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Modularity Theorem.
이전에는 타니야마 유타카와 시무라 고로에 의해서 제안되었기에 타니야마-시무라의 추론이라고 불렀다. 지금은 증명이 완료되어 모듈러성 정리라고 부른다.
타원곡선타원과는 다르다 타원과는에 등장하는 L급수는 고전 모듈러 형식에 등장하는 급수에 똑같이 등장하고 반대도 성립한다는 정리.
타원곡선[1]에서 x와 y가 유리수일 때, 즉 타원곡선의 유리수점의 집합 E(Q)를 생각하자. [2] 이 유리수점은 위의 군 연산에 대해 닫혀 있고, 모델-베유 정리(Mordell-Weil theorem)에 의해 모든 유리수점은 유한 개의 유리수점의 합으로 나타낼 수 있다. [3] 또 다른 하나는 x와 y가 정수이고, 이를 N으로 나눈 나머지를 생각하는 것이다. 즉 합동방정식의 해들의 집합 E(N)을 생각한 뒤 |E(p)|의 정보들을 모두 모아 타원곡선의 L-함수(L-function) 혹은 L-급수(L-series)를 만들 수 있다. 뭐라는 건지 모르겠지만 넘어가도록 하자
한편 모듈러 형식(modular form)은 허수부가 0보다 큰 복소수 위에서 정의되는 유리형(meromorphic) 복소함수 중 다음을 만족하는 함수이다. (a,b,c,d는 [math]ad-bc=1[/math]인 임의의 정수, k는 고정된 정수)
- [math]f( (az+b)/(cz+d) ) = (cz+d)^k f(z)[/math]
이 f를 푸리에 해석을 사용하여 [math] q = e^{2 \pi i z} [/math] 에 대해 전개한 급수에서 p번째의 계수들을 뽑아내 타원곡선의 경우와 비슷하게 조합하면, 모듈러 형식의 L-급수를 얻는다. 여기에 여백이 좁아서 그 이유를 설명하기는 힘들지만, 모듈러 형식은 정수론에서 타원곡선 이상으로 매우 중요한 대상이 되었고, 20세기에 활발히 연구되었다.
1956년 일본의 수학자 타니야마 유타카는 두 대상을 비교해보니 타원곡선의 L급수의 계수를 가진 모듈러형식의 급수가 있고, 반대도 성립하는 것 같다는 내용을 도쿄에서 열린 수학 학술회에 발표하였다. 시무라 고로는 타니야마의 연구를 보고 공동으로 연구해 본 결과 여러 타원 곡선과 모듈러 형식에 대해 그 추측대로 서로 일대일 대응됨을 찾아낸다. 그런데 타니야마는 1957년 11월 한 여자와 약혼을 하더니, 1958년 11월 자살하였다. 불행히도 약혼자도 1달 만에 자살했다고 한다. 이후 프랑스의 수학자 앙드레 베유가 유럽에 소개하였다. 이로 인해 이 추측은 타니야마의 추측, 시무라의 추측, 베유의 추측 등 15가지 바리에이션으로 불리게 된다. [4][5]
게르하르트 프라이가 페르마의 정리가 틀렸다는 가정 하에 정수해를 가지고 타원곡선의 형태로 변형을 시켰는데 프라이는 이 타원곡선은 특이하기 때문에 모듈러 형식의 급수와 대응되지 않는다고 보였다. 이를 통해서 프라이는 타니야마-시무라의 추론이 맞는다면 프라이가 유도해낸 타원곡선이 존재하지 않는 것을, 따라서 페르마의 정리를 만족하는 정수해가 존재하지 않는 것을 보였다. 다만 프라이의 증명 과정에는 일부 완성되지 않은 부분이 포함되어 있었기에 엡실론 추측이라고 불렸다.
이때 케네스 리벳(Kenneth A. Ribet, 통칭 켄 리벳)이라는 수학자가 고생을 하던 중, 쉬기 위해 커피를 마시다가 한 항만 넣으면 된다는 힌트를 듣고 증명을 완성했고, 엡실론 추측은 리벳의 증명(Ribet's theorem)이라는 새 이름을 얻었고, 리벳은 이 추측을 증명한 업적으로 1989년에 페르마 상(Fermat Prize)을 수상했다.
앤드루 와일스가 타니야마 시무라의 추측에 관심을 가지면서, 1995년 결국 페르마의 대정리에 관련된 준안정 상태의 경우를 증명하여 역시 페르마 상을 수상했다. 1999년에 이 증명을 이용하여 와일즈 교수의 제자였던 리처드 테일러를 포함한 다른 수학자들이 타니야마 시무라의 추측을 완전히 증명했다.
밀레니엄 문제가 나온 뒤, '타니야마 시무라의 추측' 증명 발표를 2년만 미뤘으면 100만 달러를 받았을 텐데 하는 농담이 돌았다. 그대신 밀레니엄 문제에 타원곡선에 대한 문제가 하나 들어간 것이 버츠와 스위너톤-다이어 추측이다.
여담이지만 이 추측은 1956년에 추측되었다. 아직도 페르마가 어떤 방법으로 페르마의 대정리 를 증명했는지는 아직도 모른다.허언증? 이에 따라 수학자들은 두 가지 의견으로 나뉘는데, 허언증이라는페르마의 증명에는 오류가 있다는 의견과 우리가 모르는 정말 경이적인 방법으로 16세기 수학만을 이용하여 풀었다는 의견이 대립하고 있다.