슐레플리 부호

1 개요

Schläfli 符號, Schläfli symbol

정다면체나 테셀레이션(또는 타일링)을 쉽게 표기하기 위해 개발된 부호 체계로, 19세기 기하학에 공헌한 수학자 루드비히 슐레플리(Ludwig Schläfli, 1814 ~ 1895)의 이름을 땄다.

2 정다각형

2.1 볼록 정다각형

정다각형들 중에서도 볼록 정다각형의 경우, 중괄호 안에 숫자 하나만 써 놓으면 슐레플리 부호로 괄호 속의 숫자만큼의 변이 있는 다각형을 의미한다. 따라서 평면 도형들 중 정다각형, 특히 볼록 정다각형을 표기하는 것은 매우 쉽다.

2.2 오목 정다각형(별 정다각형)

오목 정다각형은 {n/m} 꼴로 표현하는데, 여기서 m은 이 다각형에서 꼭지점을 이을 때 m-1개의 꼭지점을 건너뛰어 연결한다는 뜻이다.
이렇게 표기하면 정다각형의 한 내각의 크기를 구하는 공식 [math]\displaystyle180^\circ\times\frac{n-2}{n}[/math]를 유리수로 확장하여 적용할 수 있어 매우 편리하다.

2.3 음의 정다각형

다소 어렵다고 느낄 수도 있으니, 이해가 되지 않는다면 우선 아래의 3번 문단 "정다면체 및 테셀레이션"부터 읽고 오자.

정다각형을 이어 붙여 다면체를 만들 때, 일부 정다각형을 뒤로 꺾어 접어 만들 수도 있다. 이 때 음의 정다각형을 도입하면 꼭지점 형태를 매우 간단하게 표현할 수 있다.


예를 들어 위와 같은 도형(사면반육면체)에서 한 꼭지점에 정삼각형-정사각형-음의 정삼각형-정사각형 순서로 배열되어 있다고 표현하면 자연스럽게 설명이 된다.

한 각이 [math]-\theta[/math]인 음의 [math]n[/math]각형을 {k}로 표현해보자. (단, [math]n, k[/math]는 양의 유리수)

[math]\theta=\displaystyle180^\circ\times\frac{n-2}{n},\quad\displaystyle180^\circ\times\frac{k-2}{k}=-\theta[/math]

이므로,

[math]\displaystyle180^\circ\times\frac{k-2}{k}=-180^\circ\times\frac{n-2}{n}[/math]

에서

[math]\displaystyle k=\frac{n}{n-1}[/math]가 된다. (n이 정수가 아닌 유리수여도 성립한다.)

따라서 음의 정n각형은 {n/(n-1)}각형으로 표현할 수 있으며, 한 각이 -60º인 음의 정삼각형의 경우 {3/2}가 되고, 위의 사면반육면체의 꼭지점 형태는 3.4.3/2.4로 표현할 수 있다.

슐레플리 부호가 {5/2}인 정오각별과 같이 n이 정수가 아닌 유리수일 경우, [math]\displaystyle n=\frac{p}{q}[/math]라고 하면

[math]\displaystyle k=\frac{p/q}{p/q-1}=\frac{p}{p-q}[/math]가 되어

음의 정오각별은 {5/3}으로 표현된다. 즉, (분모)를 (분자-분모)로 바꿔주기만 하면 된다.

3 정다면체 및 테셀레이션[1]

정다면체나 정규 테셀레이션[2]의 경우, {p,q}와 같이 쓰는데, 이는 "정p각형이 한 꼭지점에서 q개 모여 만들어지는 도형"이라는 의미이다.
유클리드 공간 도형의 경우, 한 꼭지점에 모이는 다각형들의 내각의 합이 360º이면 하나의 정다각형으로 평면을 채우는 "정규 테셀레이션"을 만들 수 있다. 비유클리드 평면, 또는 비유클리드 공간으로 개념을 확장하면 {6,4}와 같이 유클리드 평면/공간에서 불가능한 정다면체/정규 테셀레이션의 개념도 만들 수 있다.
따라서 볼록 5종, 오목 4종의 정다면체와 정규 테셀레이션 3종은 다음과 같이 쓸 수 있다.

4 4차원 정다포체 및 3차원 허니컴[3]

{p,q,r}과 같이 나타내며, {p,q}는 해당 도형을 이루고 있는 정다면체를 의미하며, r은 한 모서리에 정다면체가 몇 개 모였는지를 의미한다. 동시에 {q,r}은 이 정다포체/허니컴 꼭지점의 단면 형태를 나타낸다.
유클리드 3차원 공간에서는 단 하나의 정규 허니컴{4,3,4}만 존재한다.

  • 4차원 볼록 정다포체
  • 4차원 오목 정다포체
    • {5/2,3,3} (큰 거대 별모양 백이십포체, Great Grand Stellated 120-cell)
    • {5/2,3,5} (큰 별모양 백이십포체, Great Stellated 120-cell)
    • {5/2,5,5/2} (거대 별모양 백이십포체, Grand Stellated 120-cell)
    • {5/2,5,3} (작은 별모양 백이십포체, Small Stellated 120-cell)
    • {3,5/2,5} (큰 이십면체 백이십포체, Great Icosahedral 600-cell)
    • {3,3,5/2} (거대 육백포체, Grand 600-cell)
    • {3,5,5/2} (정이십면체 백이십포체, Icosahedral 120-cell)
    • {5,5/2,3} (큰 거대 백이십포체, Great Grand 120-cell)
    • {5,5/2,5} (큰 백이십포체, Great 120-cell)
    • {5,3,5/2} (거대 백이십포체, Gand 120-cell)
  • 3차원 정규 허니컴
    • {4,3,4} 정육면체 허니컴
테셀레이션과 마찬가지로, 비유클리드 초공간으로 개념을 확장하면 {4,4,5}와 같이 유클리드 초공간에서 불가능한 정다포체/정규 허니컴도 가능하다.
  1. ↑ 테셀레이션(tessellation) : 평면을 다각형 타일을 사용하여 빈틈 없이 채운 것
  2. ↑ 정규 테셀레이션(regular tessellation) : 평면을 한 종류의 정다각형 타일만 써서 빈틈 없이 채운 것
  3. ↑ 허니컴(honeycomb) : 공간, 또는 초공간을 다포체를 사용하여 빈틈 없이 채운 것. 말 그대로 벌집이라는 뜻이다.