| 차원 | |||||
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 점 | 선(길이) | 면(넓이) | 입체(부피) | 초입체(초부피) | |
| 정다면체 | ||||
| 플라톤 다면체 볼록 정다면체 | 케플러-푸앵소 다면체 오목 정다면체 | |||
| 정사면체 | 정육면체, 정팔면체 | 정십이면체, 정이십면체 | 작은 별모양 십이면체, 큰 십이면체 | 큰 별모양 십이면체, 큰 이십면체 |
| 4차원 볼록 정다포체 | |||||
| 정오포체 | 정팔포체 | 정십육포체 | 정이십사포체 | 정백이십포체 | 정육백포체 |
| 5차원 이상의 정다포체 | ||
| 단체(Simplex) | 초입방체(Hypercube) | 정축체(Orthoplex) |
1 개요
n차원 유클리드 초공간에서 이루고 있는 모든 n-1차원 도형(이하 facet)이 합동이고 regular인 facet으로 이루어져 있으며, 각각의 n-3차원 도형에서 만나는 facet의 개수가 같은 n차원 폴리토프를 말한다.
2차원의 경우 정다각형, 3차원의 경우 정다면체, 4차원 이상의 경우 정다포체라고 부른다.
2 볼록 정다포체의 조건
모든 차원의 볼록 정다포체의 경우, 하나의 ridge에 두 개의 facet이 모여야 하며, 하나의 n-3차원 도형에서 만나는 3개 이상의 facet들이 이루는 내각, 이면각, dichoral angle, diteron angle...의 합이 360º를 넘지 않아야 한다.
- 2차원 : 무수히 많은 볼록 정다각형을 만들 수 있다.
- 3차원
- 정삼각형은 한 내각이 60º이고, 60º×6=360º이므로 6개 이상이 모이도록 볼록 정다면체를 만들 수 없다.
- 정사각형은 한 내각이 90º이고, 90º×4=360º이므로 4개 이상이 모이도록 볼록 정다면체를 만들 수 없다.
- 정육면체 : 정사각형 3개가 한 꼭지점에 모아 만든다. 한 꼭지점에서 내각의 합 = 90º×3 = 270º
- 정오각형은 한 내각이 108º이고, 108º×4=432º이므로 4개 이상이 모이도록 볼록 정다면체를 만들 수 없다.
- 정십이면체 : 정오각형 3개가 한 꼭지점에 모아 만든다. 한 꼭지점에서 내각의 합 = 108º×3 = 324º
- 4차원의 경우
- 정사면체는 한 이면각이 [math]\displaystyle\cos^{-1}\frac{1}{3}\approx70.53^\circ[/math]이고, 70.53º×6 = 423.18º이므로 6개 이상이 한 모서리에 모이는 볼록 정다포체를 만들 수 없다.
- 정육면체는 한 이면각이 90º이고, 90º×4=360º이므로 4개 이상이 모이도록 볼록 정다포체를 만들 수 없다.
- 정팔포체 : 정육면체 3개를 한 모서리에 모아 만든다. 한 모서리에서 이면각의 합 = 90º×3 = 270º
- 정팔면체는 한 이면각이 [math]\displaystyle\cos^{-1}\frac{1}{3}\approx109.47^\circ[/math]이고, 109.47º×4 = 437.88º이므로 4개 이상이 한 모서리에 모이는 볼록 정다포체를 만들 수 없다.
- 정이십사포체 : 정팔면체 3개를 한 모서리에 모아 만든다. 한 모서리에서 이면각의 합 ≈ 109.47º×3 = 328.41º
- 정십이면체는 한 이면각이 [math]\displaystyle\cos^{-1}\frac{\sqrt5}{5}\approx116.56^\circ[/math]이고, 116.56º×4 = 466.24이므로 4개 이상이 한 모서리에 모이는 볼록 정다포체를 만들 수 없다.
- 정백이십포체 : 정십이면체 3개를 한 모서리에 모아 만든다. 한 모서리에서 이면각의 합 ≈ 116.56º×3 = 349.68º
- 정이십면체의 한 이면각은 [math]\displaystyle\cos^{-1}\frac{\sqrt5}{3}\approx138.19^\circ[/math]이므로, 138.19º×3 = 414.57º로 360º를 초과한다. 따라서 정이십면체로는 볼록 정다포체를 만들 수 없다.
- 5차원과 그 이상의 경우
- 정오포체의 한 dichoral angle은 [math]\displaystyle\cos^{-1}\frac{1}{4}\approx75.52^\circ[/math]이고, 75.52×5 = 377.6º이므로 5개 이상이 한 면에 모이는 볼록 정다포체를 만들 수 없다.
- 정팔포체의 경우 한 dichoral angle은 90º이고, 90º×4=360º이므로 4개 이상이 모이도록 볼록 정다포체를 만들 수 없다.
- 정십육포체와 정이십사포체의 경우, 한 dichoral angle이 120º이므로 3개가 한 면에 모이면 360º가 되므로 5차원 이상의 정다포체를 이룰 수 없다. 정이백포체는 144º, 정육백포체는 [math]\displaystyle\tan^{-1}(\sqrt15+2\sqrt3)\approx164.47^\circ[/math]이므로 이들 정다포체들로는 5차원 이상의 정다포체를 만들 수 없다. n≥6 인 n-단체의 두 facet이 이루는 각은 75.52보다 크고 90º보다 작다. 따라서 n-1-단체 3개 또는 4개를 모아 n-단체와 n-정축체를 만들 수 있다. n-초입방체의 경우 두 facet이 이루는 각은 무조건 90º이므로, 3개만 모을 수 있다. 따라서 n≥5일 경우, 다음의 세 정다포체만이 존재한다.
- n-단체 = n차원 정(n+1)포체
- n-초입방체 = n차원 정(2n)포체
- n-정축체 = n차원 정2n포체