케일리-해밀턴 정리

• 수학

1 개요

1(항등원)을 갖는 가환환 위의 n차 정사각행렬은 차수가 n인 특수한 방정식의 해가 된다는 정리이다. 이름은 아서 케일리와 윌리엄 로원 해밀턴의 이름에서 따왔다.

이 방정식은 선형대수학을 대학 수준에서 조금이라도 배웠으면 친숙할, 행렬의 특성방정식이다. 행렬의 고윳값이 해가 되기에 고윳값 문제만 나오면 학생들이 닥치고 푸는 $$\text{det}(\lambda I-A)=0$$ (행렬 $$A$$ 의 특성방정식) 말이다. 여기에 복소수 스칼라 $$\lambda$$ 대신 자기 자신의 행렬 $$A$$ 를 넣어도 방정식이 성립한다는 정리다. 물론 변수를 스칼라 대신 행렬을 넣었으므로 숫자 0도 영행렬로 바꿔야 한다.

증명을 $$\text{det}(\lambda I-A)=0$$ 에서 $$\lambda$$ 대신 $$A$$ 를 넣고 $$\text{det}(A-A)=0$$ 이니 성립한다고 하면 교수님한테 털릴 것이다. 원래 방정식의 $$\lambda$$ 는 스칼라인데 행렬을 무턱대고 넣으면 탈이 나는 법. 애초에 $$\text{det}(\lambda I-A)=0$$ 의 $$0$$ 은 스칼라 $$0$$ 이고 특성방정식에 $$A$$ 를 대입해서 나오는 $$O$$ 은 영행렬이니 혼동하면 안된다. 이 증명이 틀린 이유에 대해서는 여기의 17페이지를, 엄밀한 증명은 이곳을 참조.

2 고등학생용 참고서에 나오는 케일리-해밀턴 정리

행렬 문제를 좀 더 쉽게 풀 수 있는 꼼수의 일종. 교과서에는 다루지 않는 내용이다.
2차 정사각행렬의 경우는 이렇다.

$$A = \begin{bmatrix} a \quad b \\ c \quad d \end{bmatrix}$$ 로 두면,
$$A^{2} - \left(a+d\right)A + \left(ad - bc\right) E = O$$ 라고 학생들은 기억하고 있다. 고등학교 수학에서 행렬의 연산은 거의 2차 정사각행렬만 다루므로 이렇게만 기억하면 된다.

하지만 위에서도 밝혔듯 정리 자체가 특성방정식을 위한 정리고, 특성방정식을 모르면 정리의 수학적 의의는커녕 수식의 의미도 서술할 수 없다. 고등학교 교육 과정에서 특성방정식을 전혀 다루지 않으니 교육과정 밖인 게 당연하다. 쉽게 예를 들자면 중학교 1학년 교과서에 2차방정식의 근의 공식을 그냥 뜬금없이 제시해 주고 '이거 쓰면 2차방정식 쉽게 풂 ㅇㅇ'이라고 했다고 해보자. 이렇게 하면 이차방정식의 해법이 나온 원리, 공식의 의미 같은 것을 모두 무시하고 그냥 학생들을 이차방정식 푸는 기계로 만드는 것과 다름없으며, 이는 교육과정에서 절대로 의도하는 것이 아니다. 케일리-해밀턴 정리도 마찬가지인 것이다. 선형대수학의 '선'자도 모르는 학생들에게 케일리-해밀턴 정리를 주고 '이거 쓰면 문제 쉽게 풂 ㅇㅇ'하는 것은 수학이라는 과목에 대한 취지를 벗어나는 것이다. 따라서 수능 수학에서는 케일리-해밀턴 정리를 써야 풀 수 있는 문제는 당연히 안 나오고, 케일리-해밀턴 정리를 쓰면 쉽게 풀 수 있는 문제도 되도록 지양하는 편이다.

실제로 교육과정에 없는 정리이다보니 삽자루 등 몇몇 인강강사들은 케일리-해밀턴 정리를 아예 가르치지 않는다. 특히 삽자루는 케일리-해밀턴 얘기만 나오면 욕을 남발하는 것으로 유명하다.

다만 내신 시험에서는 학교 선생님의 취향에 따라 케일리-해밀턴 정리만을 위한 문제가 종종 나오기도 한다.보통 $$\left(a+d\right)$$ 의 최솟값이나 $$\left(ad-bc\right)$$ 의 최댓값을 물어보는 문제가 출제되는데, $$A=kE$$ 와 $$A\neq kE$$ 두 경우로 나누어 해결하면 된다.

3 가군을 이용한 증명법

cyclic decomposition에 의하면, 정사각행렬 $$A$$ 를 $$\left[A\right]_{B_{0}}=\left(\begin{array}{ccc}C_{a_{1}}\\ & \ddots\\ & & C_{a_{n}}\end{array}\right)$$ ( $$a_{i}\mid a_{i+1}$$ )로 표현할 수 있다.
다음 사실을 받아들이자.

동반행렬 $$C_{f}$$ 의 최소다항식, 고유다항식은 모두 $$f$$ 이다.

• 고유다항식
  $$C_{a_{i}}$$ 의 고유방정식은 $$a_{i}$$ 이므로, $$A$$ 의 고유방정식은 $${\displaystyle \prod_{i=1}^{n}a_{i}}$$ 이다.
• 최소다항식
  $$f\left(A\right)=0$$ 이면, $$f\left(C_{a_{n}}\right)=0$$ 에서 $$a_{n}\mid f$$ 이다. 그리고, $$a_{i}\mid a_{n}$$ , $$a_{i}\left(C_{a_{i}}\right)=0$$ 에서 $$a_{n}\left(A\right)=0$$ 이다. 따라서, $$a_{n}$$ 이 $$A$$ 의 최소다항식이다.

그리고 $$a_{n}\mid{\displaystyle \prod_{i=1}^{n}a_{i}}$$ 이다.