4차원 정다포체

차원
012345
(길이)(넓이)입체(부피)초입체(초부피)
4차원 볼록 정다포체
정오포체정팔포체정십육포체정이십사포체정백이십포체정육백포체

1 개요

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↑ 정오포체↑ 정팔포체↑ 정십육포체
24-cell.gif120-cell.gif600-cell.gif
↑ 정이십사포체↑ 정백이십포체↑ 정육백포체[1]
회전하는 4차원 정다포체들을 3차원에 투영시킨 모습

四次元 正多胞體/4-Dimensional Regular Polychoron (또는 regular polychoron, regular 4-polytope)

기하학에 등장하는 4차원 도형의 일종.

4차원 다포체 중에서 모든 면이 합동인 정다면체로 이루어져 있으며, 각 선분에서 만나는 입체의 개수가 같은 다포체를 말한다.

2 종류

여섯 개의 볼록 정다포체와 열 개의 오목 정다포체가 존재한다.

2.1 볼록 정다포체

({p,q,r}은 슐레플리 부호.)

  • 정오포체 : 5개의 정사면체로 이루어져 있다. 한 모서리에서 만나는 입체의 개수는 3개. : {3,3,3}
  • 정팔포체 = 테서랙트 : 8개의 정육면체로 이루어져 있다. 한 모서리에서 만나는 입체의 개수는 3개. : {4,3,3}
  • 정십육포체 : 16개의 정사면체로 이루어져 있다. 한 모서리에서 만나는 입체의 개수는 3개. : {3,3,4}
  • 정이십사포체 : 24개의 정팔면체로 이루어져 있다. 한 모서리에서 만나는 입체의 개수는 4개. : {3,4,3}
  • 정백이십포체 : 120개의 정십이면체로 이루어져 있다. 한 모서리에서 만나는 입체의 개수는 3개. : {5,3,3}
  • 정육백포체 : 600개의 정사면체로 이루어져 있다. 한 모서리에서 만나는 입체의 개수는 5개. : {3,3,5}

2.2 오목 정다포체

  • 큰 거대 별모양 백이십포체 (Great Grand Stellated 120-cell) : {5/2, 3, 3}
  • 큰 별모양 백이십포체 (Great Stellated 120-cell) : {5/2, 3, 5}
  • 거대 별모양 백이십포체 (Grand Stellated 120-cell) : {5/2, 5, 5/2}
  • 작은 별모양 백이십포체 (Small Stellated 120-cell) : {5/2, 5, 3}
  • 큰 이십면체 백이십포체 (Great Icosahedral 120-cell) : {3, 5/2, 5}
  • 거대 육백포체 (Grand 600-cell) : {3, 3, 5/2}
  • 정이십면체 백이십포체 (Icosahedral 120-cell) : {3, 5, 5/2}
  • 큰 거대 백이십포체 (Great Grand 120-cell) : {5, 5/2, 3}
  • 큰 백이십포체 (Great 120-cell) : {5, 5/2, 5}
  • 거대 백이십포체 (Gand 120-cell) : {5, 3, 5/2}

2.3 입체와 면과 모서리와 꼭지점의 개수

볼록 정다포체의 입체의 개수를 [math]C[/math], 면의 개수를 [math]F[/math], 모서리의 개수를 [math]E[/math], 꼭지점의 개수를 [math]V[/math]라고 할 때,
[math]V-E+F-C[/math][2] [math]=[/math] [math]0[/math]이다.

정다포체입체의 개수면의 개수모서리의 개수꼭지점의 개수
정오포체510105
정팔포체8243216
정십육포체1632248
정이십사포체24969624
정백이십포체1207201200600
정육백포체6001200720120

3 여담

플라톤이 5개의 볼록 정다면체에 그리스의 4원소들을 대응시켰듯[3], 정식명칭은 아니지만 4차원 정다포체에 대해서도 4원소설의 원소들과 대응되는 이름으로 부르는 사람들이 있다. 단, 4차원 볼록 정다포체는 총 6개로 4원소+(5번째 원소인 에테르)[4]를 만족시키기 어려우므로 정이십사포체에 대하여 동양의 음양오행설에서의 나무를 따와 Xylochoron(xylo- : 나무)이라고 부른다.

원소대응되는 플라톤의 정다면체대응되는 정다포체 (별명)
정사면체정오포체 (pyrochoron)
정육면체정팔포체 (geochoron)
공기정팔면체정십육포체 (aerochoron)
나무(4원소설의 원소가 아님)정이십사포체 (xylochoron)
에테르(또는 공간, 또는 우주)정십이면체정백이십포체 (cosmochoron)
정이십면체정육백포체 (hydrochoron)

단체(simplex), 초입방체(hypercube), 또는 정축체(orthoplex)가 아닌 볼록한 정다포체는 4차원 유클리도 공간까지만 존재한다. 즉, 5차원부터는 볼록한 정다포체가 오직 3개까지만 존재한다.[5]

4 연관항목

  1. 숫자는 더 큰데 오히려 정백이십포체보다 작아 보이는 이유는 정백이십포체정십이면체로 이루어져 있지만 정육백포체정사면체로 이루어져 있기 때문이다.
  2. 오일러 지표(Euler characteristic)라고 한다.
  3. 불은 정사면체, 흙은 정육면체, 공기는 정팔면체, 물은 정이십면체, 그리고 에테르(또는 공간, 또는 우주)를 정십이면체에 대응시켰다.
  4. 또는 공간, 또는 우주
  5. 각각 n차원 정(n+1)포체(= 단체), n차원 정(2n)포체(=초입방체), 그리고 n차원 정2^n포체(=정축체)이다.