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[숨기기]1 개요
각 중에서 특히 중요성이 높은 각의 값을 모아 놓은 문서이다. 일반적인 각과는 달리 특정한 수치로 맞아떨어진다는 특징이 있으며, 삼각형 관련 문제 및 미적분을 풀 때 특수각을 익혀놔야 하는 상황이 적지 않다.
크게 주치([0,2π]) 내의 실수 각과 허수 각을 다루며, 특수각의 삼각함수 값도 서술한다.
2 0
말 그대로 각도가 0이다. 한 각이 0인 삼각형은 있을 리가 없으므로 뭥미 싶기도 하지만, 모든 수의 기준이 0인 것처럼, 삼각함수의 기준점도 0이다.
- sin0=0
- cos0=1
- tan0=0
- csc0은 정의되지 않는다.
- sec0=1
- cot0은 정의되지 않는다.
3 π6 (30˚)
정삼각형을 한 꼭지점을 중심으로 2등분하면 얻을 수 있는 각이다.
- sinπ6=12
- cosπ6=√32
- tanπ6=1√3
- cscπ6=2
- secπ6=2√3
- cotπ6=√3
4 π4 (45˚)
정사각형을 한 꼭지점을 중심으로 2등분하면 얻을 수 있는 각이다. 뭔가를 쳐서 날릴 때 가장 멀리 가는 각이기도 하다.
- sinπ4=1√2
- cosπ4=1√2
- tanπ4=1
- cscπ4=√2
- secπ4=√2
- cotπ4=1
5 π3 (60˚)
정삼각형의 한 꼭지점을 끼고 있는 각이다.
- sinπ3=√32
- cosπ3=12
- tanπ3=√3
- cscπ3=2√3
- secπ3=2
- cotπ3=1√3
6 π2 (90˚)
이 문단은 직각 · 90도(으)로 검색해도 들어올 수 있습니다.
가장 유명하면서도 중요성이 높은 특수각으로, 다름아닌 직각삼각형과 직사각형을 정의하기 위한 각이다. 원의 중심과 접선이 이루는 각도 이 각이며, 수심도 이것으로 정의된다.
삼각함수의 정의도 이 각을 끼고 있는 삼각형의 변의 비율에서 출발했다. 삼각형과는 상관 없는 곳에서 더 많이 쓰여서 그렇지...
이 각도와 관련한 부정적인 측면 중 하나로 직각식사가 있다.
- sinπ2=1
- cosπ2=0
- tanπ2는 정의되지 않는다.
- cscπ2=1
- secπ2는 정의되지 않는다.
- cotπ2=0
7 2π3 (120˚)
정삼각형 두 개로 평행사변형을 만들면 생기는 각이다.
- sin2π3=√32
- cos2π3=−12
- tan2π3=−√3
- csc2π3=2√3
- sec2π3=−2
- cot2π3=−1√3
8 3π4 (135˚)
정사각형과 그 절반의 직각삼각형을 합쳐 놓은 각이다.
- sin3π4=1√2
- cos3π4=−1√2
- tan3π4=−1
- csc3π4=√2
- sec3π4=−√2
- cot3π4=−1
9 5π6 (150˚)
- sin5π6=12
- cos5π6=−√32
- tan5π6=−1√3
- csc5π6=2
- sec5π6=−2√3
- cot5π6=−√3
10 π (180˚)
이 문단은 평각 · 180도(으)로 검색해도 들어올 수 있습니다.
평면도형의 모서리가 띠는 각도. 평평하다고 해서 평각이라고도 하며, 관용적으로 "완전히 반대되는 것"을 가리키는 말로도 쓰인다.
주치 구간의 절반 지점이며, 다름아닌 오일러의 등식에 이 각이 들어간다.
- sinπ=0
- cosπ=−1
- tanπ=0
- cscπ는 정의되지 않는다.
- secπ=−1
- cotπ는 정의되지 않는다.
11 3π2 (270˚)
직사각형의 바깥쪽 각이다.
- sinπ2=−1
- cosπ2=0
- tanπ2는 정의되지 않는다.
- cscπ2=−1
- secπ2는 정의되지 않는다.
- cotπ2=0
12 2π (360˚)
이 문단은 360도(으)로 검색해도 들어올 수 있습니다.
한 바퀴 돌아 원점으로 돌아왔다. 여기서 주치(周値)라는 말이 생겼으며, 주치 밖의 값은 2π로 나눈 나머지와 같은 각도로 취급하게 된다.
- sin2π=0
- cos2π=1
- tan2π=0
- csc2π은 정의되지 않는다.
- sec2π=1
- cot2π은 정의되지 않는다.
13 작도 가능한 각도
정삼각형, 직각이등변삼각형을 이용하여 30˚, 60˚, 45˚ 가 작도 가능하다는 데서부터 시작한다.
- 15˚ : 45˚와 30˚가 작도가 가능하므로, 이 둘의 차이를 이용해서 15˚는 작도 가능하다.
- 72˚ : 정오각형은 작도가 가능하다. 그러므로 360˚/5 = 72˚는 작도 가능하다.
- 3˚ : 72˚ 와 60˚ 가 작도 가능하므로, 12˚ 역시 작도 가능하다. 이를 각의 이등분을 이용해서 6˚를 작도 가능하고, 다시 이등분 하면 3˚ 역시 작도 가능하다. 간단히는 72˚와 75˚를 작도해도 된다. 다시 말해 3˚의 배수에 해당되는 각은 모두 작도 가능하다.
- 1.5˚, 0.75˚ , 0.375˚ ... : 3˚ 를 계속 이등분하여 나오는 각들은 모두 작도 가능하다. 또한 이 각들의 정수배들 역시 모두 작도 가능하다.
- 2π17=360∘17 (약 21.1764705882˚) : 정17각형이 작도 가능하므로, 이 각을 역시 작도 가능하다. 참고로, 페르마 소수에 해당하는 정다각형과 그의 2n배수(이하 동일) 정다각형은 모두 작도 가능하다. 즉, 정257각형과 정66537각형도 작도 가능하며, 이로 부터 유래되는 각도도 작도 가능하다. 또 서로 다른 페르마 소수와의 곱에 해당하는 정다각형[1]도 작도 가능하다. 단, 같은 페르마 소수끼리 곱해서 나온 정다각형[2]은 작도 불가능하다.
14 i
허수 각이라니 이게 무슨 개 풀 뜯어먹는 소리냐고 묻는 이들이 있지만, 이 바닥이 그렇듯 현실의 개념을 뛰어넘는 짓거리를 저지르곤 한다(...). 허수 각을 얻은 삼각형은 쌍곡선이라는 다른 도형으로 변하게 되며, 그래서 삼각함수가 쌍곡함수로 탈바꿈하게 된다.
- sini=isinh1=e−e−12i=e2−12ei
- cosi=cosh1=e+e−12=e2+12e
- tani=isinh1cosh1=e2−1e2+1i
- csci=1isinh1=−2e−e−1i=−2ee2−1i
- seci=1cosh1=2e+e−1=2ee2+1
- coti=cosh1isinh1=−e2+1e2−1i