조르당 분해

조르당 분해(Jordan decomposition)은 상사인 행렬들을 완벽하게 분류해준다. 즉, 모든 행렬은 조르당 분해를 가지며, 두 행렬이 서로 상사일 필요충분 조건이 둘의 조르당 분해가 같은 것이다. 단 조건이 있는데, 스칼라 체 $$F$$ 가 대수적으로 닫혀 있어야한다. 즉, $$F=\mathbb{C}$$ 에서는 조르당 분해를 항상 찾을 수 있으나, $$F=R$$ 에서는 찾을 수 없을 수도 있다.

조르당 분해는 primary decomposition과 cyclic decomposition을 동시에 사용하여 얻는다. 벡터 공간 $$V$$ 의 선형 변환 $$T$$ 를 생각하자.

1 primary decomposition

$$T$$ 의 최소 다항식, $$p$$ 와 그것의 소인수분해 $$p=\prod p_{i}^{r_{i}}$$ 를 생각하자. $$W_{i}:=\ker p_{i}^{r_{i}}\left(T\right)$$ 라 하면, 다음이 성립한다.

* $$V={\displaystyle \bigoplus_{i}}W_{i}$$

• $$\left.T\right|_{W_{i}}$$ 의 최소 다항식은 $$p_{i}^{r_{i}}$$ 이다.

이 중 첫 번째, 것을 primary decomposition이라 한다.

2 cyclic decomposition

우선, $$F$$ -벡터 공간 $$V$$ 를 $$F\left[x\right]$$ -가군으로 이해하는 것에서 시작한다. PID $$F\left[x\right]$$ 가 $$V$$ 에 $$f\cdot v:=f\left(T\right)v$$ 로 작용한다고 하자. 이것에 의해 $$V$$ 는 $$F\left[x\right]$$ -가군이다. $$F\left[x\right]$$ 가 PID이므로, PID 위의 유한생성 가군의 기본정리에 의해, $$V\cong_{F\left[x\right]}\left(F\left[x\right]\right)^{r}\bigoplus{\displaystyle \bigoplus_{i=1}^{n}}\left(F\left[x\right]/\left(a_{i}\right)\right)$$ ( $$a_{i}\mid a_{i+1}$$ )이다. 여기서 $$T$$ 의 최소 다항식 $$p$$ 에 의해, 임의의 $$v\in V$$ 는, $$p\cdot v=0$$ 이므로, $$r=0$$ 이다. 즉, $$V\cong_{F\left[x\right]}{\displaystyle \bigoplus_{i=1}^{n}}\left(F\left[x\right]/\left(a_{i}\right)\right)$$ 이다.

이제 $${\displaystyle \bigoplus_{i=1}^{n}}\left(F\left[x\right]/\left(a_{i}\right)\right)$$ 을 살펴보자.
$$F\left[x\right]/\left(a_{i}\right)$$ 은 $$B=\left\{ \overline{x}^{i}:0\leq i\ltn\right\}$$ 을 기저로 갖고 여기서, $$x$$ 는 $$x\cdot \overline{x}^{i}=\overline{x}^{i+1}$$ ( $$i\ltn-1$$ ), $$x\cdot \overline{x}^{n-1}=-{\displaystyle \sum_{j\ltn}}b_{j}\overline{x}^{j}$$ 로 작용한다. 따라서, $$F$$ -벡터 공간 $$F\left[x\right]/\left(a_{i}\right)$$ 의 선형변환 $$x$$ 는 기저 $$B$$ 에 대해, $$\left[x\right]_{B}=\left(\begin{array}{cccccc}0 & & & & & -b_{0}\\1 & 0 & & & & -b_{1}\\ & 1 & 0 & & & -b_{2}\\ & & & \ddots & & \vdots\\ & & & 1 & 0 & -b_{n-2}\\ & & & & 1 & -b_{n-1}\end{array}\right)$$ 이다. 이를, $$x^{n}+{\displaystyle \sum_{i\ltn}}b_{i}x^{i}$$ 의 동반행렬(companion matrix)이라 한다. 이것을, $$C_{a_{i}}$$ 라 하자.
이에 의해, $$\left[T\right]_{B_{0}}=\left(\begin{array}{ccc}C_{a_{1}}\\ & \ddots\\ & & C_{a_{n}}\end{array}\right)$$ 로 표현된다. 이를 cyclic decomposition, rational form이라 한다.

3 조르당 분해(Jordan decompostion)

$$T$$ 의 최소 다항식, $$p$$ 와 그것의 소인수분해 $$p=\prod p_{i}^{r_{i}}$$ 를 생각하자. 조르당 분해는, $$p_{i}=x-c_{i}$$ 를 가정한다. 즉, 대수적 폐체에서는 항상 조르당 분해를 찾을 수 있지만, 그렇지 않으면 존재하지 않을 수도 있다.

$$W_{i}:=\ker p_{i}^{r_{i}}\left(T\right)$$ 라 하자. primary decomposition의 두 번째 명제에서 $$N=\left.T\right|_{W_{i}}-c_{i}I$$ 의 최소 다항식은, $$x^{n_{i}}$$ 이다. 이것의 cyclic decompostion을 생각하면, $$\left[N\right]_{B}=\left(\begin{array}{cccccc}0 & & & & & 0\\1 & 0 & & & & 0\\ & 1 & 0 & & & 0\\ & & & \ddots & & \vdots\\ & & & 1 & 0\\ & & & & 1 & 0\end{array}\right)$$ 이다. $$\left.T\right|_{W_{i}}=T+c_{i}I$$ 에 의해, $$\left[\left.T\right|_{W_{i}}\right]_{B}=\left(\begin{array}{cccccc}c_{i} & & & & & 0\\1 & c_{i} & & & & 0\\ & 1 & c_{i} & & & 0\\ & & & \ddots & & \vdots\\ & & & 1 & c_{i}\\ & & & & 1 & c_{i}\end{array}\right)$$ 이다. 이를 조르당 블록이라 하고, $$J_{n}\left(c\right)$$ 으로 표현한다. cyclic decomposition을 적용하면, $$\left[T\right]_{B}={\displaystyle \bigoplus_{i}}\left({\displaystyle \bigoplus_{n_{j}\leq n_{j+1}}}J_{n_{j}}\left(c_{i}\right)\right)$$ 이다. 이것을 조르당 형식(Jordan form)이라 한다. 서로 상사인 두 행렬은 (직합의 순서를 무시하면) 서로 같은 조르당 형식을 갖고, 그 역도 성립한다.