흥미로워야 만들어내는 의미가 있는 것이다. 확장될수록 교환법칙, 결합법칙 같은 너무나 당연한 규칙이 성립하지 않아서 실질적으로 거의 취급되지 않는다.

  1. ↑ 관심 있다면, noncommutative algebra 또는 quadratic form을 다루는 기초 교재에서 더 일반적인 "사원수" 대수를 찾아 보자. T.Y.Lam의 introduction to quadratic forms over fields (GSM series)를 추천. 베고 자기도 좋다.
  2. ↑ 평면에 위치한 점을 [math]a+bi[/math]로 표현하면, [math]1[/math]을 곱하면 제자리, [math]i[/math]를 곱하면 90도 회전, [math]-1[/math]을 곱하면 180도 회전, [math]-i[/math]를 곱하면 270도 회전.
  3. ↑ 책을 들고 앞으로 한번 180도 회전(뒤집기), 옆으로 90도 회전을 해보자. 그런 다음 순서를 바꿔서 옆으로 한번, 앞으로 한번 회전한 것과 비교해보면 교환법칙이 성립 안한다는 것을 볼 수 있다.(게다가 방향도 정 반대로 되어있다.) 교환법칙도 성립 안하는 저런 복잡한 수체계를 도입하는 이유를 알 수 있을 것이다.
  4. ↑ 출처: John Stillwell, Naive Lie Theory, Springer, 2008, section 1.5
  5. ↑ 교환법칙이 성립하지 않는 군