정육백포체

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4차원 볼록 정다포체
정오포체	정팔포체	정십육포체	정이십사포체	정백이십포체	정육백포체

정육백포체

회전하는 정육백포체의 3차원 투영 모습.

1 개요

正六百胞體/600-cell, 또는 Regular hexacosichoron(복수는 -chora)

한 개의 모서리에 다섯 개의 정사면체가 만나고, 총 육백 개의 정사면체로 이루어진 정다포체. 볼록한 4차원 정다포체 중에서 가장 많은 수의 입체로 이루어져있다. 정사면체의 이웃한 두 면이 이루는 각이 [math]\displaystyle\sin^{-1}\frac{2\sqrt{2}}{3}\approx70.53^\circ[/math]인데, 정사면체 5개가 한 모서리에 만날 때 약 70.53º×5 = 352.65º로 360º 이하이기 때문에 볼록 정다포체를 만들 수 있으나, 정사면체 6개가 한 모서리에 만난다고 가정하면 70.53º×6 = 423.18º로 360º를 초과하기 때문에 볼록 정다포체를 만들 수 없다. 7개 이상의 정사면체가 한 모서리에 만나는 볼록한 정다포체 또한 한 모서리에 모이는 정다면체의 각의 합이 이보다 크기 때문에 당연히 만들 수 없다. 따라서 정육백포체는 정사면체로 만들 수 있는 4차원 볼록 정다포체들 중 구성 입체의 수가 가장 많다.

2 정육백포체에 대한 정보

단위/특성	개수	비고
슐레플리 부호		{3,3,5}
꼭지점(vertex, 0차원)	120
모서리(edge), 1차원)	720
면(face, 2차원)	1200	정삼각형
입체(solid, 3차원)	600	정사면체 {3,3}
쌍대		정백이십포체 {5,3,3}
포함 관계 또는 다른 이름		테트라플렉스(tetraplex) 또는 tetrahedral complex 폴리테트라헤드론(polytetrahedron) 하이퍼이코사헤드론(hypericosahedron)

한 변의 길이가 [math]a[/math]인 정육백포체가 있을 때

총 모서리 길이(total edge length) = [math]720a[/math]
총 면적(total surface area) = [math]300\sqrt{3}a^2[/math]
겉부피(surcell volume) = [math]50\sqrt{2}a^3[/math]

초부피(bulk) = [math]\displaystyle\frac{25}{4}(2+\sqrt{5})a^4[/math]